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1、塑性理论:研究金属在塑性状态的力学行为称为塑性理论或塑性力学,是连续介质力学的一个分支。塑性理论假设:(1)变形体是连续的;(2)变形体是均质和各向同性的;(3)在变形的任一瞬间,力的作用是平衡的;(4)在一般情况下,忽略体积力的影响。第1页/共57页在塑性理论中,分析问题的方法:静力学:根据静力学平衡条件导出应力分量之间的关系式平衡微分方程。几何学:根据变形体的连续性和均匀性,导出应变与位移分量之间的关系式几何方程。物理学:根据实验与假设导出应变与应力分量之间的关系式物理方程或本构方程。此外,建立变形体在塑性状态下应力分量与材料性能之间的关系屈服准则或塑性条件。第2页/共57页主要内容主要内
2、容第一节张量的基本知识第二节外力、应力和点的应力状态第三节主应力和主切应力第四节 应力平衡微分方程第五节 应力莫尔圆第3页/共57页第一节张量的基本知识第一节张量的基本知识一、角标符号和求和约定二、张量的基本概念三、张量的基本性质第4页/共57页一、角标符号和求和约定一、角标符号和求和约定 角角标标符符号号:成成组组的的符符号号和和数数组组可可以以用用一一个个带带下下角角标标的的符号表示,这种符号叫角标符号。符号表示,这种符号叫角标符号。如如可可用用xi即即(x1,x2,x3)表表示示一一点点的的坐坐标标;如如应应力力分分量量 xx,xy,xz,可简记为,可简记为 ij(i,j=x,y,z)等
3、。)等。一一般般地地,如如果果一一个个坐坐标标系系有有m个个角角标标,每每个个角角标标取取n个个 值值,则则 该该 角角 标标 符符 号号 代代 表表 着着 nm个个 元元 素素,例例 如如 ij(i,j=x,y,z)(m=2,n=3)就包含有)就包含有9个元素。个元素。第5页/共57页 克氏符号:克氏符号:ijij称为克罗内克(称为克罗内克(KroneckerKronecker)符号,)符号,ijij定义为定义为 导数记号:导数记为导数记号:导数记为f,f,j j,表示,表示f(xf(xi i)对对x xj j的导数,逗号的导数,逗号后边的下标表示对相应坐标的求导后边的下标表示对相应坐标的求
4、导第6页/共57页求和约定:求和约定:在一项中,没有重复出现的角标叫自由标,表示该项的个数。在一项中,没有重复出现的角标叫自由标,表示该项的个数。在一项中,同一角标出现二次,则对该角标自在一项中,同一角标出现二次,则对该角标自1到到n的所有元素的所有元素求和,这种角标在求和之后不再出现,称之为哑标,这一运算称求和,这种角标在求和之后不再出现,称之为哑标,这一运算称之为求和约定。之为求和约定。第7页/共57页二、张量的基本概念二、张量的基本概念张张量量:由由若若干干个个当当坐坐标标系系改改变变时时满满足足转转换换关关系系的的分分量量组组成成的的集集合合,称称为为张张量量,需需要要用用空空间间坐坐
5、标标系系中中的的三三个个矢矢量,即量,即9个分量才能完整地表示。个分量才能完整地表示。它它的的重重要要特特征征是是在在不不同同的的坐坐标标系系中中分分量量之之间间可可以以用用一一定的线性关系来换算。定的线性关系来换算。描描述述张张量量分分量量的的个个数数用用阶阶表表示示。在在三三维维空空间间中中,其其张张量量分分量量的的个个数数为为3n,如如应应力力、应应变变是是二二阶阶张张量量,有有32=9个分量。个分量。第8页/共57页其其中中,lki,llj为为新新坐坐标标系系的的坐坐标标轴轴关关于于原坐标系的方向余弦。原坐标系的方向余弦。表示点应力状态的九个应力分量构成二表示点应力状态的九个应力分量构
