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1、2014高考导航高考导航考纲展示考纲展示备考指南备考指南1.理解直线的方向向量与平面的法理解直线的方向向量与平面的法向量向量2.能用向量语言表述直线与直线、能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系平行关系3.能用向量方法证明有关直线和平能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理面位置关系的一些定理(包括三垂包括三垂线定理线定理)4.能用向量方法解决直线与直线、能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的作用体几何问题
2、中的作用.从近几年的高考试题来看，从近几年的高考试题来看，利用空间向量证明平行与利用空间向量证明平行与垂直，以及求空间角是高垂直，以及求空间角是高考的热点，题型主要为解考的热点，题型主要为解答题，难度属于中等偏高，答题，难度属于中等偏高，主要考查向量的坐标运算，主要考查向量的坐标运算，以及向量的平行与垂直的以及向量的平行与垂直的充要条件，如何用向量法充要条件，如何用向量法解决空间角问题等，同时解决空间角问题等，同时注重考查学生的空间想象注重考查学生的空间想象能力、运算能力能力、运算能力.第1页/共48页本节目录教材回顾夯实双基考点探究 讲练互动名师讲坛精彩呈现知能演练轻松闯关第2页/共48页教
3、材回顾夯实双基1直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一_向量作为它的方向向量(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向非零第3页/共48页思考探究思考探究直线的方向向量和平面的法向量是唯一的吗？直线的方向向量和平面的法向量是唯一的吗？提提示示：不不唯唯一一，凡凡是是在在直直线线l上上的的非非零零向向量量或或与与l平平行行的的非非零零向向量量都都可可以以作作为为直直线线的的方方向向向向量量，凡凡是是与与平平面垂直的非零向量都可以作为平面的法向量面垂直的非零向量都可以作为平面的法向量第4页/共48页第5页/共48页第6页/共48
4、页课前热身课前热身答案：B第7页/共48页2已已知知M(1,0,1)，N(0,1,1)，P(1,1,0)，则则平平面面MNP的一个法向量是的一个法向量是()A(1,0,0)B(0,1,0)C(0,0,1)D(1,1,1)第8页/共48页3已已知知直直线线l的的方方向向向向量量为为v，平平面面的的法法向向量量是是，且且v0，则，则l与与的位置关系是的位置关系是_答案：答案：l或或l4已已知知正正方方体体ABCDA1B1C1D1中中平平面面AB1D1与与平平面面A1BD所成的角为所成的角为(090)，则，则cos_.第9页/共48页考点探究讲练互动例1第10页/共48页【证证明明】以以C为为坐坐标
5、标原原点点，CB所所在在直直线线为为x轴轴，CD所所在在直直线线为为y轴轴，CP所所在在直直线线为为z轴轴建建立立如如图图所所示示的的空空间间直角坐标系直角坐标系Cxyz.PC平面平面ABCD，PBC为为PB与平面与平面ABCD所成的角，所成的角，PBC30.第11页/共48页第12页/共48页第13页/共48页第14页/共48页第15页/共48页【名名师师点点评评(1)【利利用用空空间间向向量量解解决决空空间间中中线线面面位位置置关关系系的的证证明明问问题题，以以代代数数运运算算代代替替复复杂杂的的空空间间想象，为解决立体几何问题带来了简捷的方法想象，为解决立体几何问题带来了简捷的方法.(2
6、)用用空空间间向向量量解解决决立立体体几几何何问问题题的的关关键键是是建建立立适适当当的的坐坐标标系系，并并准准确确地地确确定定点点的的坐坐标标，另另外外运运算算错错误也是解题中常出现的问题误也是解题中常出现的问题第16页/共48页跟踪训练跟踪训练第17页/共48页例2 (2011高考大纲全国改编卷)如图，四棱锥SABCD中，ABCD，BCCD，侧面SAB为等边三角形，ABBC2，CDSD1.(1)证明：SD平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成角的正弦值第18页/共48页【解解】以以C为为坐坐标标原原点点，射射线线CD为为x轴轴正正半半轴轴，建建立如图所示的空间直角坐标系立如图所示的空间直
7、角坐标系Cxyz.设设D(1,0,0)，则，则A(2,2,0)、B(0,2,0)又设又设S(x，y，z)，则，则x0，y0，z0.第19页/共48页第20页/共48页第21页/共48页第22页/共48页【名师点评名师点评】利用向量法求线面角的方法：利用向量法求线面角的方法：(1)分分别别求求出出斜斜线线和和它它在在平平面面内内的的射射影影直直线线的的方方向向向向量量，转化为求两个方向向量的夹角转化为求两个方向向量的夹角(或其补角或其补角；(2)通通过过平平面面的的法法向向量量来来求求，即即求求出出斜斜线线的的方方向向向向量量与与平平面面的的法法向向量量所所夹夹的的锐锐角角，取取其其余余角角就就
