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1、高中数学 立体几何中的向量方法本讲稿第一页，共四十八页2014高考高考导导航航考考纲纲展示展示备备考指南考指南1.理解直理解直线线的方向向量与平面的法的方向向量与平面的法向量向量2.能用向量能用向量语语言表述直言表述直线线与直与直线线、直直线线与平面、平面与平面的垂直、与平面、平面与平面的垂直、平行关系平行关系3.能用向量方法能用向量方法证证明有关直明有关直线线和平和平面位置关系的一些定理面位置关系的一些定理(包括三垂包括三垂线线定理定理)4.能用向量方法解决直能用向量方法解决直线线与直与直线线、直直线线与平面、平面与平面的与平面、平面与平面的夹夹角的角的计计算算问题问题，了解向量方法在研究立
2、，了解向量方法在研究立体几何体几何问题问题中的作用中的作用.从近几年的高考从近几年的高考试题试题来看，来看，利用空利用空间间向量向量证证明平行与明平行与垂直，以及求空垂直，以及求空间间角是高角是高考的考的热热点，点，题题型主要型主要为为解解答答题题，难难度属于中等偏高，度属于中等偏高，主要考主要考查查向量的坐向量的坐标标运算，运算，以及向量的平行与垂直的以及向量的平行与垂直的充要条件，如何用向量法充要条件，如何用向量法解决空解决空间间角角问题问题等，同等，同时时注重考注重考查查学生的空学生的空间间想象想象能力、运算能力能力、运算能力.本讲稿第二页，共四十八页本节目录本节目录教教材材回回顾顾夯夯
3、实实双双基基考考点点探探究究 讲讲练练互互动动名名师师讲讲坛坛精精彩彩呈呈现现知知能能演演练练轻轻松松闯闯关关本讲稿第三页，共四十八页教材回顾夯实双基教材回顾夯实双基1直直线线的方向向量与平面的法向量的确定的方向向量与平面的法向量的确定(1)直直线线的方向向量：在直的方向向量：在直线线上任取一上任取一_向量作向量作为为它的它的方向向量方向向量(2)平面的法向量可利用方程平面的法向量可利用方程组组求出：求出：设设a，b是平面是平面内两不共内两不共线线向量，向量，n为为平面平面的法向的法向非零非零本讲稿第四页，共四十八页思考探究思考探究直直线线的方向向量和平面的法向量是唯一的的方向向量和平面的法向
4、量是唯一的吗吗？提提示示：不不唯唯一一，凡凡是是在在直直线线l上上的的非非零零向向量量或或与与l平平行行的的非非零零向向量量都都可可以以作作为为直直线线的的方方向向向向量量，凡凡是是与与平平面面垂垂直直的的非非零零向向量量都都可可以作以作为为平面的法向量平面的法向量本讲稿第五页，共四十八页本讲稿第六页，共四十八页coscosn1，n2或或cosn1，n2本讲稿第七页，共四十八页课课前前热热身身答案：答案：B本讲稿第八页，共四十八页2已已知知M(1,0,1)，N(0,1,1)，P(1,1,0)，则则平平面面MNP的的一一个个法法向向量量是是()A(1,0,0)B(0,1,0)C(0,0,1)D(
5、1,1,1)本讲稿第九页，共四十八页3已已知知直直线线l的的方方向向向向量量为为v，平平面面的的法法向向量量是是，且且v0，则则l与与的位置关系是的位置关系是_答案：答案：l或或l4已已知知正正方方体体ABCDA1B1C1D1中中平平面面AB1D1与与平平面面A1BD所所成成的的角角为为(090)，则则cos_.本讲稿第十页，共四十八页考点探究讲练互动考点探究讲练互动例例1本讲稿第十一页，共四十八页【证证明明】以以C为为坐坐标标原原点点，CB所所在在直直线线为为x轴轴，CD所所在在直直线线为为y轴轴，CP所在直所在直线为线为z轴轴建立如建立如图图所示的空所示的空间间直角坐直角坐标标系系Cxyz
