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1、第第02章误差与数据处理章误差与数据处理2023/4/8本讲稿第一页，共五十九页2.1 定量分析中的误差定量分析中的误差2.1.1 误差误差(Error)与准确度与准确度(Accuracy)相对误差表示误差占真值的百分率或千分率。1.误误差差测测定定值值xi与与真真实实值值之之差差(真实值True Value：在观测的瞬时条件下，质量特性的确切数值)误差的大小可用绝绝对对误误差差 E(Absolute Error)和相相对对误误差差 RE(Relative Error)表示。E=xi2023/4/8本讲稿第二页，共五十九页2.准确度准确度 (1)测定平均值与真值接近的程度测定平均值与真值接近的
2、程度;(2)准确度高低常用误差大小表示准确度高低常用误差大小表示,误差小，准确度高。误差小，准确度高。(3)绝对误差大小相等时，相对误差绝对误差大小相等时，相对误差 小的准确度高。小的准确度高。2023/4/8本讲稿第三页，共五十九页例例1：分分析析天天平平称称量量两两物物体体的的质质量量各各为为1.6380 g 和和0.1637 g，假假定定两两者者的的真实质量分别为真实质量分别为1.6381 g 和和0.1638 g，则两者称量的绝对误差分别为：则两者称量的绝对误差分别为：(1.63801.6381)g=0.0001 g (0.16370.1638)g=0.0001 g两者称量的相对误差分
3、别为：两者称量的相对误差分别为：绝对误差相等，相对误差并不一定相同。绝对误差相等，相对误差并不一定相同。2023/4/8本讲稿第四页，共五十九页3.讨论讨论(1)绝对误差相等，相对误差并不一定相同绝对误差相等，相对误差并不一定相同;(2)同同样样的的绝绝对对误误差差，被被测测定定的的量量较较大大时时，相相对对误误差差就就比比较较小小,测测定定的的准准确确度也就比较高度也就比较高;(3)用相对误差来表示各种情况下测定结果的准确度更为确切用相对误差来表示各种情况下测定结果的准确度更为确切;(4)绝对误差和相对误差都有正值和负值。正值表示分析结果偏高，绝对误差和相对误差都有正值和负值。正值表示分析结
4、果偏高，负值表示分析结果偏低负值表示分析结果偏低;(5)实际工作中，真值实际上是无法获得实际工作中，真值实际上是无法获得;常常用用纯纯物物质质的的理理论论值值、国国家家标标准准局局提提供供的的标标准准参参考考物物质质的的证证书书上上给给出出的的数数值、或多次测定结果的平均值当作真值值、或多次测定结果的平均值当作真值;2023/4/8本讲稿第五页，共五十九页2.1.2 偏差偏差(Deviation)与精密度与精密度(Precision)1.偏差偏差 个别测定结果个别测定结果 xi 与几次测定结果的平均值的差。与几次测定结果的平均值的差。绝对偏差绝对偏差 di：测定结果与平均值之差；测定结果与平均
5、值之差；相对偏差相对偏差 dr：绝对偏差在平均值中所占的百分率或千分率。：绝对偏差在平均值中所占的百分率或千分率。2023/4/8本讲稿第六页，共五十九页 各各偏偏差差值值的的绝绝对对值值的的平平均均值值，称称为为单单次次测测定定的的平平均均偏偏差，又称算术平均偏差（差，又称算术平均偏差（Average Deviation）：）：单次测定的相对平均偏差表示为单次测定的相对平均偏差表示为:2023/4/8本讲稿第七页，共五十九页2.标准偏差标准偏差（Standard Deviation）又又称称均均方方根根偏偏差差，当当测测定定次次数数趋趋於於无无限限多多时时，称称为为总总体体标标准准偏偏差差，
