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1、说明:除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小!时,函数(或 )则称函数为定义定义1.若若(或 )则时的无穷小.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共40页其中 为时的无穷小量.定理定理 1.(无穷小与函数极限的关无穷小与函数极限的关系系)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共40页二、二、无穷无穷大大定义2.若任给 M 0,一切满足不等式的 x,总有则称函数当时为无穷大,使对若在定义中将 式改为则记作(正数 X),记作总存在机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共40页注意注意:无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共40
2、页三、无穷小与无穷大的关三、无穷小与无穷大的关系系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则(自证)据此定理,关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.定理2.在自变量的同一变化过程中,说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共40页 第一章 二、极限的四则运算法则 三、复合函数的极限运算法则 一、无穷小运算法则 第五节第五节机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限运算法则第6页/共40页一、一、无穷小运算法无穷小运算法则则定理1.有限个无穷小的和还是无穷小.机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小!例如，类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小.
3、第7页/共40页定理定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷有界函数与无穷小的乘积是无穷小小.推论 1.常数与无穷小的乘积是无穷小.推论 2.有限个无穷小的乘积是无穷小.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共40页例例1.求求解:利用定理 2 可知说明:y=0 是的渐近线.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共40页二、二、极限的四则运算法极限的四则运算法则则则有证:因则有(其中为无穷小)于是由定理 1 可知也是无穷小,再利用极限与无穷小的关系定理,知定理结论成立.定理 3.若机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共40页推论推论:若若且则(P45 定理 5)利用保号性定理
4、证明.说明:定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形.提示:令机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共40页定理定理 4.若若则有提示:利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明.说明:定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形.推论 1.(C 为常数)推论 2.(n 为正整数)例2.设 n 次多项式试证证:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共40页定理定理 5.若若且 B0,则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共40页定理定理6.若若则有提示:因为数列是一种特殊的函数,故此定理 可由定理3,4,5 直接得出结论.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共
5、40页 x=3 时分母为 0!例例3.设有分式函数设有分式函数其中都是多项式,试证:证:说明:若不能直接用商的运算法则.例4.若机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共40页例例5.求求解:x=1 时分母=0,分子0,但因机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共40页例例6.求求解:时,分子分子分母同除以则分母“抓大头”原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共40页一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数)(如P47 例5)(如P47 例6)(如P47 例7)机动 目录 上页 下页 返回 结束 口算P49D1（6）（9）第18页/共40页三、三、复合函数的极限运算
6、法复合函数的极限运算法则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理6.设且 x 满足时,又则有 说明:若定理中则类似可得第19页/共40页例例7.求求解:令已知 原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共40页例例8.求求解:方法 1则令 原式方法 2机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共40页二、两个重要极限 一、函数极限与数列极限的关系一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则及夹逼准则第六第六节节机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限存在准则及两个重要极限 第一章 第22页/共40页一、一、函数极限与数列极限的关系及夹逼准函数极限与数列极限的关系及夹逼准则则1.函数
7、极限与数列极限的关系定理1.有定义,为确定起见,仅讨论的情形.有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共40页定理定理1.有定义且有说明:此定理常用于判断函数极限不存在.法1 找一个数列不存在.法2 找两个趋于的不同数列及使机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共40页例例1.证明证明不存在.证:取两个趋于 0 的数列及有由定理 1 知不存在.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共40页2.函数极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则定理2.且(利用定理1及数列的夹逼准则可证)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共40页圆扇形AOB的面积二、二、两个重要极限
8、两个重要极限 证:当即亦即时，显然有AOB 的面积AOD的面积故有注注 目录 上页 下页 返回 结束 第27页/共40页例例2.求求解:例3.求解:令则因此原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第29页/共40页例例4.求求解:原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 第30页/共40页2.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第31页/共40页例例6.求求解:令则说明：若利用机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 原式第32页/共40页的不同数列内容小结内容小结1.函数极限与数列极限关系的应用(1)利用数列极限判别函数极限不存在(2)数列极限存在的夹逼准则法1 找一个数列且使法2 找两个趋于
9、及使不存在.函数极限存在的夹逼准则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第33页/共40页2.两个重要极限两个重要极限或注:代表相同的表达式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第34页/共40页思考与练习思考与练习填空题 (14)第七节 目录 上页 下页 返回 结束 第35页/共40页内容小结内容小结1.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法时,用代入法(分母不为 0)时,对型,约去公因子时,分子分母同除最高次幂“抓大头”(2)复合函数极限求法设中间变量Th1Th2Th3Th4Th5Th7机动 目录 上页 下页 返回 结束 第36页/共40页思考及练习思考及练习1.是否存在?为什么?答:不存在.否则由利用极限四则运算法则可知存在,与已知条件矛盾.解:原式2.问机动 目录 上页 下页 返回 结束 第37页/共40页3.求求解法原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 第38页/共40页备用题备用题 设设解:利用前一极限式可令再利用后一极限式,得可见是多项式,且求故机动 目录 上页 下页 返回 结束 第39页/共40页感谢您的欣赏！第40页/共40页