6、.PC平面平面ABCD，PBC为为PB与平面与平面ABCD所成的角，所成的角，PBC30.本讲稿第十二页，共四十八页本讲稿第十三页，共四十八页本讲稿第十四页，共四十八页本讲稿第十五页，共四十八页本讲稿第十六页，共四十八页【名名师师点点评评】(1)利利用用空空间间向向量量解解决决空空间间中中线线面面位位置置关关系系的的证证明明问问题题，以以代代数数运运算算代代替替复复杂杂的的空空间间想想象象，为为解解决决立立体体几几何何问问题题带带来了来了简简捷的方法捷的方法.(2)用用空空间间向向量量解解决决立立体体几几何何问问题题的的关关键键是是建建立立适适当当的的坐坐标标系系，并并准准确确地地确确定定点点
7、的的坐坐标标，另另外外运运算算错错误误也也是是解解题题中中常常出出现现的的问问题题本讲稿第十七页，共四十八页跟踪跟踪训练训练本讲稿第十八页，共四十八页例例2 (2011高高考考大大纲纲全全国国改改编编卷卷)如如图图，四四棱棱锥锥SABCD中中，ABCD，BCCD，侧侧面面SAB为为等等边边三三角角形形，ABBC2，CDSD1.(1)证证明：明：SD平面平面SAB；(2)求求AB与平面与平面SBC所成角的正弦所成角的正弦值值本讲稿第十九页，共四十八页【解解】以以C为为坐坐标标原原点点，射射线线CD为为x轴轴正正半半轴轴，建建立立如如图图所所示示的空的空间间直角坐直角坐标标系系Cxyz.设设D(1
8、,0,0)，则则A(2,2,0)、B(0,2,0)又又设设S(x，y，z)，则则x0，y0，z0.本讲稿第二十页，共四十八页本讲稿第二十一页，共四十八页本讲稿第二十二页，共四十八页本讲稿第二十三页，共四十八页【名名师师点点评评】利用向量法求利用向量法求线线面角的方法：面角的方法：(1)分分别别求求出出斜斜线线和和它它在在平平面面内内的的射射影影直直线线的的方方向向向向量量，转转化化为为求两个方向向量的求两个方向向量的夹夹角角(或其或其补补角角)；(2)通通过过平平面面的的法法向向量量来来求求，即即求求出出斜斜线线的的方方向向向向量量与与平平面面的的法法向量所向量所夹夹的的锐锐角，取其余角就是斜
9、角，取其余角就是斜线线和平面所成的角和平面所成的角本讲稿第二十四页，共四十八页跟踪跟踪训练训练本讲稿第二十五页，共四十八页解解：(1)证证明明：由由正正三三棱棱柱柱ABCA1B1C1的的性性质质知知，AA1平平面面ABC.又又DE平面平面ABC，所以，所以DEAA1.又又DEA1E，AA1A1EA1，所以所以DE平面平面ACC1A1.又又DE平面平面A1DE，故平面故平面A1DE平面平面ACC1A1.本讲稿第二十六页，共四十八页本讲稿第二十七页，共四十八页本讲稿第二十八页，共四十八页例例3 (2012高高考考天天津津卷卷)如如图图，在在四四棱棱锥锥PABCD中中，PA平平面面ABCD，ACAD
10、，ABBC，BAC45，PAAD2，AC1.(1)证证明明PCAD；(2)求二面角求二面角APCD的正弦的正弦值值；(3)设设E为为棱棱PA上上的的点点，满满足足异异面面直直线线BE与与CD所所成成的的角角为为30，求，求AE的的长长本讲稿第二十九页，共四十八页本讲稿第三十页，共四十八页本讲稿第三十一页，共四十八页本讲稿第三十二页，共四十八页本讲稿第三十三页，共四十八页【名名师师点点评评】求求二二面面角角最最常常用用的的方方法法就就是是分分别别求求出出二二面面角角的的两两个个面面所所在在平平面面的的法法向向量量，然然后后通通过过两两个个平平面面的的法法向向量量的的夹夹角角得得到到二二面面角角的
11、的大大小小，但但要要注注意意结结合合实实际际图图形形判判断断所所求求角角是是锐锐角角还还是是钝钝角角本讲稿第三十四页，共四十八页本讲稿第三十五页，共四十八页解解：(1)证证明明：如如图图，连连接接AB，AC，因因为为三三棱棱柱柱ABCABC为为直直三三棱棱柱柱，所所以以四四边边形形ABBA为为矩矩形形，又又M为为AB的中点，所以的中点，所以M为为AB的中点的中点又因又因为为N为为BC的中点，所以的中点，所以MNAC.又又MN 平平面面AACC，AC平平面面AACC，因因此此MN平平面面AACC.本讲稿第三十六页，共四十八页本讲稿第三十七页，共四十八页本讲稿第三十八页，共四十八页1用用向向量量知