6、用用表示如下：表示如下：为总体平均值，在校正了系统误差情况下，即代表真值；n 为测定次数。(n-1)表示表示 n 个测定值中具有独立偏差的数目，又称为自由度。个测定值中具有独立偏差的数目，又称为自由度。有限次测定时，标准偏差称为有限次测定时，标准偏差称为样本标准差样本标准差，以，以 s 表示：表示：2023/4/8本讲稿第八页，共五十九页用下式计算标准偏差更为方便：用下式计算标准偏差更为方便：s与平均值之比称为相对标准偏差，以与平均值之比称为相对标准偏差，以 sr 表示表示:也也可可用用千千分分率率表表示示(即即式式中中乘乘以以1000)。如如以以百百分分率率表表示示又又称称为为变变异系数异系
7、数 CV(Coefficient of Variation)。2023/4/8本讲稿第九页，共五十九页3.精密度精密度（1）精精密密度度：在在确确定定条条件件下下，将将测测试试方方法法实实施施多多次次，求求出出所所得得结结果果之间的一致程度。精密度的大小常用偏差表示。之间的一致程度。精密度的大小常用偏差表示。（2）精精密密度度的的高高低低还还常常用用重重复复性性（Repeatability）和和再再现现性性（Reproducibility）表示。表示。重重复复性性(r)：同同一一操操作作者者，在在相相同同条条件件下下，获获得得一一系系列列结结果果之之间间的的一一致致程度。程度。再再现现性性(R
8、)：不不同同的的操操作作者者，在在不不同同条条件件下下，用用相相同同方方法法获获得得的的单单个个结果之间的一致程度。结果之间的一致程度。（3）用标准偏差比用算术平均偏差更合理。）用标准偏差比用算术平均偏差更合理。2023/4/8本讲稿第十页，共五十九页对比：对比：有两组测定值，判断精密度的差异。有两组测定值，判断精密度的差异。甲组甲组 2.9 2.9 3.0 3.1 3.1 乙组乙组 2.8 3.0 3.0 3.0 3.2计算：计算：平均偏差相同；标准偏差不同，两组数据的离散程度不同；在一般情况下，对测定数据应表示出标准偏差或变异系数。2023/4/8本讲稿第十一页，共五十九页2.1.3 准确
9、度与精密度的关系准确度与精密度的关系精密度是保证准确度的先决条件；精密度是保证准确度的先决条件；精密度高不一定准确度高；精密度高不一定准确度高；两者的差别主要是由于系统误差的存在。两者的差别主要是由于系统误差的存在。精密度精密度 准确度准确度 好好 好好 好好 稍差稍差 差差 差差 很差很差 偶然性偶然性 2023/4/8本讲稿第十二页，共五十九页例例2：分析铁矿中铁含量，得如下数据：分析铁矿中铁含量，得如下数据：37.45%,37.20%,37.50%,37.30%,37.25%计算此结果的平均值、平均偏差、标准偏差、变异系数。计算此结果的平均值、平均偏差、标准偏差、变异系数。计算：计算：2
10、023/4/8本讲稿第十三页，共五十九页2.1.4 误差的分类及减免误差的方法误差的分类及减免误差的方法 系统误差或称可测误差系统误差或称可测误差(Determinate Error)偶然误差或称未定误差、随机误差偶然误差或称未定误差、随机误差(Indeterminate Errors)1.系统误差产生的原因、性质及减免系统误差产生的原因、性质及减免产生的原因：产生的原因：（1）方方法法误误差差(Method Errors):如如反反应应不不完完全全；干干扰扰成成分分的的影影响响；指指示剂选择不当；示剂选择不当；（2）试剂或蒸馏水纯度不够；）试剂或蒸馏水纯度不够；2023/4/8本讲稿第十四页
11、，共五十九页（3）仪器误差）仪器误差（Instrumental Errors）如如容容量量器器皿皿刻刻度度不不准准又又未未经经校校正正，电电子子仪仪器器“噪噪声声”过大等造成；过大等造成；（4）人为误差）人为误差（Personal Errors），如如观观察察颜颜色色偏偏深深或或偏偏浅浅，第第二二次次读读数数总总是是想想与与第第一一次重复等造成。次重复等造成。2023/4/8本讲稿第十五页，共五十九页系统误差的性质：系统误差的性质：(1)重复性：同一条件下，重复测定中，重复地出现；重复性：同一条件下，重复测定中，重复地出现；(2)单向性：测定结果系统偏高或偏低；单向性：测定结果系统偏高或偏低；