8、是是斜斜线线和和平平面面所所成成的的角角第23页/共48页跟踪训练跟踪训练第24页/共48页解解：(1)证证明明：由由正正三三棱棱柱柱ABCA1B1C1的的性性质质知知，AA1平面平面ABC.又又DE平面平面ABC，所以，所以DEAA1.又又DEA1E，AA1A1EA1，所以所以DE平面平面ACC1A1.又又DE平面平面A1DE，故平面故平面A1DE平面平面ACC1A1.第25页/共48页第26页/共48页第27页/共48页例3 (2012高考天津卷)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC45，PAAD2，AC1.(1)证明PCAD；(2)求二面角APCD的正
9、弦值；(3)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30，求AE的长第28页/共48页第29页/共48页第30页/共48页第31页/共48页第32页/共48页【名名师师点点评评】求求二二面面角角最最常常用用的的方方法法就就是是分分别别求求出出二二面面角角的的两两个个面面所所在在平平面面的的法法向向量量，然然后后通通过过两两个个平平面面的的法法向向量量的的夹夹角角得得到到二二面面角角的的大大小小，但但要要注注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角第33页/共48页第34页/共48页解解：(1)证证明明：如如图图，连连接接AB，AC，因因为为三三棱
10、棱柱柱ABCABC为为直直三三棱棱柱柱，所所以以四四边边形形ABBA为为矩矩形形，又又M为为AB的中点，所以的中点，所以M为为AB的中点的中点又因为又因为N为为BC的中点，所以的中点，所以MNAC.又又 MN 平平 面面 AACC，AC平平 面面 AACC，因因 此此 MN平平面面AACC.第35页/共48页第36页/共48页第37页/共48页1用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2
11、)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题第38页/共48页2空间向量在求空间角中的价值体现空间向量在求空间角中的价值体现(1)求求两两异异面面直直线线a、b的的夹夹角角，须须求求出出它它们们的的方方向向向向量量a，b的夹角，即的夹角，即cos|cosa，b|.(2)求求直直线线l与与平平面面所所成成的的角角，可可先先求求出出平平面面的的法法向向量量n与与直直线线l的的方方向向向向量量a的的夹夹角角则则sin|cosn，a|.(3)求求二二面面角角l的的大大小小，可可先先求求出出两两个个平平面面的的法法向向量量n1，n2所所成成的的角角，则则n1，
12、n2或或n1，n2第39页/共48页名师讲坛精彩呈现例 (本题满分12分)如图，已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA11，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30，AE垂直BD于点E，F为A1B1的中点(1)求异面直线AE与BF所成角的余弦值；(2)求平面BDF与平面AA1B1B所成二面角(锐角)的余弦值第40页/共48页1第41页/共48页2第42页/共48页3第43页/共48页信息提炼层层剖析信息提炼层层剖析 建系时，要说明详细，属易失分点建系时，要说明详细，属易失分点 找找准准向向量量，求求角角或或求求角角的的三三角角函函数数值值时时，若若为为钝钝角角或或负负值，值，直接
13、转化为锐角或正值直接转化为锐角或正值 绝绝对对值值符符号号的的加加与与不不加加，要要看看所所求求角角为为锐锐角角或或钝钝角角而而定定123第44页/共48页【名师点评名师点评】利用向量法求两异面直线利用向量法求两异面直线a，b的夹角的夹角，须求出它们的方向向量，须求出它们的方向向量a，b的夹角，则的夹角，则cos|cosa，b|；求二面角；求二面角l的大小的大小，可先求出两个平面，可先求出两个平面的法向量的法向量n1，n2所成的角，则所成的角，则n1，n2或或n1，n2本题易错点是：本题易错点是：(1)建系时不能明确指出坐标原建系时不能明确指出坐标原点和坐标轴，致使建系不规范点和坐标轴，致使建系不规范(2)易将所求空间角误认易将所求空间角误认为是向量的夹角，故要注意角的概念和图形特征进行转为是向量的夹角，故要注意角的概念和图形特征进行转化化第45页/共48页知能演练轻松闯关第46页/共48页本部分内容讲解结束本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放第47页/共48页感谢您的观看！第48页/共48页