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1、自变量变化过程的六种形式:第1页/共56页一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限1.时函数极限的定义 引例.描述性定义（粗略地）：设函数在 附近（去心）有定义：当 无限接近于 时 的值无限接近于一个常数 ，称 为 当 时的极限。第2页/共56页定义定义1.设函数设函数在点的某去心邻域内有定义,当时,有则称常数 A 为函数当时的极限,或即当时,有若记作极限存在函数局部有界(P36定理2)这表明:几何解释:第3页/共56页例例1.证明证明证:故对任意的当时,因此总有第4页/共56页例例2.证明证明证:故取当时,必有因此第5页/共56页例例3.证明证明证:（分析：欲使取则当
2、时,必有因此只要即 ）不妨令 ，要使得只要 即可，第6页/共56页练习练习.证明证明:当当证:欲使且而可用因此只要时故取则当时,保证.必有第7页/共56页2.保号性定理保号性定理定理1.若且 A 0,证:已知即当时,有当 A 0 时,取正数则在对应的邻域上(0)则存在(A 0,一切满足的 x,总有称函数当时为无穷大。，使对类似可定义(正数 X),总存在第23页/共56页注意注意:1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!（P42.Ex 6）例如,函数但不是无穷大!第24页/共56页例例.证明证明证:略。见P40若 则直线为曲线的铅直渐近线.铅直渐近
3、线说明:第25页/共56页三、无穷小与无穷大的关三、无穷小与无穷大的关系系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则(自证)据此定理,关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.定理2.在自变量的同一变化过程中,说明:第26页/共56页内容小结内容小结1.无穷小与无穷大的定义2.无穷小与函数极限的关系Th13.无穷小与无穷大的关系Th2练习P42 ex 1,5P42 题*3 提示:作业P42 4(1);8第27页/共56页 第一章 二、极限的四则运算法则 三、复合函数的极限运算法则 一、无穷小运算法则 第五节第五节极限运算法则第28页/共56页时,有一、一、无穷小运算法则无穷小运算法则定
4、理1.证:由定义得设 则当时,有当时,有取则当因此这说明当时,为无穷小量.第29页/共56页 例如，(P56 题 4(2)；P49 题1（12）见课件注：Th1 1.有限个无穷小的和还是无穷小.2.无限个无穷小之和不一定是无穷小!第30页/共56页定理定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷有界函数与无穷小的乘积是无穷小小.证:设又设即当时,有 .取则当时,就有故即是时的无穷小.第31页/共56页定理定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷有界函数与无穷小的乘积是无穷小小.证:设又设即当时,有 .取则当时,就有故即是时的无穷小.第32页/共56页定理定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷
5、小的乘积是无穷小.推论 1.常数与无穷小的乘积是无穷小.推论 2.有限个无穷小的乘积是无穷小.练习.P31 Ex 5推论 2说明：无限个无穷小的乘积未必是无穷小.第33页/共56页例例1.求求 P48.例8解:利用定理 2 可知说明:y=0 是的渐近线.第34页/共56页二、二、极限的四则运算法极限的四则运算法则则则有证:因则有(其中为无穷小)于是由定理 1 可知也是无穷小,再利用极限与无穷小的关系定理,知定理结论成立.定理 3-1.若第35页/共56页推论推论:若若且则(P46 定理 5保号性)利用保号性定理证明.说明:定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形.提示:令第36页/共56页为
6、无穷小定理定理 3-2 若若且 B0,则有证:因有其中设由极限与无穷小关系定理,结论可得。因此 为无穷小,第37页/共56页定理定理 3-2.若若则有说明:定理 3-2 可推广到有限个函数相乘的情形.推论 1.(C 为常数)推论 2.(n 为正整数)例2.设 n 次多项式试证证:第38页/共56页定理定理 3-3 若若且 B0,则有证:略见P44；或者见本课件最后一页。第39页/共56页定理定理4 若若则有提示:因为数列是一种特殊的函数,故此定理 可由定理3,4,5 直接得出结论.（已经在第二节讲过）第40页/共56页例例3.设有设有分式函数分式函数其中都是多项式,试证:证:说明:1.不能直接
7、用商的运算法则，如例4、例5要先化简，或者通过求倒数的极限。若第41页/共56页例例5.求求 解:x=1 时,分母=0,分子0,例4.x=3 时分母为 0!第42页/共56页例例6.求求解:分子分母同除以则“抓大头”原式第43页/共56页一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数)(如 P47 例5)(如 P47 例6)(如 P47 例7)第44页/共56页三、三、复合函数的极限运算法复合函数的极限运算法则则定理5.设且 x 满足时,又则有证:略 当时,有当时,有对上述取则当时故因此式成立.第45页/共56页定理5.设且 x 满足时,又则有 说明:若定理中则类似可得第46页/共56页例例7.求
8、求解:方法 1则令 原式方法 2第47页/共56页内容小结内容小结1.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法时,用代入法(要求分母不为 0)时,对型,约去公因子时,分子分母同除最高次幂“抓大头”(2)复合函数极限求法设中间变量Th1Th2Th3-1 Th3-2 Th3-3Th5第48页/共56页练习题练习题1.是否存在?为什么?答:不存在.否则由利用极限四则运算法则可知存在,与已知条件矛盾.解:原式2.问第49页/共56页3.求求解法 1（分子有理化）原式=解法 2（换元）令则原式=第50页/共56页作业作业P49 1(3)，(5)，(7)，(9),(14)2(2)3(2)5第51页/共56页思考题思考题 1.设设解:利用前一极限式可令再利用后一极限式,得可见是多项式,且求故第52页/共56页2.试确定常数试确定常数 a 使使解:令则故因此第53页/共56页为无穷小(详见书P44)定理定理 3-3 证明证明证:有其中设无穷小有界由极限与无穷小关系定理,得因此 为无穷小,第54页/共56页注第55页/共56页感谢您的观看！第56页/共56页