12、(3)恒定性：大小基本不变，对测定结果的影响固定。恒定性：大小基本不变，对测定结果的影响固定。(4)可校正性：其大小可以测定，可对结果进行校正可校正性：其大小可以测定，可对结果进行校正。系统误差的校正方法：系统误差的校正方法：选择标准方法、提纯试剂和使用校正值等办法加以消除。选择标准方法、提纯试剂和使用校正值等办法加以消除。常采用常采用对照试验对照试验和和空白试验空白试验的方法。的方法。2023/4/8本讲稿第十六页，共五十九页对照试验和空白试验：对照试验和空白试验：（1）对对照照试试验验：选选择择一一种种标标准准方方法法与与所所用用方方法法作作对对比比或或选选择择与与试试样组成接近的标准试样
13、作试验，找出校正值加以校正。样组成接近的标准试样作试验，找出校正值加以校正。（2）空空白白试试验验：指指除除了了不不加加试试样样外外，其其他他试试验验步步骤骤与与试试样样试试验验步步骤完全一样的实验，所得结果称为空白值。骤完全一样的实验，所得结果称为空白值。对对试试剂剂或或实实验验用用水水是是否否带带入入被被测测成成份份，或或所所含含杂杂质质是是否否有有干干扰扰可通过空白试验扣除空白值加以修正。可通过空白试验扣除空白值加以修正。是否存在系统误差，常常通过回收试验加以检查。是否存在系统误差，常常通过回收试验加以检查。2023/4/8本讲稿第十七页，共五十九页回收试验：回收试验：在测定试样某组分含
14、量的基础上，加入已知量的该组分，再次测定其组分含量。由回收试验所得数据计算出回收率。由回收率的高低来判断有无系统误差存在。由回收率的高低来判断有无系统误差存在。常量组分常量组分:一般为99%以上，微量组分微量组分:90110%。2023/4/8本讲稿第十八页，共五十九页2.偶然误差产生的原因、性质及减免偶然误差产生的原因、性质及减免产生的原因：产生的原因：由一些无法控制的不确定因素引起的。（1）如环境温度、湿度、电压、污染情况等的变化引起样品质量、组成、仪器性能等的微小变化；（2）操作人员实验过程中操作上的微小差别；（3）其他不确定因素等所造成。性质：性质：时大时小，可正可负。减免方法：减免方
15、法：无法消除。通过增加平行测定次数,降低；过失误差过失误差(粗差粗差):认真操作，可以完全避免。认真操作，可以完全避免。2023/4/8本讲稿第十九页，共五十九页2.1.5 偶然误差的分布服从正态分布偶然误差的分布服从正态分布横坐标：偶然误差的值，纵坐标：误差出现的概率大小。1.服从正态分布的前提服从正态分布的前提 测定次数无限多；系统误差已经排除。2.定义2023/4/8本讲稿第二十页，共五十九页3.偶然误差分布具有以下性质偶然误差分布具有以下性质(1)对对称称性性：相相近近的的正正误误差差和和负负误误差差出出现现的的概概率率相相等等,误误差差分分布布曲线对称曲线对称;(2)单单峰峰性性:小
16、小误误差差出出现现的的概概率率大大，大大误误差差的的概概率率小小。误误差差分分布布曲线只有一个峰值。误差有明显集中趋势；曲线只有一个峰值。误差有明显集中趋势；(3)有有界界性性：由由偶偶然然误误差差造造成成的的误误差差不不可可能能很很大大，即即大大误误差差出出现现的概率很小；的概率很小；(4)抵偿性；误差的算术平均值的极限为零。抵偿性；误差的算术平均值的极限为零。2023/4/8本讲稿第二十一页，共五十九页4.误差范围与出现的概率之间的关系误差范围与出现的概率之间的关系2023/4/8本讲稿第二十二页，共五十九页例：水垢中例：水垢中 Fe2O3 的百分含量测定数据为的百分含量测定数据为(测测
17、6次次)：79.58%，79.45%，79.47%，79.50%，79.62%，79.38%X=79.50%s=0.09%如果没有如果没有系统误差系统误差，而且真值是，而且真值是79.53%，我们如何表示分析结果，我们如何表示分析结果，才是合理的？才是合理的？79.50%；79.50%+0.09%；79.50%+0.04%这样表示就一定能将真实值包含在内么？数据的可信程度这样表示就一定能将真实值包含在内么？数据的可信程度多大？如何确定？多大？如何确定？2023/4/8本讲稿第二十三页，共五十九页5.置信度与置信区间置信度与置信区间置信度置信度(Confidence Level)：真值在置信区间
