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1、第一节矩阵的概念与运算本讲稿第一页，共三十三页1.1.线性方程组线性方程组的解取决于的解取决于系数系数常数项常数项一、矩阵概念的引入一、矩阵概念的引入本讲稿第二页，共三十三页对线性方程组的对线性方程组的研究可转化为对研究可转化为对这张表的研究这张表的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为线性方程组的系数与常数项按原位置可排为2.某航空公司在某航空公司在A,B,C,D四城市四城市之间开辟了若干航线之间开辟了若干航线,如图所如图所示表示了四城市间的航班图示表示了四城市间的航班图,如果从如果从A到到B有航班有航班,则用带箭则用带箭头的线连接头的线连接 A 与与B.本讲稿第三页，共三十三页四城市
2、间的航班图情况常用表格来表示四城市间的航班图情况常用表格来表示:发站发站到站到站其中其中 表示有航班表示有航班.为了便于计算为了便于计算,把表中的把表中的 改成改成1,空白地方填上空白地方填上0,就得到一个数表就得到一个数表:本讲稿第四页，共三十三页这个数表反映了四城市间交通联接情况这个数表反映了四城市间交通联接情况.本讲稿第五页，共三十三页二、矩阵的定义二、矩阵的定义 由由 个数个数排成的排成的 行行 列的数表列的数表称为称为m行行n列矩阵列矩阵.简称简称 矩阵矩阵.记作记作本讲稿第六页，共三十三页简记为简记为主对角线主对角线副对角线副对角线本讲稿第七页，共三十三页例如例如是一个是一个 矩阵
3、矩阵,是一个是一个 矩阵矩阵,是一个是一个 矩阵矩阵,是一个是一个 矩阵矩阵.本讲稿第八页，共三十三页例如例如是一个是一个3 阶方阵阶方阵.三、几种特殊矩阵三、几种特殊矩阵2.2.只有一行的矩阵只有一行的矩阵称为称为行矩阵行矩阵(或或行向量行向量).1.1.行数与列数都等于行数与列数都等于 的矩阵的矩阵 ，称为称为 阶阶方阵方阵.也可记作也可记作本讲稿第九页，共三十三页只有一列的矩阵只有一列的矩阵称为称为列矩阵列矩阵(或或列向量列向量).).称为称为对角对角矩阵矩阵(或或对角阵对角阵）.3.形如形如 的方阵的方阵,不全为不全为0本讲稿第十页，共三十三页记作记作称为称为单位矩阵单位矩阵（或（或单
4、位阵单位阵）.全为全为1本讲稿第十一页，共三十三页 4.元素全为零的矩阵称为元素全为零的矩阵称为零矩阵零矩阵，零零矩阵记作矩阵记作 或或 .注意注意不同阶数的零矩阵是不相等的不同阶数的零矩阵是不相等的.例如例如本讲稿第十二页，共三十三页5.本讲稿第十三页，共三十三页思考思考矩阵与行列式的有何区别矩阵与行列式的有何区别?思考解答思考解答 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个矩阵仅仅是一个数表数表，它的行数和列数可以不同，它的行数和列数可以不同.本讲稿第十四页，
5、共三十三页1、矩阵的相等矩阵的相等四、矩阵的运算四、矩阵的运算两个矩阵的行数相等两个矩阵的行数相等,列数相等时列数相等时,称为称为同型矩阵同型矩阵.两个矩阵两个矩阵 为同型矩阵为同型矩阵,并且对应元素相等并且对应元素相等,即即则称则称矩阵矩阵 相等相等,记作记作本讲稿第十五页，共三十三页设有两个设有两个 矩阵矩阵 那么矩阵那么矩阵 与与 的和记作的和记作 ，规定为规定为只只有有行行列列相相同同的的同同型型矩矩阵阵才才可以相加可以相加2、矩阵的加法矩阵的加法本讲稿第十六页，共三十三页例如例如，矩阵的加法满足下列运算规律矩阵的加法满足下列运算规律:交换律交换律结合律结合律本讲稿第十七页，共三十三页
6、3、数与矩阵相乘、数与矩阵相乘本讲稿第十八页，共三十三页数乘矩阵的运算规律数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的统称为矩阵的线性线性运算运算.（设设 为为 矩阵，矩阵，为数为数）本讲稿第十九页，共三十三页并把此乘积记作并把此乘积记作4、矩阵与矩阵相乘、矩阵与矩阵相乘设设 是一个是一个 矩阵，矩阵，是一个是一个 矩阵，矩阵，那那末规定矩阵末规定矩阵 与矩阵与矩阵 的乘积的乘积是一个是一个 矩阵矩阵 ，其中其中本讲稿第二十页，共三十三页三点说明三点说明:(1)两个矩阵可乘的条件为：两个矩阵可乘的条件为：左边矩阵左边矩阵A的列数的列数=右边矩阵右边矩阵B的行
7、数的行数.(2)乘积矩阵乘积矩阵AB的行数的行数=第一个矩阵第一个矩阵A的行数；的行数；AB的列数等于第二个矩阵的列数等于第二个矩阵B的列数的列数本讲稿第二十一页，共三十三页例例设设例例2 2本讲稿第二十二页，共三十三页故故解解本讲稿第二十三页，共三十三页注意注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘的行数时，两个矩阵才能相乘.例如例如不存在不存在.本讲稿第二十四页，共三十三页矩阵乘法的运算规律矩阵乘法的运算规律（其中其中 为数为数）;若若A是是 阶矩阵阶矩阵，则则 为为A的的 次幂次幂，即即 并且并且 本讲稿第二十五页，共三十三页例
8、例3 设设解：解：1.1.在一般情况下在一般情况下,ABBA,这说明矩阵的乘法不满足交换律这说明矩阵的乘法不满足交换律.该例说明该例说明:2.2.由由AB=AC不能得出不能得出B=C的的结论结论,矩阵的乘法还不满足消去律矩阵的乘法还不满足消去律.3.3.由由AB=O,也不能得出也不能得出A=O或或B=O的结论的结论 本讲稿第二十六页，共三十三页定义定义 把矩阵把矩阵 的行换成同序数的列得到的的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 .例例5、转置矩阵、转置矩阵本讲稿第二十七页，共三十三页转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质注：注：性质性质（2）和和（4）可推广到有限个矩阵的情形可推广到有限个矩阵的情形.本讲稿第二十八页，共三十三页例例4 4:设矩阵设矩阵 求求 解法一：解法一：本讲稿第二十九页，共三十三页 解法二：解法二：(AB)TATBT不能相乘不能相乘所以一般情况下有所以一般情况下有:本讲稿第三十页，共三十三页2、对称矩阵、对称矩阵定义定义设设 为为 阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即即那么那么 称为称为对称阵对称阵.对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.说明说明对对称称矩矩阵阵关关于于什什么对称呀么对称呀本讲稿第三十一页，共三十三页本讲稿第三十二页，共三十三页本讲稿第三十三页，共三十三页