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1、1)“大化大化小小”.2)“常代变”把L分成 n 个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F 沿则用有向线段 上任取一点在第1页/共23页3)“近似近似和和”4)“取极限”(其中 为 n 个小弧段的 最大长度)第2页/共23页2.定义定义.设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分.其中,L 称为积分弧段 或 积分曲线.称为被积函数,在L 上定义了一个向量函数极限记作第3页/共23页若 为空间曲线弧,记称为对 x 的曲线积分;称为对 y 的曲线积分.若记,
2、对坐标的曲线积分也可写作类似地,第4页/共23页3.性质性质(1)若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧(2)用L 表示 L 的反向弧,则则 定积分是第二类曲线积分的特例.说明:对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!第5页/共23页二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为则曲线积分连续,证明:下面先证存在,且有第6页/共23页对应参数设分点根据定义由于对应参数因为L 为光滑弧,同理可证第7页/共23页特别是,如果 L 的方程为则对空间光滑曲线弧 :类似有定理 第8页/共23页例例1.计算计算其中L 为沿抛物线解法1 取 x 为参
3、数,则解法2 取 y 为参数,则从点的一段.第9页/共23页例例2.计算计算其中 L 为(1)半径为 a 圆心在原点的 上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点 A(a,0)沿 x 轴到点 B(a,0).解:(1)取L的参数方程为(2)取 L 的方程为则则第10页/共23页例例3.计算计算其中L为(1)抛物线 (2)抛物线 (3)有向折线 解:(1)原式(2)原式(3)原式第11页/共23页例例4.设在力设在力场场作用下,质点由沿 移动到解:(1)(2)的参数方程为试求力场对质点所作的功.其中 为 第12页/共23页例例5.求求其中从 z 轴正向看为顺时针方向.解:取 的参数方程第13页/共23
4、页三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为已知L切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系第14页/共23页类似地类似地,在在空间曲线空间曲线 上的两类曲线积分的联上的两类曲线积分的联系是系是令记 A 在 t 上的投影为第15页/共23页例例6.将积分化为对弧长的积分,解：其中L 沿上半圆周第16页/共23页1.定义2.性质(1)L可分成 k 条有向光滑曲线弧(2)L 表示 L 的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!内容小结内容小结第17页/共23页3.计算计算 对有向光滑弧 对有向光滑弧第18页/共23页4.两类曲线积分的联系 对空间有向光滑弧对空间有向光滑弧 :第19页/共23页原点 O 的距离成正比,思考与练习思考与练习1.设一个质点在处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到提示:(解见 P198 例5)F 的大小与M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的功.思考:若题中F 的方向 改为与OM 垂直且与 y 轴夹锐角,则 第20页/共23页2.已已知知为折线 ABCOA(如图),计算提示:第21页/共23页作业作业 P200 3 (2),(4),(6),(7);4;7第三节 第22页/共23页感谢您的欣赏！第23页/共23页