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1、1)“大化小大化小”.2)“常代变常代变”把把L分成分成 n 个小弧段个小弧段,有向小弧段有向小弧段近似代替近似代替,则有则有所做的功为所做的功为F 沿沿则则用有向线段用有向线段 上任取一点上任取一点在在机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共27页3)“近似和近似和”4)“取极限取极限”(其中其中 为为 n 个小弧段的个小弧段的 最大长度最大长度)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共27页2.定义定义.设设 L 为为xoy 平面内从平面内从 A 到到B 的一条的一条有向光滑有向光滑弧弧,若对若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在都存
2、在,在有向曲线弧在有向曲线弧 L 上上对对坐标的曲线积分坐标的曲线积分,则称此极限为函数则称此极限为函数或或第二类曲线积分第二类曲线积分.其中其中,L 称为称为积分弧段积分弧段 或或 积分曲线积分曲线.称为称为被积函数被积函数,在在L 上定义了一个向量函数上定义了一个向量函数极限极限记作记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共27页若若 为空间曲线弧为空间曲线弧,记记称为对称为对 x 的曲线积分的曲线积分;称为对称为对 y 的曲线积分的曲线积分.若记若记,对坐标的曲线积分也可写作对坐标的曲线积分也可写作类似地类似地,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共27页3.性质性质(1
3、)若若 L 可分成可分成 k 条有向光滑曲线弧条有向光滑曲线弧(2)用用L 表示表示 L 的反向弧的反向弧,则则则则 定积分是第二类曲线积分的特例定积分是第二类曲线积分的特例.说明说明:对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向方向!机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共27页二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法定理定理:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共27页证明证明:下面先证下面先证根据定义根据定义第7页/共27页对应参数对应参数设分点设分点由于由于对应参数对应参数因为因为L 为光滑弧为光滑弧,同理可证同理可证机动 目录
4、 上页 下页 返回 结束 第8页/共27页特别是特别是,如果如果 L 的方程为的方程为则则对空间光滑曲线弧对空间光滑曲线弧 :类似有类似有定理 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共27页例例1.计算计算其中其中L 为沿抛物线为沿抛物线解法解法1 取取 x 为参数为参数,则则解法解法2 取取 y 为参数为参数,则则从点从点的一段的一段.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共27页例例2.计算计算其中其中 L 为为(1)半径为半径为 a 圆心在原点的圆心在原点的 上半圆周上半圆周,方向为逆时针方向方向为逆时针方向;(2)从点从点 A(a,0)沿沿 x 轴到点轴到点 B(a,0).解解
5、:(1)取取L的参数方程为的参数方程为(2)取取 L 的方程为的方程为则则则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共27页例例3.计算计算其中其中L为为(1)抛物线抛物线 (2)抛物线抛物线 (3)有向折线有向折线 解解:(1)原式原式(2)原式原式(3)原式原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共27页例例4.设在力设在力场场作用下作用下,质点由质点由沿沿 移动到移动到解解:(1)(2)的参数方程为的参数方程为试求力场对质点所作的功试求力场对质点所作的功.其中其中 为为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共27页例例5.求求其中其中从从 z 轴正向看为顺时针方
6、向轴正向看为顺时针方向.解解:取取 的参数方程的参数方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共27页三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧设有向光滑弧 L 起点为起点为A,终点为终点为B参数方程为参数方程为已知已知L在在 点点 切向量切向量 则两类曲线积分有如下联系则两类曲线积分有如下联系机动 目录 上页 下页 返回 结束 它的方向余弦为它的方向余弦为第15页/共27页即即期中期中为有向曲线弧为有向曲线弧L在点在点(x,y)处切向量处切向量的方向角的方向角.第16页/共27页类似地类似地,在在空间曲线空间曲线 上的两类曲线积分的联系上的两类曲线积分的联系是是
7、令令记记 A 在在 t 上的投影为上的投影为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共27页二者夹角为二者夹角为 例例6.设设曲线段曲线段 L 的长度为的长度为s,证明证明续续,证证:设设说明说明:上述证法可推广到三维的第二类曲线积分上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.在在L上连上连 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共27页例7.将积分将积分化为对弧长的积化为对弧长的积分分,解：解：其中其中L 沿上半圆周沿上半圆周机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共27页1.定义定义2.性质性质(1)L可分成可分成 k 条有向光滑曲线弧条有向光滑曲线弧(2)L 表示表示 L
8、的反向弧的反向弧对坐标的曲线积分必须注意对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向!内容小结内容小结机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共27页3.计算计算 对有向光滑弧对有向光滑弧 对有向光滑弧对有向光滑弧机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共27页4.两类曲线积分的联系两类曲线积分的联系 对空间有向光滑弧对空间有向光滑弧 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共27页原点原点 O 的距离成正比的距离成正比,思考与练习思考与练习1.设一个质点在设一个质点在处受处受恒指向原点恒指向原点,沿椭圆沿椭圆此质点由点此质点由点沿逆时针移动到沿逆时针移动到提示提示
9、:(解见 P139 例5)F 的大小与的大小与M 到原到原F 的方向的方向力力F 的作用的作用,求力求力F 所作的功所作的功.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共27页2.已已知知为折线为折线 ABCOA(如图如图),计算计算提示提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共27页3.设曲线设曲线C为曲为曲面面与曲面与曲面从从 ox 轴正向看去为逆时针方向轴正向看去为逆时针方向,(1)写出曲线写出曲线 C 的参数方程的参数方程;(2)计算曲线积分计算曲线积分解解:(1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共27页(2)原式原式=令利用利用“偶倍奇零偶倍奇零”机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共27页感谢您的欣赏！第27页/共27页