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1、2008年10月8日12.1 2.1 数列的极限数列的极限1概念的引入2数列的定义3 数列的极限第1页/共82页2008年10月8日21.概念的引入 极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。例如，我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法-割圆术,就是极限思想在几何学上的应用.第2页/共82页2008年10月8日3“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：割圆术：刘徽1.概念的引入第3页/共82页2008年10月8日4割圆术：割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽1.概念的引入第4页/共82页2
2、008年10月8日5割圆术：割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽1.概念的引入第5页/共82页2008年10月8日6“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：割圆术：刘徽1.概念的引入第6页/共82页2008年10月8日7“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：割圆术：刘徽1.概念的引入第7页/共82页2008年10月8日8“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：割圆术：刘徽1.概念的引入第8页/共82页2008年10月8日9“割之弥细，
3、所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：割圆术：刘徽1.概念的引入第9页/共82页2008年10月8日10“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：割圆术：刘徽1.概念的引入第10页/共82页2008年10月8日11“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：割圆术：刘徽1.概念的引入第11页/共82页2008年10月8日12正六边形的面积正十二边形的面积正 边形的面积第12页/共82页2008年10月8日13截丈问题：截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”第13页/共82页2、数列的定义、数列
4、的定义第14页/共82页2008年10月8日15数列对应着数轴上一个点列,可看作一动点在数轴上依次取注意注意:x第15页/共82页2008年10月8日16例如第16页/共82页2008年10月8日17播放播放3.3.数列的极限数列的极限第17页/共82页2008年10月8日18问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言刻划它如何用数学语言刻划它.利用距离！通过上面演示实验的观察:一般地,两个常数a,b的接近程度可在数轴上用这两个点之间的距离来加以刻化,即 直观上看,两点间的距离越小,则这两个点越接近.第18页/共82页2008年10月8日19第19页/共82页2008年10
5、月8日20第20页/共82页2008年10月8日21第21页/共82页2008年10月8日22只要n无限增大，an 就会与1无限靠近,引入符号 和N来刻化无限靠近和无限增大.第22页/共82页2008年10月8日23第23页/共82页2008年10月8日24注意注意:1 1.nN 刻画了n 无限增大的过程，也可改写成第24页/共82页2008年10月8日25第25页/共82页2008年10月8日26第26页/共82页2008年10月8日27例例1 1证证:数列极限的定义未给出求极限的方法，我们数列极限的定义未给出求极限的方法，我们可以用定义来证明极限的存在可以用定义来证明极限的存在.第27页/
6、共82页2008年10月8日28证证:第28页/共82页2008年10月8日29证证:证证:第29页/共82页2008年10月8日30EX1 第30页/共82页2008年10月8日31几何解释:“邻域式的定义”第31页/共82页2008年10月8日32(1)唯一性唯一性(2)有界性有界性(3)(3)四则运算法则四则运算法则(4)保号性保号性(5)保不等式性保不等式性(6)夹逼性夹逼性(7)子数列概念及其收敛性子数列概念及其收敛性2.2 2.2 收敛数列的性质收敛数列的性质第32页/共82页2008年10月8日33（1）唯一性证证:用反证法用反证法.及及且且取取因因故存在故存在 N1,从而从而同
7、理同理,因因故存在故存在 N2,使当使当 n N2 时时,有有使当使当 n N1 时时,假设假设从而从而矛盾矛盾.因此收敛数列的极限必惟一因此收敛数列的极限必惟一.则当则当 n N 时时,故假设不真故假设不真!满足的不等式满足的不等式定理定理2.12.1 收敛数列的极限是唯一的.第33页/共82页2008年10月8日34（2）有界性即存在定理 2.2 若数列证证由定义,推论推论 无界数列必定发散.第34页/共82页2008年10月8日35数列有界是数列收敛的必要条件.有界数列未必收敛,如(-1)(-1)n-1-1.注意:例例1证证由定义,第35页/共82页2008年10月8日36（3 3）有理