18、出现的几率真值在置信区间出现的几率。68.3%,95.5%,99.7%即为置信度置信区间置信区间(Confidence Interval)：以平均值为中心，真值出现的范围以平均值为中心，真值出现的范围。，2，3 等称为置信区间。置信度选得高，置信区间就宽。2023/4/8本讲稿第二十四页，共五十九页2.1.6 有限次测定中偶然误差服从有限次测定中偶然误差服从 t 分布分布t 分布曲线分布曲线 t 分布曲线随自由度 f (f=n-1)而变，当 f 20时，与正态分布曲线很近似，当 f 时，二者一致。t 分布在分析化学中应用很多。t 值与置信度和测定值的次数有关，可由表 2-2 中查得。2023/
19、4/8本讲稿第二十五页，共五十九页t 分布与正态分布分布与正态分布可衍生出：有限次测定无法计算总体标准差和总体平均值,则偶然误差并不完全服从正态分布，服从类似于正态分布的 t 分布(t 分布由英国统计学家与化学家 W.S.Gosset提出，以Student的笔名发表)。T 的定义与 u 一致,用 s 代替，2023/4/8本讲稿第二十六页，共五十九页79.50%；79.50%+0.09%；79.50%+0.04%置信区间的确定置信区间的确定2023/4/8本讲稿第二十七页，共五十九页表表2-2 t 值表值表返回 例3、例4(1);(2)2023/4/8本讲稿第二十八页，共五十九页讨论：讨论：(
20、1)由式：由式：(2)置置信信区区间间的的宽宽窄窄与与置置信信度度、测测定定值值的的精精密密度度和和测测定定次次数数有有关关，当当测测定定值值精精密密度度(s值值小小)，测测定定次次数数愈愈多多(n)时时，置置信信区间区间，即平均值愈接近真值，平均值愈可靠。，即平均值愈接近真值，平均值愈可靠。得：得：2023/4/8本讲稿第二十九页，共五十九页(3)上上式式的的意意义义：在在一一定定置置信信度度下下(如如95%)，真真值值(总总体体平均值平均值)将在测定平均值附近的一个区间即在将在测定平均值附近的一个区间即在之之间间存存在在，把把握握程程度度 95%。该该式式常常作作为为分分析析结结果果的的表
21、表达式。达式。(4)置置信信度度，置置信信区区间间，其其区区间间包包括括真真值值的的可可能能性性，一般将置信度定为一般将置信度定为95%或或90%。2023/4/8本讲稿第三十页，共五十九页例例3：测定测定 SiO2 的质量分数，得到下列数据，求平均值、标准偏差、置的质量分数，得到下列数据，求平均值、标准偏差、置信度分别为信度分别为90%和和95%时平均值的置信区间。时平均值的置信区间。28.62,28.59,28.51,28.48,28.52,28.63解：解：查表查表 2-2 置信度为置信度为 90%，n=6 时，时，t=2.015。置信度为置信度为 95%时：时：置信度，置信区间。202
22、3/4/8本讲稿第三十一页，共五十九页例例4：测测定定钢钢中中含含铬铬量量时时，先先测测定定两两次次，测测得得的的质质量量分分数数为为1.12%和和1.15%；再再测测定定三三次次,测测得得的的数数据据为为1.11%,1.16%和和1.12%。计计算算两两次次测测定定和和五次测定平均值的置信区间（五次测定平均值的置信区间（95%置信度）。置信度）。查表查表 2-2，得，得 t95%=12.7。解：解：n=2 时时2023/4/8本讲稿第三十二页，共五十九页 n=5 时：时：查表查表 2-2，得，得 t95%=2.78。在在一一定定测测定定次次数数范范围围内内，适适当当增增加加测测定定次次数数，
