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1、高等数学第一节对弧长的曲线积分本讲稿第一页，共二十一页第一第一节节 对对弧弧长长的曲的曲线积线积分分 对对整体量整体量进进行分割、作和、取极限所行分割、作和、取极限所产产生的定生的定积积分与重分与重积积分已分已经带经带来了很大的方便来了很大的方便,但是但是,有些有些实际问题实际问题与理与理论问题论问题,这这两种两种积积分分还还解决不了解决不了,于是于是,又引又引进进了曲了曲线积线积分与曲面分与曲面积积分分,它它们们与前者的基本思想是一致的与前者的基本思想是一致的.本章本章讨论讨论的基本的基本问题问题是两是两类类曲曲线积线积分与两分与两类类曲面曲面积积分分,重点是曲重点是曲线积线积分与路径无关的
2、分与路径无关的问题问题以及以及Green(格林格林)公式公式与与Gauss(高斯高斯)公式公式.本讲稿第二页，共二十一页一、一、对对弧弧长长的曲的曲线积线积分的定分的定义义 二、二、对对弧弧长长的曲的曲线积线积分的性分的性质质三、三、对对弧弧长长的曲的曲线积线积分的分的计计算算四、四、对对弧弧长长的曲的曲线积线积分的分的应应用用本讲稿第三页，共二十一页线线密密度度为为连连续续函函数数z=f(x,y),利利用用分分割割作作和和、取取极极限限的的方方法法求求该该构构件件的的质质量量.一、一、对对弧弧长长的曲的曲线积线积分的定分的定义义 定定义义1 如果如果连续连续曲曲线线y=f(x)上到上到处处都
3、有切都有切线线,当切当切点点连续变动时连续变动时,切切线线也也连续转动连续转动,就称此曲就称此曲线为线为光滑曲光滑曲线线.设设有一曲有一曲线线形构件形构件,它在它在xOy 平平面内是一条光滑曲面内是一条光滑曲线线弧弧L,见图见图9-1.图图9-1本讲稿第四页，共二十一页 在在L上取点上取点M1,M2,Mn-1,把把L分成分成n小段小段,在在 上任意上任意取一点取一点(i,i),弧段弧段 的的长长度度为为 si,记记Mi-1MiMi-1Mi =max s1,s2,sn则该则该构件的构件的质质量量为为 图图9-1本讲稿第五页，共二十一页 定定义义2 设设L为为xOy平平面面内内的的一一条条光光滑滑
4、曲曲线线,z=f(x,y)为为L上的上的连续连续函数函数,用分点用分点M1,M2,Mn-1,把把L分成分成n小段小段,在在存在存在,则则将此极限将此极限值值称称为为函数函数f(x,y)在在L上上对对弧弧长长的曲的曲线积线积分分,记为记为 其中其中,f(x,y)称称为为被被积积函数函数,L称称为积为积分弧段分弧段.上任意取一点上任意取一点(i,i),si表示表示的的长长度度,Mi-1MiMi-1Mi记记 =max s1,s2,sn,如果如果 定定理理1 当当 f(x,y)在在光光滑滑曲曲线线或或分分段段光光滑滑曲曲线线弧弧L上上连续时连续时,对对弧弧长长的曲的曲线积线积分分 存在存在.本讲稿第六
5、页，共二十一页二、二、对对弧弧长长的曲的曲线积线积分的性分的性质质 由由对对弧弧长长的曲的曲线积线积分的定分的定义义可知可知,定定积积分的所有性分的所有性质质都可以移植都可以移植过过来来.性性质质1 设设k为为常数常数,则则设设下面所涉及的下面所涉及的对对弧弧长长的曲的曲线积线积分都存在分都存在.性性质质2 本讲稿第七页，共二十一页性性质质3 将将L分成分成L1 与与L2,则则其中其中L0表示表示L的的长长度度性性质质4性性质质5 f(x,y)g(x,y),则则 本讲稿第八页，共二十一页性性质质6 在在L上若上若设设m f(x)M,则则其中其中L0表示表示L的的长长度度 性性质质7 当当 f(