12、知识识证证明明立立体体几几何何问问题题有有两两种种基基本本思思路路：一一种种是是用用向向量量表表示示几几何何量量，利利用用向向量量的的运运算算进进行行判判断断；另另一一种种是是用用向向量量的的坐坐标标表表示示几几何何量量，共共分分三三步步：(1)建建立立立立体体图图形形与与空空间间向向量量的的联联系系，用用空空间间向向量量(或或坐坐标标)表表示示问问题题中中所所涉涉及及的的点点、线线、面面，把把立立体体几几何何问问题题转转化化为为向向量量问问题题；(2)通通过过向向量量运运算算，研研究究点点、线线、面面之之间间的的位位置置关系；关系；(3)根据运算根据运算结结果的几何意果的几何意义义来解来解释
13、释相关相关问题问题本讲稿第三十九页，共四十八页2空空间间向量在求空向量在求空间间角中的价角中的价值值体体现现(1)求求两两异异面面直直线线a、b的的夹夹角角，须须求求出出它它们们的的方方向向向向量量a，b的的夹夹角，即角，即cos|cosa，b|.(2)求求直直线线l与与平平面面所所成成的的角角，可可先先求求出出平平面面的的法法向向量量n与与直直线线l的方向向量的方向向量a的的夹夹角角则则sin|cosn，a|.(3)求求二二面面角角l的的大大小小，可可先先求求出出两两个个平平面面的的法法向向量量n1，n2所所成的角，成的角，则则n1，n2或或n1，n2本讲稿第四十页，共四十八页名师讲坛精彩呈
14、现名师讲坛精彩呈现例例 (本本题题满满分分12分分)如如图图，已已知知在在长长方方体体ABCDA1B1C1D1中中，AB2，AA11，直直线线BD与与平平面面AA1B1B所所成成的的角角为为30，AE垂垂直直BD于点于点E，F为为A1B1的中点的中点(1)求异面直求异面直线线AE与与BF所成角的余弦所成角的余弦值值；(2)求平面求平面BDF与平面与平面AA1B1B所成二面角所成二面角(锐锐角角)的余弦的余弦值值本讲稿第四十一页，共四十八页1本讲稿第四十二页，共四十八页2本讲稿第四十三页，共四十八页3本讲稿第四十四页，共四十八页信息提信息提炼炼层层层层剖析剖析 建系建系时时，要，要说说明明详细详
15、细，属易失分点，属易失分点 找准向量，求角或求角的三角函数找准向量，求角或求角的三角函数值时值时，若，若为钝为钝角或角或负值负值，直接直接转转化化为锐为锐角或正角或正值值 绝对值绝对值符号的加与不加，要看所求角符号的加与不加，要看所求角为锐为锐角或角或钝钝角而定角而定123本讲稿第四十五页，共四十八页【名名师师点点评评】利用向量法求两异面直利用向量法求两异面直线线a，b的的夹夹角角，须须求出它求出它们们的方向向量的方向向量a，b的的夹夹角，角，则则cos|cosa，b|；求二面角；求二面角l的大小的大小，可先求出两个平面的法向量，可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角，所成的角，则则n1，n2或或n1，n2本本题题易易错错点是：点是：(1)建系建系时时不能明确指出不能明确指出坐坐标标原点和坐原点和坐标轴标轴，致使建系不，致使建系不规规范范(2)易将所求空易将所求空间间角角误认误认为为是向量的是向量的夹夹角，故要注意角的概念和角，故要注意角的概念和图图形特征形特征进进行行转转化化本讲稿第四十六页，共四十八页知能演练轻松闯关知能演练轻松闯关本讲稿第四十七页，共四十八页本部分内容讲解结束本部分内容讲解结束按按ESC键键退出全屏播放退出全屏播放本讲稿第四十八页，共四十八页