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1、引入引入 连续函数具有很强的几何直观，且在生活中有许连续函数具有很强的几何直观，且在生活中有许多现实的例子多现实的例子.比如比如,随着时间的微小变化，我们的身随着时间的微小变化，我们的身高也进行微小的改变，气温也进行微小的变化，开着高也进行微小的改变，气温也进行微小的变化，开着的汽车的行程也作了微小的变化。的汽车的行程也作了微小的变化。总得说来，可以抽象为随着自变量的微小变化，总得说来，可以抽象为随着自变量的微小变化，相应的函数值也只有微小的变化。来刻画这种相互依相应的函数值也只有微小的变化。来刻画这种相互依赖的微小变化用到的工具就是函数的极限。赖的微小变化用到的工具就是函数的极限。第1页/共
2、16页自变量与应变量的变化描述自变量与应变量的变化描述xyOy=f(x)第2页/共16页一、一、函数在点函数在点 x0 连续的定义连续的定义记记于是，上述定义可以转化为于是，上述定义可以转化为确切地，有以下定义：确切地，有以下定义：第3页/共16页可见可见,函数函数 f(x)在点在点 x0 连续连续必须具备下列条件必须具备下列条件:一、一、函数在点函数在点 x0 连续的定义（续）连续的定义（续）(1)f(x)在点在点 x0 有定义有定义，即即 f(x0)存在存在;(2)极限极限(3)存在存在;用极限的用极限的“”语言来描述：语言来描述：第4页/共16页单侧连续的定单侧连续的定义义(1)左连续左
3、连续:(2)右连续右连续:第5页/共16页区间上的连续函区间上的连续函数数 在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的连续函数的连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.直观上，连续函数的图形是一条连续而不间断直观上，连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线的曲线.在闭区间在闭区间上的全体连续函数的集合记作上的全体连续函数的集合记作第6页/共16页在在上连续上连续.有理分式函数有理分式函数在其定义域内连续在其定义域内连续.因只要因只要都有都有例，多项式函数例，多项式函数第7页/共16页例例.证证:即即由由 x0 的任意性知函数的任意性知
4、函数同样可证同样可证:函数函数第8页/共16页二、二、函数的间断点函数的间断点(1)函数函数 f(x)在点在点 x0(2)函数函数 f(x)在点在点 x0 不存在不存在;(3)函数函数 f(x)在点在点 x0 存在存在,但但设设 f(x)在点在点 x0 的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义,则有下列情则有下列情形之一的函数形之一的函数 f(x)在点在点 x0 不连续不连续:虽有定义虽有定义,但但虽有定义虽有定义,且且这样的点这样的点 x0 称为间断点或不连续点称为间断点或不连续点.无定义无定义;第9页/共16页间断点的分类间断点的分类:第一类间断点第一类间断点:及及均存在均存在,若若称称若
5、若称称第二类间断点第二类间断点:及及中至少有一个不存在中至少有一个不存在,，称，称若其中有一个振荡若其中有一个振荡,称称若其中有一个为若其中有一个为为为可去间断点可去间断点.为为跳跃间断点跳跃间断点.为为无穷间断点无穷间断点.为为振荡间断点振荡间断点.第10页/共16页为其无穷间断点为其无穷间断点.为其振荡间断点为其振荡间断点.为可去间断点为可去间断点.例如例如,在在 处无定义处无定义.在在 x=0 处无定义处无定义.在在 x=1 处无定义处无定义.x=0 x=1补充定义补充定义 f(1)=？,则函数在则函数在 x=1 连续连续.第11页/共16页显然显然x=1 为其可去间断点为其可去间断点.
6、(5)x=0 为其跳跃间断点为其跳跃间断点.。(4)修改定义修改定义 f(1)=？时可使函数在？时可使函数在 x=1 处连续处连续.第12页/共16页小结小结左连续左连续右连续右连续第一类间断点第一类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点(左右极限都存在左右极限都存在)第二类间断点第二类间断点无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点(左右极限至少有一个不存在左右极限至少有一个不存在)2.f(x)在点在点 x0 间断的类型间断的类型 1.f(x)在点在点 x0 连续的两种等价形式连续的两种等价形式可补充或修改定义可补充或修改定义使之成为连续点使之成为连续点!第13页/共16页课堂练习课堂练习x=2 是第二类无穷间断点是第二类无穷间断点.提示提示:时时 f(x)为连续函数为连续函数.答案答案:x=1 是第一类可去间断点是第一类可去间断点,可补充定义可补充定义 f(1)=2 则函数就在则函数就在 x=1 处连续处连续.第14页/共16页3.确定函数确定函数间断点的类型间断点的类型.解解:间断点间断点为无穷间断点为无穷间断点;故故 x=1为跳跃间断点为跳跃间断点.第15页/共16页感谢您的观看！第16页/共16页