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1、定义定义.设设存在,称为体积元素,若对 作任意分割:任意取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质:例如 下列“乘中值定理.在有界闭域 上连续,则存在使得V 为 的体积,积和式”极限记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共26页二、三重积分的计算二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)方法3.三次积分法 先假设连续函数 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算最后,推广到一般可积函数的积分计算.的密度函数,方法:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共2
2、6页方法方法1.投影法投影法(“先一后二先一后二”)该物体的质量为细长柱体微元的质量为微元线密度记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共26页方法方法2.截面法截面法(“先二后一先二后一”)为底,d z 为高的柱形薄片质量为该物体的质量为面密度记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共26页投影法方法方法3.三次积分法三次积分法设区域利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共26页当被积函数在积分域上变号时,因为均为非负函数根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共26页小结小结:三重
3、积分的计算方三重积分的计算方法法方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”方法3.“三次积分”具体计算时应根据三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共26页其中 为三个坐标例例1.计算三重积计算三重积分分所围成的闭区域.解:面及平面机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共26页例例2.计算三重积分计算三重积分解:用“先二后一”机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共26页2.利用柱坐标计算三重积利用柱坐标计算三重积分分 就称为点M 的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面机动 目录 上页
4、 下页 返回 结束 第10页/共26页如图所示如图所示,在柱面坐标系中体积元素在柱面坐标系中体积元素为为因此其中适用范围:1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单;2)被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共26页其中为由例例3.计算三重积计算三重积分分所围解:在柱面坐标系下及平面柱面成半圆柱体.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共26页例例4.计算三重积计算三重积分分解:在柱面坐标系下所围成.与平面其中由抛物面原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共26页3.利用球坐标计算三重积利用球坐标计算三重积分分 就称为点M 的球坐
5、标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共26页如图所示如图所示,在球面坐标系中体积元素在球面坐标系中体积元素为为因此有其中适用范围:1)积分域表面用球面坐标表示时方程简单;2)被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共26页例例5.计算三重积分计算三重积分解:在球面坐标系下所围立体.其中 与球面机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共26页例例6.求曲求曲面面所围立体体积.解:由曲面方程可知,立体位于xoy面上部,利用对称性,所求立体体积为yoz面对称,并与xoy面相切,故在球坐标
6、系下所围立体为且关于 xoz 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共26页内容小结内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系*说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:对应雅可比行列式为变量可分离.围成;机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共26页1.将用三次积分表示,其中由所提示:思考与练习六个平面围成,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共26页2.设设计算提示:利用对称性原式=奇函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共26页3.设设 由锥面由锥面和球面所围成,计算提示:利用对称性用球
7、坐标 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共26页作业作业P106 1(2),(3),(4);4;5;7;8;9(2);10(2);11(1),(4)第四节 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共26页备用题备用题 1.计计算算所围成.其中 由分析：若用“先二后一”,则有计算较繁!采用“三次积分”较好.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共26页所围,故可 思考:若被积函数为 f(y)时,如何计算简便?表为 解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共26页2.计算计算其中解:利用对称性机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共26页感谢您的欣赏！第26页/共26页