6、成二阶张量,称为应力张量。阶张量,称为应力张量。不同坐标系中的应力分量之间的转换关系不同坐标系中的应力分量之间的转换关系第9页/共57页三、张量的基本性质三、张量的基本性质 张量不变量:张量不变量:二阶张量存在三个独立的不变量。二阶张量存在三个独立的不变量。张量可以叠加和分解:张量可以叠加和分解:几几个个同同阶阶张张量量各各对对应应的的分分量量之之和和或或差差定定义义为为另另一一个个同同阶阶张张量量,张量可分为对称张量、非对称张量、反对称张量。张量可分为对称张量、非对称张量、反对称张量。任任意意非非对对称称张张量量可可以以分分解解为为一一个个对对称称张张量量和和一一个个反反对对称称张张量量,二
7、阶对称张量存在三个主轴和三个主值二阶对称张量存在三个主轴和三个主值。以以主主轴轴为为坐坐标标轴轴,两两个个下下角角标标不不同同的的分分量量均均为为零零,只只留留下下两两个个下角标相同的三个分量,叫作主值。下角标相同的三个分量,叫作主值。第10页/共57页一、外力和应力二、直角坐标系中一点的应力状态第二节外力第二节外力、应力和点的应力状态应力和点的应力状态第11页/共57页FFF一、外力和应力 外力:塑性加工时,由外部施加于物体的作用力叫外力。可以分为两类:面力或接触力和体积力 面力:作用于物体表面的力,也叫接触力,如作用于物体表面的分布载荷,正压力和摩擦力都是面力。体积力:作用在物体每个质点上
8、的力,如重力、磁力和惯性力等。注:对于一般的塑性成形过程,体积力可以忽略不计。但在高速成形时,惯性力不能忽略。第12页/共57页 应应力力:在在外外力力的的作作用用下下,变变形形体体内内各各质质点点就就会会产产生生相相互互作作用用的的力力,称称为为内内力力。单单位位面面积积上上的的内内力力称称为为应应力力,可可采采用用截截面法面法进行分析。进行分析。设设Q点处一无限小的面积点处一无限小的面积F上内力的合力为上内力的合力为P,则定义,则定义为为截截面面F上上Q点点的的全全应应力力,可可以以分分解解成成两两个个分分量量:垂垂直直于于截截面面的的正正应应力力 和和平平行行于于截截面面的的切切应力应力
9、,有,有注:注:过过Q点可以作无限多的切面,在不同方向的切面上,点可以作无限多的切面,在不同方向的切面上,Q点的应力不同。点的应力不同。第13页/共57页二、直角坐标系中一点的应力状态二、直角坐标系中一点的应力状态 在在三三个个互互相相垂垂直直的的微微分分面面上上有有三三个个正正应应力力分分量量和和六六个个切切应应力力分量;分量;一般情况下,共有一般情况下,共有9个应力分量完整地描述一点的应力状态。个应力分量完整地描述一点的应力状态。第14页/共57页1)应力分量的符号带有两个下角标:)应力分量的符号带有两个下角标:前前一一个个角角标标表表示示该该应应力力分分量量所所在在的的坐坐标标面面(用用
10、该该面面的的法法线命名);线命名);第二个角标表示应力所指的坐标方向;第二个角标表示应力所指的坐标方向;正正应应力力分分量量的的两两个个下下角角标标相相同同,两两个个下下角角标标不不同同的的是是切切应力分量。应力分量。切应力互等定理切应力互等定理 9个个应应力力分分量量中中只只有有6个个是是互互相相独独立立的的,它它们们组组成对称的应力张量。成对称的应力张量。第15页/共57页2)应力分量有正、负之分:)应力分量有正、负之分:外外法法线线指指向向坐坐标标轴轴正正向向的的微微分分面面叫叫做做正正面面,反反之之为为负面;负面;在在正正面面上上指指向向坐坐标标轴轴正正向向的的应应力力分分量量取取正正
11、号号,指指向向相反方向的取负号;相反方向的取负号;负负面面上上的的应应力力分分量量则则相相反反。按按此此规规定定,拉拉应应力力为为正正,压应力为负。压应力为负。第16页/共57页任意斜面上的力:任意斜面上的力:已已知知变变形形体体中中一一点点的的九九个个应应力力分分量量,由由静静力力平平衡衡条条件件,可可求求得过该点的任意斜面上的应力。得过该点的任意斜面上的应力。已已知知Q点点三三个个互互相相垂垂直直坐坐标标面面上上的的应应力力分分量量 ij,过过Q点点任任一一斜斜面面ABC(面面积积为为dF)的的法法线线N与与三三个个坐坐标标轴轴的的方方向向余余弦为弦为l,m,n,l=cos(N,x)m=c
