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1、4.5 二维及三维非稳态导热二维及三维非稳态导热 本节讨论：利用一维非稳态导热的诺谟图求解二维、三维非稳态导热问题。见教材p.72第1页/共45页4.5 多维非稳态导热的乘积解一、无限长方柱体 无限长方柱体可看成是由两块无限大平板垂直相交而形成的，其无量纲过余温度可表示成厚度分别为 、的无限大平板的分析解的乘积。用下标P1表示 Plate 1；P2表示 Plate 2，则：第2页/共45页定义：为无量纲过余温度。第3页/共45页二、乘积解的证明1.问题长方柱体的截面如图。初始温度 ，置于 的流体中，换热系数为 。鉴于温度场是对称的，只需考虑 阴影线截面。第4页/共45页2主控方程初始条件第5页
2、/共45页边界条件 I 外部边界条件（表面换热边界处导热）（表面换热边界处导热）第6页/共45页边界条件 II 对称边界条件（温度不随坐标变化）（温度不随坐标变化）第7页/共45页3等价问题如果无量纲过余温度 、分别是处于与方柱体同样定解条件下厚度分别为 、的无限大平板的分析解，则它们必须满足各自的导热微分方程式及定解条件。即：第8页/共45页厚 的无限大平板第9页/共45页厚 的无限大平板第10页/共45页4证明式(G)等价于式(4-23)。(1)先证明式(E)满足式(A)。将(G)式代入(A)式的左右端，得：第11页/共45页右端 左端第12页/共45页将左端减去右端，得由(a)式知=0由
3、(e)式知=0 这就证明了 满足导热微分方程式(A)第13页/共45页(2)证明式(G)满足初始条件式(B)。由(b)式、(f)式：证毕。所以 也满足初始条件式(B)。第14页/共45页由(c)式知=0(3)证明式(G)满足边界条件式(C)。将式(G)代入式(C)左端，并注意式(c)：=(C)证毕第15页/共45页(5)证明式(G)满足边界条件式(E)。将式(G)代入式(E)左端，并注意到式(d)：(4)同理，可证明式(G)满足边界条件式(D)。由(d)式知=0=(E)证毕第16页/共45页(6)同理，可证明式(G)满足边界条件式(F)。这样，我们证明了 确实是上述无限长方柱体导热微分方程的解
4、。第17页/共45页三、短方柱体（三维）=用三个一维解的乘积表示。第18页/共45页四、短圆柱体（二维）第19页/共45页五、适用范围由几个一维问题解的乘积得到多维问题解的方法，仅适用于齐次边界条件，及物体初始温度为常数或能表示成单个空间变量函数乘积，如：第20页/共45页齐次问题 区域区域 内，内，边界边界 处，处，区域区域 内，内，边界边界 处，处，非齐次问题第21页/共45页4.5 多维非稳态导热的乘积解 齐次问题齐次问题区域区域 内，内，非齐次问题非齐次问题区域区域 内，内，所谓非齐次，即：函数 与 不以与温度相乘的形式出现。第22页/共45页4.5 多维非稳态导热的乘积解一般，乘积解
5、可用于：第三类边界条件，且 第一类边界条件 ，且 第23页/共45页4.7 不同形状物体加热或冷却速度的比较1.忽略内阻（）集总参数法第24页/共45页4.7 不同形状物体加热或冷却速度的比较2.忽略外阻（）1无限大平板2无限长正方柱体3无限长圆柱体4立方体5长度等于直径的柱体6球第25页/共45页4.8 集中热源作用下的非稳态导热第26页/共45页4.8 集中热源作用下的非稳态导热简化为：第27页/共45页4.8 集中热源作用下的非稳态导热初始和边界条件第28页/共45页4.8 集中热源作用下的非稳态导热假定s为微小量：第29页/共45页4.8 集中热源作用下的非稳态导热Q为某非零定值：半无
6、限大平板：第30页/共45页4.8 集中热源作用下的非稳态导热移动热源坐标变换第31页/共45页4.8 集中热源作用下的非稳态导热 叠加原理：若干个不相干的热源同时作用或先后作用时，物体上某点的温度等于各独立热源对该点产生温度的叠加总和。物理基础：n连续热源可看作是无数个瞬时热源在不同瞬间的共同作用；n移动热源可看作是无数个瞬时热源在不同瞬间不同位置的共同作用。第32页/共45页例4-1 一温度计的水银泡呈圆柱形，长20mm，内径为4mm，初始温度为t0，今将其插入到温度较高的储气罐中测量气体温度。设水银泡同气体间的对流换热表面传热系数h=11.63W/(m2K)，水银泡一层薄玻璃的作用可以忽
7、略不计，试计算此条件下温度计的时间常数，并确定插入5min后温度计读数的过余温度为初始过余温度的百分之几？水银的物性参数如下:第33页/共45页例4-1解：首先检验是否可用集总参数法。因水银泡柱体的上端面不直接受热，故：第34页/共45页例4-1时间常数计算：结论：水银温度计测量流体温度，必须在被测流体中放置足够长时间；对于非稳态流体温度测量，要选择时间常数很小的感温元件傅立叶数：第35页/共45页例4-2 有一直径为400mm的钢锭，初温t020C，将它置于炉温为900C的炉中加热，试计算加热到表面温度为750C时需要的时间。假设钢锭可近似地视为无限长圆柱第36页/共45页例4-2分析：第三
8、类边界条件下的非稳态导热问题，需要查表P67，图4-10：P68，图4-11：已知：第37页/共45页解：例4-2查图4-11得：又有：所以：查图4-10得：第38页/共45页例4-3 一大平板型钢铸件在地坑中造型，浇铸前型砂温度为20C。设浇铸在很短时间内完成，并且浇铸后铸件表面温度一直维持在其凝固温度1450C，试计算离铸件底面80mm处浇铸后2h的温度。型砂热扩散率为0.89e-6m2/s第39页/共45页解：把铸件底面以下砂型中的非稳态导热过程按第一类边界条件下半无限大物体导热问题来处理，有：例4-3由P209，附录10得：第40页/共45页例4-4 一直径为10mm的固体球，被均匀加
9、热到450C，然后进行两步冷却：先把它置于25C的空气中缓慢冷却，到球中心温度下降到350C，此阶段的表面换热系数为10W/(m2K)；然后放于25C的水中快速冷却，到球中心温度降到50C，此阶段的表面换热系数为6000W/(m2K)。球体物性为常数，试确定每一阶段冷却所需要的时间及该阶段球体所释放的热量。第41页/共45页例4-4解：第一阶段：可用集总参数法：第42页/共45页例4-4第二阶段：由P69，表4-13得：(注意表中Bi的表示方法)第43页/共45页例4-4由P70，表4-15得：(注意表中Bi的表示方法)由P65，公式4-20得：第44页/共45页感谢您的观看！第45页/共45页