6、x,y)在光滑曲在光滑曲线线弧弧 L上上连续时连续时,必有必有L上某点上某点(,),使得使得本讲稿第九页，共二十一页三、三、对对弧弧长长的曲的曲线积线积分的分的计计算算 定理定理2 设设 f(x,y)在曲在曲线线 L上上连续连续,L的参数方程的参数方程为为(t )其中其中 (t),(t)在在,上具有一上具有一阶连续导阶连续导数数,且且 2(t)+2(t)0,则则有公式有公式(1)成立成立.(1)本讲稿第十页，共二十一页 设设下面的函数和曲下面的函数和曲线线都都满满足定理足定理2的条件的条件,则还则还有如下有如下公式公式.积积分上限要大于下限分上限要大于下限.设设L:y=y(x)(a x b),
7、则则有有设设L:r=r()(),则则有有设设L:x=x(y)(c y d),则则有有设设L:x=(t),y=(t),z=(t)(t t ),则则有有本讲稿第十一页，共二十一页 定理定理3 设设 f(x,y)和和L满满足定理足定理2的条件的条件,若若f(x,y)=f(x,y),L关于关于轴对轴对称称,L1表示表示L的位于的位于 x 轴轴上方的部分上方的部分,则则有有若若 f(x,y)=f(x,y),则则 本讲稿第十二页，共二十一页例例1 L是整条星形是整条星形线线解解 设设 L1:x=cos3t,y=sin3t,(0 t /2),由定理由定理3可知可知,于是于是本讲稿第十三页，共二十一页例例2
8、求求L为圆为圆 x2+y2=ax (a 0).解解 把把L写成极坐写成极坐标标形式形式r=a cos ,-/2 /2 利用公式利用公式(4),有有本讲稿第十四页，共二十一页例例3 求求 为为螺旋螺旋线线:x=acost,y=asint,z=bt,0 t 2 2.解解 利用公式利用公式(5),有有本讲稿第十五页，共二十一页 为圆为圆周周:解解 直接利用直接利用(5)完成完成,计计算量很大算量很大,注意到注意到 于是于是例例4 求求原式原式本讲稿第十六页，共二十一页 设设在在xOy平面内有一条分布着平面内有一条分布着质质量的光滑曲量的光滑曲线线弧弧(或分或分段光滑曲段光滑曲线线弧弧)L,在点在点(
9、x,y)处处的的线线密度密度为连续为连续函数函数 f(x,y),利用微元分析法不利用微元分析法不难难推得下面各推得下面各计计算公式算公式.四、四、对对弧弧长长的曲的曲线积线积分的分的应应用用 质质量量 设设重心重心为为则则本讲稿第十七页，共二十一页转动惯转动惯量量如果曲如果曲线线L是空是空间间曲曲线线,也可以得出也可以得出类类似的公式似的公式.式中式中Ix,Iy,Io分分别别表示表示质质量弧量弧L对对于于x轴轴、y 轴轴、原点的、原点的转动转动惯惯量量.本讲稿第十八页，共二十一页下面下面给给出第一型曲出第一型曲线积线积分的几何意分的几何意义义.当当 f(x,y)0时时,如果如果 f(x,y)在平面曲在平面曲线线L上上连续连续,L光光滑或分段光滑滑或分段光滑,见图见图9-2曲曲线积线积分分表示柱面的面表示柱面的面积积A,即即图图9-2本讲稿第十九页，共二十一页例例5 设设有柱面有柱面被平面被平面z=y所截所截,求所截得有限部分的柱面面求所截得有限部分的柱面面积积.解解 所求柱面面所求柱面面积为积为式中式中L为为半半椭圆椭圆其参数方程其参数方程为为于是于是本讲稿第二十页，共二十一页作业作业P84 1、2、3、5本讲稿第二十一页，共二十一页