12、os(N,y)n=cos(N,z)第17页/共57页分析:分析:1)斜面在三个坐标面的投影面积分别为)斜面在三个坐标面的投影面积分别为 dFx=ldF;dFy=mdF;dFz=ndF2)设设斜斜面面上上的的全全应应力力为为S,它它在在三三个个坐坐标标轴轴方方向向上上的的分分量量为为Sx、Sy、Sz,由静力平衡条件,由静力平衡条件,得:得:整理得整理得 (13-6)(应力边界条件应力边界条件)用角标符号简记为用角标符号简记为第18页/共57页全应力全应力 3 3)斜面上的正应力)斜面上的正应力 斜面上的切应力为斜面上的切应力为 注注:已已知知过过一一点点9 9个个应应力力分分量量,可可以以求求出
13、出过过该该点点任任意意方方向向微微分分面上的应力,即这面上的应力,即这9 9个应力分量可以确定该点的应力状态。个应力分量可以确定该点的应力状态。222st-=S (13-8)第19页/共57页第三节主应力和主切应力第三节主应力和主切应力一、主应力二、应力张量不变量三、主切应力和最大切应力四、应力偏张量和应力球张量五、等效应力第20页/共57页一、主应力一、主应力主平面:主平面:切应力为零的平面称为切应力为零的平面称为主平面主平面;主应力:主应力:主平面上的正应力叫做主平面上的正应力叫做主应力主应力;主主方方向向:主主平平面面的的法法线线方方向向,亦亦即即主主应应力力的的方方向向称称为为主主方方
14、向向或或应力主轴应力主轴。第21页/共57页主平面上全应力在三个坐标轴上的投影为主平面上全应力在三个坐标轴上的投影为与式(与式(13-613-6)合并整理得)合并整理得其中,其中,l,m,n为未知数,其解为应力主轴方向为未知数,其解为应力主轴方向第22页/共57页由几何关系由几何关系则则 第23页/共57页展开行列式,整理得应力状态特征方程展开行列式,整理得应力状态特征方程其中 它有一组唯一的实根,即三个主应力它有一组唯一的实根,即三个主应力(13-12)第24页/共57页二、应力张量不变量二、应力张量不变量尽尽管管应应力力张张量量的的各各分分量量随随坐坐标标而而变变,但但按按式式(13-12
15、13-12)组组成成的的函函数数值值是是不不变变的的,所所以以J1J1、J2J2、J3J3称称为为应应力力张张量量第第一一、第第二二、第三第三不变量不变量。应应力力张张量量的的三三个个不不变变量量表表示示了了一一个个确确定定的的应应力力状状态态其其应应力力分分量之间的确定关系。量之间的确定关系。在在主主轴轴坐坐标标系系中中,一一点点的的应应力力状状态态只只有有三三个个主主应应力力,应应力力张张量为量为第25页/共57页主轴坐标系中斜面上的应力:主轴坐标系中斜面上的应力:第26页/共57页三、主切应力和最大切应力三、主切应力和最大切应力 主切应力平面主切应力平面:使切应力达到极大值的平面称为主切
16、应力平:使切应力达到极大值的平面称为主切应力平面;面;主切应力:主切应力:主切应力平面上所作用的切应力称为主切应力。主切应力平面上所作用的切应力称为主切应力。在主轴空间中,垂直于一个主平面而与另两个主平面交角在主轴空间中,垂直于一个主平面而与另两个主平面交角为为4545 的平面就是主切应力平面。的平面就是主切应力平面。第27页/共57页第28页/共57页(13-18)主切应力平面上的主切应力为主切应力平面上的主切应力为 主主切切应应力力角角标标表表示示与与主主切切应应力力平平面面呈呈4545 相相交交的的两两主平面的编号。三个主切应力平面也是互相正交。主平面的编号。三个主切应力平面也是互相正交
17、。第29页/共57页最大切应力:主切应力中绝对值最大的一个称为最大切应力,用max表示。设三个主应力的关系为 ,则主切应力平面上的正应力值和主切应力值主切应力平面上的正应力值和主切应力值(13-19)(13-20)第30页/共57页主切应力的性质:若1=2=3=,即变形体处于三向等拉或三向等压的应力状态(即球应力状态)时,主切应力为零:12=23=31=0若三个主应力同时增加或减少一个相同的值时,主切应力值将保持不变。第31页/共57页四、应力偏张量和应力球张量四、应力偏张量和应力球张量或或(13-21)若取主坐标系,则若取主坐标系,则第32页/共57页其中,其中,m为三个正应力分量的平均值,