23、可可使使置置信信区区间间显显著著缩小缩小，即可使测定的平均值与总体平均值，即可使测定的平均值与总体平均值接近。接近。2023/4/8本讲稿第三十三页，共五十九页2.1.7 公差公差 公差公差：生产部门对于分析结果允许误差的一种表示法 超差超差：分析结果超出允许的公差范围。需重做。公差的确定公差的确定：（1）组成较复杂的分析，允许公差范围宽一些；（2）一般工业分析，允许相对误差在百分之几到千分之几；（3）而原子质量的测定，要求相对误差很小；（4）国家规定。2023/4/8本讲稿第三十四页，共五十九页 钢中的硫含量分析的允许公差范围钢中的硫含量分析的允许公差范围 国国家家标标准准中中，对对含含量量
24、与与允允许许公公差差之之关关系系常常常常用用回回归归方方程程式式表表示。示。2023/4/8本讲稿第三十五页，共五十九页2.2 分析结果的数据处理分析结果的数据处理为什么要对数据进行处理？为什么要对数据进行处理？个别偏离较大的数据（称为离群值或极值）是保留还是该弃去？个别偏离较大的数据（称为离群值或极值）是保留还是该弃去？测得的平均值与真值（或标准值）的差异，是否合理？测得的平均值与真值（或标准值）的差异，是否合理？相相同同方方法法测测得得的的两两组组数数据据或或用用两两种种不不同同方方法法对对同同一一试试样样测测得得的的两组数据间的差异是否在允许的范围内？两组数据间的差异是否在允许的范围内？
25、数据进行处理包括哪些方面？数据进行处理包括哪些方面？可疑数据的取舍可疑数据的取舍过失误差的判断过失误差的判断 分析方法的准确度（可靠性）分析方法的准确度（可靠性）系统误差的判断系统误差的判断2023/4/8本讲稿第三十六页，共五十九页（1）排序：x1,x2,x3,x4（2）求 和标准偏差 s（3）计算G值：2.2.1 可疑数据的取舍可疑数据的取舍1.Grubbs 法法（4）由测定次数和要求的置信度，查表得G 表（5）比较 若G计算 G 表，弃去可疑值，反之保留。由于格鲁布斯(Grubbs)检验法引入了标准偏差，故准确性比Q 检验法高。2023/4/8本讲稿第三十七页，共五十九页表表 2-3 G
26、(p，n)值表值表2023/4/8本讲稿第三十八页，共五十九页2.Q 值检验法值检验法（1）数据排列 x1 x2 xn（2）求极差 xn x1（3）求可疑数据与相邻差：xn xn-1 或 x2 x1（4）计算：（5 5）根据测定次数和要求的置信度,(如90%)查表2-4：（6 6）将 Q 与 Qx（如 Q90）相比，若 Q Qx 舍弃该数据,（过失误差造成）若 Q Qx 保留该数据,（偶然误差所致）2023/4/8本讲稿第三十九页，共五十九页表表 2-4 Q 值表值表2023/4/8本讲稿第四十页，共五十九页例例5：测定某药物中Co的含量（10-4）得到结果如下：1.25,1.27,1.31，
27、1.40，用Grubbs 法和 Q 值检验法判断 1.40 是否保留。查表 2-3，置信度选 95%，n=4，G表=1.46 G计算 G表 故 1.40 应保留。解：解：用 Grubbs 法：x=1.31；s=0.0662023/4/8本讲稿第四十一页，共五十九页 用 Q 值检验法：可疑值 xn查表 2-4，n=4，Q0.90=0.76 Q计算 t表，则与已知值有显著差别(存在系统误差)。若 t计算 t表，正常差异（偶然误差引起的）。2023/4/8本讲稿第四十四页，共五十九页例例6：用一种新方法来测定试样含铜量，用含量为用一种新方法来测定试样含铜量，用含量为11.7 mg/kg的标准试样，的
28、标准试样，进行五次测定，所得数据为：进行五次测定，所得数据为：10.9,11.8,10.9,10.3,10.0判断该方法是否可行？（是否存在系统误差）。判断该方法是否可行？（是否存在系统误差）。解：计算平均值解：计算平均值=10.8，标准偏差，标准偏差 S=0.7查表查表 2-2 t 值表，值表，t(0.95,n=5)=2.78t计算计算 t表表说明该方法存在系统误差，结果偏低。说明该方法存在系统误差，结果偏低。2023/4/8本讲稿第四十五页，共五十九页2.2.3 两个平均值的比较两个平均值的比较相同试样、两种分析方法所得平均值的比较（缺标准值时）相同试样、两种分析方法所得平均值的比较（缺标
