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1、第一节对弧长和曲线积分本讲稿第一页，共二十五页第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分 第十章 本讲稿第二页，共二十五页一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB,其线密度为“大化小,常代变,近似和,求极限”可得为计算此构件的质量,1.1.引例引例:曲线形构件的质量采用本讲稿第三页，共二十五页设 是空间中一条有限长的光滑曲线,义在 上的一个有界函数,都存在,上对弧长的曲线积分,记作若通过对 的任意分割局部的任意取点,2.定义定义下列“
2、乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数，称为积分弧段.曲线形构件的质量和对本讲稿第四页，共二十五页如果 L 是 xoy 面上的曲线弧,如果 L 是闭曲线,则记为则定义对弧长的曲线积分为思考思考:(1)若在 L 上 f(x,y)1,(2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?否!对弧长的曲线积分要求 ds 0,但定积分中dx 可能为负.本讲稿第五页，共二十五页3.性质性质（k 为常数)(由 组成)(l 为曲线弧 的长度)本讲稿第六页，共二十五页二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路基本思路:计算定积分转 化定理定理:且上的连续函数,证证:是定
3、义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分根据定义 本讲稿第七页，共二十五页点设各分点对应参数为对应参数为 则本讲稿第八页，共二十五页说明说明:因此积分限必须满足(2)注意到 因此上述计算公式相当于“换元法”.因此本讲稿第九页，共二十五页如果曲线 L 的方程为则有如果方程为极坐标形式:则推广推广:设空间曲线弧的参数方程为则本讲稿第十页，共二十五页例例1.计算其中 L 是抛物线与点 B(1,1)之间的一段弧.解解:上点 O(0,0)本讲稿第十一页，共二十五页例例2.计算半径为 R,中心角为的圆弧 L 对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度=1).解解:建立坐标系如图,则 本讲稿第十二页，共二十五页例例3.
4、计算其中L为双纽线解解:在极坐标系下它在第一象限部分为利用对称性,得本讲稿第十三页，共二十五页例例4.计算曲线积分 其中为螺旋的一段弧.解解:线本讲稿第十四页，共二十五页例例5.计算其中为球面 被平面 所截的圆周.解解:由对称性可知本讲稿第十五页，共二十五页思考思考:例5中 改为计算解解:令,则圆的形心在原点,故,如何本讲稿第十六页，共二十五页例例6.计算其中为球面解解:化为参数方程 则本讲稿第十七页，共二十五页例例7.有一半圆弧其线密度 解解:故所求引力为求它对原点处单位质量质点的引力.本讲稿第十八页，共二十五页内容小结内容小结1.定义定义2.性质性质(l 曲线弧 的长度)本讲稿第十九页，共
5、二十五页3.计算计算 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧本讲稿第二十页，共二十五页思考与练习思考与练习1.已知椭圆周长为a,求提示提示:原式=利用对称性分析分析:本讲稿第二十一页，共二十五页2.设均匀螺旋形弹簧L的方程为(1)求它关于 z 轴的转动惯量(2)求它的质心.解解:设其密度为 (常数).(2)L的质量而(1)本讲稿第二十二页，共二十五页故重心坐标为本讲稿第二十三页，共二十五页备用题备用题1.设 C 是由极坐标系下曲线及所围区域的边界,求提示提示:分段积分本讲稿第二十四页，共二十五页2.L为球面面的交线,求其形心.在第一卦限与三个坐标解解:如图所示,交线长度为由对称性,形心坐标为本讲稿第二十五页，共二十五页