8、运算法则第36页/共82页2008年10月8日37第37页/共82页2008年10月8日40例2 用四则运算法则计算(1)当 m=k 时,有分别得出:解第40页/共82页2008年10月8日41(2)当 m k 时,有所以第41页/共82页2008年10月8日42EX3EX2 第42页/共82页2008年10月8日43EX2 解所以由极限四则运算法则,得故得第43页/共82页2008年10月8日45o若若且且时时,有有定理2.42.4（4）保号性注注:若若则，则，第45页/共82页2008年10月8日46（5）保不等式性（保序性）(用反证法证明用反证法证明)进一步推广得:第46页/共82页20
9、08年10月8日47（6)6)夹逼性本性质既给出了判别数列收敛的方法；又提供了一个计算数列极限的方法。第47页/共82页2008年10月8日48上两式同时成立,证证第48页/共82页2008年10月8日49EX4、解第49页/共82页2008年10月8日50第50页/共82页2008年10月8日51例3 则由 夹逼性，求得证:第51页/共82页2008年10月8日52例例4 4解解由夹逼定理得第52页/共82页2008年10月8日54例5 求数列的极限.则由 夹逼性，求得又因解有第54页/共82页2008年10月8日56几种证明极限存在的方法：几种证明极限存在的方法：n按照数列极限的定义证明。
10、n利用夹逼性证明。最简单的思想是利用数列本身的性质证明数列极限的存在性第56页/共82页2008年10月8日57n（1）单调有界准则n（2）数列极限的归并原理n（3）Weierstrass(维尔斯特拉斯维尔斯特拉斯)定理n（4）柯西(Cauchy)收敛原理2.3 2.3 数列极限存在的判别准则数列极限存在的判别准则第57页/共82页2008年10月8日58（1 1）单调有界准则）单调有界准则单调增加单调减少单调数列几何解释:定理2.6 单调增加且有上界的数列必有极限.单调递减且有下界的数列必有极限.用确界定理证明第58页/共82页2008年10月8日59几点说明：定理中aan n 的单调性只要
11、从某一项之后满足即可.这是因为数列的敛散性与前有限项无关。此定理的条件为充分非必要条件。第59页/共82页2008年10月8日60例例6 6证证(舍去)第60页/共82页2008年10月8日61证明例例7证证第61页/共82页2008年10月8日62正的第62页/共82页2008年10月8日63第63页/共82页2008年10月8日64证明：递增显然，下面证明有上界，事实上：EX 设其中 ，证明 收敛。第64页/共82页2008年10月8日65EX.证法1证法2第65页/共82页2008年10月8日66证法3第66页/共82页2008年10月8日67 子数列概念及其收敛性子数列概念及其收敛性定
12、义（2 2）数列极限的归并原理数列极限的归并原理第67页/共82页2008年10月8日68注数列收敛与其子数列收敛的密切联系数列收敛与其子数列收敛的密切联系：定理 2.7(数列极限的归并原理)第68页/共82页2008年10月8日69证:必要性推论推论 若数列存在两个子数列分别收敛于不同的若数列存在两个子数列分别收敛于不同的极限，则这个数列必发散。极限，则这个数列必发散。注注 该推论是证明数列发散的很好的工具。该推论是证明数列发散的很好的工具。第69页/共82页2008年10月8日70例8 证 (必要性)由定理2.72.7第70页/共82页2008年10月8日71数列收敛与其子数列收敛的密切联
13、系数列收敛与其子数列收敛的密切联系：n1 若数列收敛，则其任意子数列也收敛（并且收敛到同一极限）n2 若数列的奇数列和偶数列都收敛到同一极限，则原数列也收敛到该极限第71页/共82页2008年10月8日72（3）Weierstrass(维尔斯特拉斯)定理考虑有界数列和收敛数列之间的关系考虑有界数列和收敛数列之间的关系收敛数列一定有界收敛数列一定有界有界数列未必收敛有界数列未必收敛定理定理2.8(Weierstrass定理定理)有界数列必有收敛子数列有界数列必有收敛子数列注:数列的任意收敛子数列的极限称为极限点,也称为聚点，定理2.8也可以称为数列的聚点原理.第72页/共82页2008年10月8
14、日73（4 4）柯西柯西(Cauchy)(Cauchy)收敛原理收敛原理1）Cauchy数列（基本数列）:定义定义2.2 如果如果2）柯西收敛原理定理定理 2.92.9 (柯西收敛原理柯西收敛原理)收敛收敛为基本数列。为基本数列。第73页/共82页2008年10月8日74 定理定理2.9 柯西极限存在准则柯西极限存在准则(柯西收敛原理柯西收敛原理)数列数列极限存在的充要条件是极限存在的充要条件是:存在正整数存在正整数 N,使当使当时时,证证:“必要性必要性”.设设则则时时,有有 使当使当因此因此有有第74页/共82页2008年10月8日75“充分性充分性”为基本数列为基本数列由定理由定理2.8
15、，使当使当时时,有有 另一方面，另一方面，为基本数列为基本数列,使当使当时时,有有 取取使当使当时时,有有 第75页/共82页2008年10月8日76柯西(Cauchy)收敛原理第76页/共82页2008年10月8日77例8 证明第77页/共82页2008年10月8日78柯西(Cauchy)收敛准则的意义n收敛数列的各项越到后面，项之间几乎“挤”在了一起。n判别 的收敛性只要根据本身满足的特性就可以判别，不需要借助数列以外的数a。n把数列项与其极限的关系变换为数列各个项之间的关系。第78页/共82页2008年10月8日79柯西(Cauchy)收敛原理第79页/共82页2008年10月8日80例9 利用：可以取：第80页/共82页2008年10月8日81注：第81页/共82页2008年10月8日南京航空航天大学 理学院 数学系82感谢您的欣赏！第82页/共82页