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1、说明:除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小!性质 1：无穷小+（-）无穷小仍然是无穷小。例如：f(x)=sin x+x 时,函数(或 )则称函数为定义定义1.若若(或 )则时的无穷小.机动 目录 上页 下页 返回 结束 性质 2：无穷小乘有界函数仍然是无穷小。例如：f(x)=x cos x 第1页/共18页说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小!例如，机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小.第2页/共18页其中 为时的无穷小量.定理定理 1.(无穷小与函数极限的关无穷小与函数极限的关系系)证:当时,有对自变量的其它变化过程类似可证.机动 目录 上页 下页 返回
2、 结束 第3页/共18页二、二、无穷无穷大大定义2.若任给 M 0,一切满足不等式的 x,总有则称函数当时为无穷大,使对若在定义中将 式改为则记作(正数 X),记作总存在机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共18页注意注意:1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!（思考，提示震荡函数。）机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共18页例例.证明证明证:任给正数 M,要使即只要取则对满足的一切 x,有所以若 则直线为曲线的垂直渐近线.渐近线说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共18页无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系
3、若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则(自证)据此定理,关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.定理2.在自变量的同一变化过程中,说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共18页 第一章 都是无穷小,三、无穷小的比三、无穷小的比较较引例.但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共18页定义定义.若则称 是比 高阶的无穷小,若若若若或设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称 是比 低阶的无穷小;则称 是 的同阶无穷小;则称 是关于 的 k 阶无穷小;则称 是 的等价无穷小,记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共18
4、页例如例如,当当时又如，故时是关于 x 的二阶无穷小,且机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共18页例例1.证明证明:当当时,证:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共18页定理定理2.设设且存在,则证:例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共18页“等价无穷小代换法等价无穷小代换法”例 1：机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 2：第13页/共18页机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3.求解:原式 第14页/共18页例例4.求求解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共18页内容小结内容小结1.无穷小的比较设 ,对同一自变量的变化过程为无穷小,且 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共18页 2.等价无穷小替换等价无穷小替换定理。定理。常用等价无穷小:第八节 目录 上页 下页 返回 结束 作业：习题1-5 1，2，3,4第17页/共18页感谢您的欣赏！第18页/共18页