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1、第一节复数与复数运算1本讲稿第一页，共二十页一一.复变函数的内容复变函数的内容：、将、将“实函实函”中中,函数、极限、连续、微商、积分、级数推广至函数、极限、连续、微商、积分、级数推广至“复函复函”中；中；、解除了实数领域中若干禁令：、解除了实数领域中若干禁令：实函实函复函复函不存在不存在不存在不存在2本讲稿第二页，共二十页复变函数的内容复变函数的内容：、将、将“实函实函”中中,函数、极限、连续、微商、积分、级数推广至函数、极限、连续、微商、积分、级数推广至“复函复函”中；中；、解除了实数领域中若干禁令：、解除了实数领域中若干禁令：、建立了三角函数和指数函数，双曲函数的关系、建立了三角函数和指
2、数函数，双曲函数的关系shx为双曲正弦为双曲正弦chx为双曲余弦为双曲余弦3本讲稿第三页，共二十页二二.复变函数的应用：复变函数的应用：1、解偏微分方程的边值问题解偏微分方程的边值问题，如：保角变换法、，如：保角变换法、复变函数法；复变函数法；2、解偏微分方程的初值问题解偏微分方程的初值问题，如：积分变换法、，如：积分变换法、行波法；行波法；3、计算实积分计算实积分，如：留数定理。，如：留数定理。4本讲稿第四页，共二十页11.1.1 复数与复数运算复数与复数运算一一.复数的基本概念复数的基本概念虚数单位虚数单位复数复数实部、虚部实部、虚部纯虚数纯虚数两个复数相等两个复数相等实部和虚部分别相等实
3、部和虚部分别相等第一章第一章 复变函数复变函数ZxyzO代数式代数式代数式代数式复数平面复数平面复数平面复数平面实轴实轴实轴实轴虚轴虚轴虚轴虚轴 复数还可以用复平面上的复数还可以用复平面上的矢量矢量来表示！来表示！复数不复数不能比较能比较大小大小！5本讲稿第五页，共二十页复数的复数的三角表示式三角表示式三角表示式三角表示式：复数的复数的指数表示式指数表示式指数表示式指数表示式：r称为称为z的模：的模：z的辐角：的辐角：辐角没有意义辐角没有意义.结论结论设设的一个辐角，的一个辐角，为为则则的辐角中，的辐角中，满足满足的角的角.ZxyzO欧拉公式欧拉公式6本讲稿第六页，共二十页设设共轭复数共轭复数
4、共轭复数共轭复数i)ii)iii)iv)定义定义ZxyzO7本讲稿第七页，共二十页二二.无限远点无限远点N为北极为北极，S为南极为南极除去北极除去北极N，球面上的点与复平面内球面上的点与复平面内的点一一对应的点一一对应.除去北极除去北极N，球面上的点与球面上的点与复数一一对应复数一一对应.这种对应叫做这种对应叫做即即因当因当z点无限地远离原点时点无限地远离原点时或者说，当复数或者说，当复数z的模无限地变大时，的模无限地变大时，点点P就无限地接近于就无限地接近于N.所以，规定：所以，规定：复平面上有一个唯一的复平面上有一个唯一的复平面上有一个唯一的复平面上有一个唯一的“无穷远点无穷远点无穷远点无
5、穷远点”与与与与N N相对应相对应相对应相对应.相应地，规定：相应地，规定：复数中有一个唯一的复数中有一个唯一的复数中有一个唯一的复数中有一个唯一的“无穷大无穷大无穷大无穷大”与复平面上的无穷远点与复平面上的无穷远点与复平面上的无穷远点与复平面上的无穷远点 N N相对应相对应相对应相对应.记为记为记为记为 测地投影测地投影测地投影测地投影，球叫做，球叫做复数球复数球复数球复数球8本讲稿第八页，共二十页三三.复数的运算复数的运算和差和差和差和差积积积积交换律结合律交换律结合律交换律结合律交换律结合律交换律、结合律、分配律交换律、结合律、分配律交换律、结合律、分配律交换律、结合律、分配律商商商商除
6、法是乘法的除法是乘法的逆运算逆运算逆运算逆运算9本讲稿第九页，共二十页有的时候采用三角式或者指数式表示更加简单：有的时候采用三角式或者指数式表示更加简单：辐角不能唯一确定，可以相差辐角不能唯一确定，可以相差 的整数倍的整数倍10本讲稿第十页，共二十页定义定义棣莫弗棣莫弗(DeMoivre)公式：公式：11本讲稿第十一页，共二十页下面求出下面求出w由棣莫弗公式得：由棣莫弗公式得：12本讲稿第十二页，共二十页13本讲稿第十三页，共二十页解解:例例2 设设 求求与与例例1 设设求求与与14本讲稿第十四页，共二十页例例3 将将化为三角表示和指数表示化为三角表示和指数表示.(在第三象限在第三象限)解解:
7、三角式三角式:指数式指数式:15本讲稿第十五页，共二十页例例41i解解16本讲稿第十六页，共二十页|x+iy+i|=|x+i(y+1)|=2解：解：例例5：求下列方程所表示的曲线：求下列方程所表示的曲线(1)|z+i|=2(2)|z-2i|=|z+2|(3)Im(i+=4（1）|z+i|=2即是即是表示圆心在（表示圆心在（0，-1）半径）半径2的圆的圆-1yx表示点表示点2i和到和到-2两点距离相等点的轨迹。既过原点的直线两点距离相等点的轨迹。既过原点的直线（2）|z-2i|=|z+2|2-217本讲稿第十七页，共二十页(3)、Im(i+所以所以1-y=4是是y=-3的直线的直线xyy=-31
8、8本讲稿第十八页，共二十页若若z不在负实轴和原点上，则不在负实轴和原点上，则复数的加减与向量的加减一致复数的加减与向量的加减一致19本讲稿第十九页，共二十页扩充复平面：扩充复平面：复平面（有限复平面）：复平面（有限复平面）：包含无穷远点在内的复平面包含无穷远点在内的复平面不包含无穷远点在内的复平面不包含无穷远点在内的复平面复数复数：实部、虚部、模、辐角的概念均无意义实部、虚部、模、辐角的概念均无意义规定：规定：如无特殊说明，所谓如无特殊说明，所谓“平面平面”一般仍指有限平面，所谓一般仍指有限平面，所谓“点点”仍指有限平仍指有限平面上的点面上的点.不规定其意义不规定其意义仍不确定仍不确定20本讲稿第二十页，共二十页