18、称平均应力(或为三个正应力分量的平均值,称平均应力(或静静水压力水压力),即),即 应力球张量:应力球张量:表示球应力状态,也称静水应力状态,称表示球应力状态,也称静水应力状态,称为应力球张量,其任何方向都是主方向,且主应力相同,为应力球张量,其任何方向都是主方向,且主应力相同,均为平均应力。均为平均应力。特点:特点:在任何切平面上都没有切应力,所以不能使物体产在任何切平面上都没有切应力,所以不能使物体产生形状变化,而生形状变化,而只能产生体积变化只能产生体积变化,即不能使物体产生塑,即不能使物体产生塑性变形。性变形。第33页/共57页应力偏张量:应力偏张量:称为应力偏张量,是由原应力张量分解
19、称为应力偏张量,是由原应力张量分解出应力球张量后得到的。出应力球张量后得到的。应力偏张量的切应力分量、主切应力、最大切应力及应应力偏张量的切应力分量、主切应力、最大切应力及应力主轴等都与原应力张量相同。力主轴等都与原应力张量相同。特点特点:应力偏张量:应力偏张量只使物体产生形状变化只使物体产生形状变化,而不能产生,而不能产生体积变化。材料的塑性变形是由应力偏张量引起的。体积变化。材料的塑性变形是由应力偏张量引起的。第34页/共57页应力偏张量不变量应力偏张量不变量(13-22)第35页/共57页对于主轴坐标系对于主轴坐标系 应力偏张量用来表示不同的变形类型。如应力偏张量用来表示不同的变形类型。
20、如J J1 1=0=0,J J2 2 与与屈服准则有关,屈服准则有关,J J3 3 决定了应变的类型:决定了应变的类型:J J3 3 00属伸长应变,属伸长应变,J J3 3=0=0属平面应变,属平面应变,J J3 3 0 2 3,三向应力莫尔圆为,三向应力莫尔圆为:圆心的坐标和半径分别为 第47页/共57页 应力莫尔圆形表示,三个圆的半径分别等于三个主切应力,应力莫尔圆形表示,三个圆的半径分别等于三个主切应力,主应力分别是三个圆两两相切的切点,位于水平坐标轴上。主应力分别是三个圆两两相切的切点,位于水平坐标轴上。(13-31)三个圆的方程三个圆的方程 为为第48页/共57页 每一个圆分别表示
21、某方向余弦为零的斜面上的正应力和切应力的变化规律。每一个圆分别表示某方向余弦为零的斜面上的正应力和切应力的变化规律。三个圆所围绕的面积内的点便表示三个圆所围绕的面积内的点便表示l,m,n均不为零的斜面上的正应力和切应均不为零的斜面上的正应力和切应力。故应力莫尔圆形象地表示出点的应力状态。力。故应力莫尔圆形象地表示出点的应力状态。第49页/共57页例例例例 在直角坐标系中,一点的应力状态表示成张量的形式为要求:1)画出该点的应力单元体;2)用应力状态特征方程求出该点的主应力和主方向;3)画出该点的应力莫尔圆,并在应力莫尔圆上标出应力单元体的微分面(即x、y、z平面)。第50页/共57页解:解:1
22、 1)应力单元体如下图所示。)应力单元体如下图所示。2)将各应力分量代入应力张量不变量的式(13-12),可得 代入应力状态特征方程,得第51页/共57页 将应力分量代入式(13-10),并与式(13-11)联合写成方程组为求主方向,可将解得的三个主应力值,分别代入上述方程组的前三式中的任意两式,与第四式联立求解,可求得三个主方向的方向余弦为第52页/共57页 对于:,;对于:,;对于:,。第53页/共57页 3)根据三个主应力值,求得三个圆的圆心分别为 O1(5,0),O2(2.5,0),O3(-2.5,0)三个圆的半径分别为:5,7.5,2.5。应力单元体的微分面在应力莫尔圆上的位置见图下图。第54页/共57页第55页/共57页本章完第56页/共57页感谢您的观看。第57页/共57页