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1、第一节对弧长的曲线积分1第1页，本讲稿共43页第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分 第十章 2第2页，本讲稿共43页一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占假设曲线形细长构件在空间所占弧段为弧段为AB,其线密度为其线密度为“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,求极限求极限”可得可得为计算此构件的质量为计算此构件的质量,1.1.引例引例:曲线形构件的质量曲线形构件的质量采用采用3第3页，本讲稿共43页设设 是空间中一条有限长的光滑曲线
2、是空间中一条有限长的光滑曲线,义在义在 上的一个有界函数上的一个有界函数,都存在都存在,上上对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,记作记作若通过对若通过对 的的任意分割任意分割局部的局部的任意取点任意取点,2.定义定义下列下列“乘积和式极限乘积和式极限”则称此极限为函数则称此极限为函数在曲线在曲线或或第一类曲线积分第一类曲线积分.称为称为被积函数被积函数，称为称为积分弧段积分弧段.曲线形构件的质量曲线形构件的质量和对和对4第4页，本讲稿共43页如果如果 L 是是 xoy 面上的曲线弧面上的曲线弧,如果如果 L 是闭曲线是闭曲线,则记为则记为则定义对弧长的曲线积则定义对弧长的曲线积分为分为思考思考:
3、(1)若在若在 L 上上 f(x,y)1,(2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?否否!对弧长的曲线积分要求对弧长的曲线积分要求 ds 0,但定积分中但定积分中dx 可能为负可能为负.5第5页，本讲稿共43页6第6页，本讲稿共43页3.性质性质（k 为常数为常数)(由由 组成组成)(l 为曲线弧为曲线弧 的长度的长度)7第7页，本讲稿共43页二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路基本思路:计算定积分计算定积分转转 化化定理定理:且且上的连续函数上的连续函数,证证:是定义在光滑曲线弧是定义在光滑曲线弧则曲线积分则曲线积分求曲线积分
4、求曲线积分根据定义根据定义 8第8页，本讲稿共43页点点设各分点对应参数为设各分点对应参数为对应参数为对应参数为 则则9第9页，本讲稿共43页说明说明:因此积分限必须满足因此积分限必须满足(2)注意到注意到 因此上述计算公式相当于因此上述计算公式相当于“换元法换元法”.因此因此10第10页，本讲稿共43页如果曲线如果曲线 L 的方程为的方程为则有则有如果方程为极坐标形式如果方程为极坐标形式:则则推广推广:设空间曲线弧的参数方程为设空间曲线弧的参数方程为则则11第11页，本讲稿共43页12第12页，本讲稿共43页三三.几何与物理意义几何与物理意义Oyxz13第13页，本讲稿共43页14第14页，
5、本讲稿共43页例例1.计算计算其中其中 L 是抛物线是抛物线与点与点 B(1,1)之间的一段弧之间的一段弧.解解:上点上点 O(0,0)15第15页，本讲稿共43页例例2.计算半径为计算半径为 R,中心角为中心角为的圆弧的圆弧 L 对于它的对对于它的对称轴的转动惯量称轴的转动惯量I(设线密度设线密度 =1).解解:建立坐标系如图建立坐标系如图,则则 16第16页，本讲稿共43页例例3.计算计算其中其中L为双纽线为双纽线解解:在极坐标系下在极坐标系下它在第一象限部分为它在第一象限部分为利用对称性利用对称性,得得17第17页，本讲稿共43页例例4.计算曲线积分计算曲线积分 其中其中 为螺旋为螺旋的
6、一段弧的一段弧.解解:线线18第18页，本讲稿共43页例例5.计算计算其中其中 为球面为球面 被平面被平面 所截的圆周所截的圆周.解解:由对称性可知由对称性可知19第19页，本讲稿共43页思考思考:例例5中中 改为改为计算计算解解:令令,则则圆圆 的形心的形心在原点在原点,故故,如何如何20第20页，本讲稿共43页例例6.计算计算其中其中 为球面为球面解解:化为参数方程化为参数方程 则则21第21页，本讲稿共43页例例7.有一半圆弧有一半圆弧其线密度其线密度 解解:故所求引力为故所求引力为求它对原点处单位质量质点的引力求它对原点处单位质量质点的引力.22第22页，本讲稿共43页内容小结内容小结
7、1.定义定义2.性质性质(l 曲线弧曲线弧 的长度的长度)23第23页，本讲稿共43页3.计算计算 对光滑曲线弧对光滑曲线弧 对光滑曲线弧对光滑曲线弧 对光滑曲线弧对光滑曲线弧24第24页，本讲稿共43页思考与练习思考与练习1.已知椭圆已知椭圆周长为周长为a,求求提示提示:原式原式=利用对称性利用对称性分析分析:25第25页，本讲稿共43页2.设均匀螺旋形弹簧设均匀螺旋形弹簧L的方程为的方程为(1)求它关于求它关于 z 轴的转动惯量轴的转动惯量(2)求它的质心求它的质心.解解:设其密度为设其密度为 (常数常数).(2)L的质量的质量而而(1)26第26页，本讲稿共43页故重心坐标为故重心坐标为
8、27第27页，本讲稿共43页备用题备用题1.设设 C 是由极坐标系下曲线是由极坐标系下曲线及及所围区域的边界所围区域的边界,求求提示提示:分段积分分段积分28第28页，本讲稿共43页29第29页，本讲稿共43页2.L为球面为球面面的交线面的交线,求其形心求其形心.在第一卦限与三个坐标在第一卦限与三个坐标解解:如图所示如图所示,交线长度为交线长度为由对称性由对称性,形心坐标为形心坐标为30第30页，本讲稿共43页练习练习2.3.31第31页，本讲稿共43页32第32页，本讲稿共43页例例2解解例例3解解33第33页，本讲稿共43页34第34页，本讲稿共43页35第35页，本讲稿共43页36第36页，本讲稿共43页37第37页，本讲稿共43页38第38页，本讲稿共43页小结小结1.1.对弧长曲线积分的概念对弧长曲线积分的概念2.2.对弧长曲线积分的计算对弧长曲线积分的计算3.3.对弧长曲线积分的应用对弧长曲线积分的应用39第39页，本讲稿共43页思考题思考题1,对弧长的曲线积分的定义中对弧长的曲线积分的定义中 的符号的符号可能为负吗？可能为负吗？40第40页，本讲稿共43页练习题练习题41第41页，本讲稿共43页42第42页，本讲稿共43页练习题答案练习题答案 143第43页，本讲稿共43页