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1、函数(物理量的分布)数量场(数性函数)场向量场(矢性函数)如:温度场,电势场等数量场的等值面数量场的等值面向量场的向量线向量场的向量线第1页/共31页二、二、对坐标的曲线积分的概念与性对坐标的曲线积分的概念与性质质1.引例:变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在 xOy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,求移“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”恒力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.第2页/共31页1)“大化大化小小”.2)“常代变”把L分成 n 个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F 沿则用有向线段 上任取一点在第3页/共31页3)“近似近似和和”
2、4)“取极限”(其中 为 n 个小弧段的 最大长度)第4页/共31页2.定义定义.设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分.其中,L 称为积分弧段 或 积分曲线.称为被积函数,在L 上定义了一个向量函数极限记作第5页/共31页若 为空间曲线弧,记称为对 x 的曲线积分;称为对 y 的曲线积分.若记,对坐标的曲线积分也可写作类似地,第6页/共31页3.性质性质(1)若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧(2)用L 表示 L 的反向弧,则则 定积分是第二类曲线积分
3、的特例.说明:对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!第7页/共31页(3)若由闭合曲线C所围成的平面区域被划分为两个无公共内点的区域1和2，它们的边界分别记作C1，C2，那么沿闭合曲线C的第二型线积分等于按同一方向闭合曲线 C1和C2 的第二型线积分之和，即其中曲线C、C1和C2 或者都取正向或者都取负向.第8页/共31页将上式两端同乘以-1，并利用性质2就有第9页/共31页三、对坐标的曲线积分的计算法三、对坐标的曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为则曲线积分连续,存在,且有第10页/共31页特别是,如果 L 的方程为则对空间光滑曲线弧 :类似有定理 第11页/
4、共31页12例1 1解解第12页/共31页例例2.计算计算其中L 为沿抛物线解法1 取 x 为参数,则解法2 取 y 为参数,则从点的一段.第13页/共31页例例3.计算计算其中 L 为(1)半径为 a 圆心在原点的 上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点 A(a,0)沿 x 轴到点 B(a,0).解:(1)取L的参数方程为(2)取 L 的方程为则则第14页/共31页例例4.计算计算其中L为(1)抛物线 (2)抛物线 (3)有向折线 解:(1)原式(2)原式(3)原式第15页/共31页例5 5解解第16页/共31页例例6.设在力设在力场场作用下,质点由沿 移动到解:(1)(2)的参数方程为试求
5、力场对质点所作的功.其中 为 第17页/共31页例例7.求求其中从 z 轴正向看为顺时针方向.解:取 的参数方程第18页/共31页例例8.已已知知为折线 ABCOA(如图),计算提示:第19页/共31页例9.质量为的质点，从空间一点A沿某光滑曲线C移动到另一点B，求重力所做的功W。第20页/共31页四、两类曲线积分之间的联系四、两类曲线积分之间的联系第21页/共31页两型线积分的异同（1）第一型线积分无方向，第二型线积分有方向。（2）第一型线积分是对弧长的积分，第二型线积分是对坐标的积分（3）第一型线积分对应参数的下限小，上限大，第二型线积分对应参数的下限为起点，上限为终点（4）第一型线积分用
6、于求质量、质心、转动惯量等，第二型线积分用于求变力作功、引力场作功等。（5）两类线积分的被积函数都定义在曲线上。（6）两类线积分的计算都是化为定积分计算的。第22页/共31页例例9.将积分化为对弧长的积分,解：其中L 沿上半圆周第23页/共31页1.定义2.性质(1)L可分成 k 条有向光滑曲线弧(2)L 表示 L 的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!内容小结内容小结第24页/共31页3.计算计算 对有向光滑弧 对有向光滑弧第25页/共31页4.两类曲线积分的联系 对空间有向光滑弧对空间有向光滑弧 :第26页/共31页原点 O 的距离成正比,思考与练习思考与练习1.设一个质点在处受
7、恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到提示:(解见 P196 例5)F 的大小与M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的功.思考:若题中F 的方向 改为与OM 垂直且与 y 轴夹锐角,则 第27页/共31页备用题备用题 1.解:线移动到向坐标原点,其大小与作用点到 xOy 面的距离成反比.沿直求 F 所作的功 W.已知 F 的方向指一质点在力场F 作用下由点第28页/共31页2.设曲线设曲线C为曲为曲面面与曲面从 O x 轴正向看去为逆时针方向,(1)写出曲线 C 的参数方程;(2)计算曲线积分解:(1)第29页/共31页(2)原式=令利用“偶倍奇零”第30页/共31页感谢您的欣赏！第31页/共31页