29、准值时）系统误差的判断 对两个分析人员测定相同试样所得结果进行评价；对两个分析人员测定相同试样所得结果进行评价；对两个单位测定相同试样所得结果进行评价；对两个单位测定相同试样所得结果进行评价；对两种方法进行比较，即是否有系统误差存在；对两种方法进行比较，即是否有系统误差存在；判断方法：判断方法：t 检验法；检验法；F 检验法检验法前提：前提：两个平均值的精密度没有大的差别。两个平均值的精密度没有大的差别。2023/4/8本讲稿第四十六页，共五十九页F 检验法检验法也称方差比检验方差比检验:若 F计算 F表,被检验的分析方法存在较大的系统误差。t 检验式检验式：2023/4/8本讲稿第四十七页，
30、共五十九页表表 2-5 置信度置信度95%时时 F 值值fs大：方差大的数据的自由度；fs小：方差小的数据的自由度。（f=n-1）2023/4/8本讲稿第四十八页，共五十九页例例7：甲、乙二人对同一试样用不同方法进行测定甲、乙二人对同一试样用不同方法进行测定,得两组测定值：得两组测定值：甲：甲：1.26,1.25,1.22 乙：乙：1.35,1.31,1.33,1.34问两种方法间有无显著性差异？问两种方法间有无显著性差异？解：解：n甲甲=3S甲=0.021n乙乙=4S乙=0.017查表查表2-5，F 值为值为 9.55，说明两组的方差无显著性差异。，说明两组的方差无显著性差异。进一步用进一步
31、用 t 公式进行计算。公式进行计算。2023/4/8本讲稿第四十九页，共五十九页再进行再进行 t 检验：检验：查表查表 2-2 t 值表值表 f =n1+n22=3+42=5，置信度置信度 95%t表表=2.57，t计算计算t表表 甲乙二人采用的不同方法间存在显著性差异甲乙二人采用的不同方法间存在显著性差异2023/4/8本讲稿第五十页，共五十九页例例7 的讨论：的讨论：（1）计算表明甲乙二人采用的不同方法间存在显著性差异；）计算表明甲乙二人采用的不同方法间存在显著性差异；系统误差有多大？如何进一步查明哪种方法可行？系统误差有多大？如何进一步查明哪种方法可行？（2）分分别别与与标标准准方方法法
32、或或使使用用标标准准样样品品进进行行对对照照试试验验，根根据据实实验验结结果果进进行行判断。判断。（3）本例中两种方法所得平均值的差为：）本例中两种方法所得平均值的差为：其中包含了系统误差和偶然误差。其中包含了系统误差和偶然误差。（4）根据）根据 t 分布规律，偶然误差允许最大值为：分布规律，偶然误差允许最大值为：说明可能有说明可能有0.05的值由系统误差产生。的值由系统误差产生。2023/4/8本讲稿第五十一页，共五十九页2.4 有效数字及其运算规则有效数字及其运算规则 2.4.1 有效数字 1.1.实验过程中遇到的两类数字实验过程中遇到的两类数字（1 1）非测量值）非测量值 如测定次数；倍
33、数；系数；分数；常数如测定次数；倍数；系数；分数；常数()有效数字位数可看作无限多位。有效数字位数可看作无限多位。（2 2）测量值或计算值）测量值或计算值 数据位数反映数据位数反映测量的精确程度测量的精确程度。这类数字称为有效数字。这类数字称为有效数字。可疑数字：有效数字的最后一位数字，通常为估计值，不准确。一可疑数字：有效数字的最后一位数字，通常为估计值，不准确。一般有效数字的最后一位数字有般有效数字的最后一位数字有1个单位的误差。个单位的误差。2023/4/8本讲稿第五十二页，共五十九页2.有关有效数字的讨论有关有效数字的讨论 （1 1）正确记录实验数据）正确记录实验数据 用分析天平与用托
34、盘天平称取试样的不同。用分析天平与用托盘天平称取试样的不同。（2 2）实验记录的数字不仅表示数量的大小，而且要正确地反）实验记录的数字不仅表示数量的大小，而且要正确地反映测量的精确程度。映测量的精确程度。（3 3）一般有效数字的最后一位数字有一般有效数字的最后一位数字有1个单位的误差。个单位的误差。结果结果 绝对偏差绝对偏差 相对偏差相对偏差 有效数字位数有效数字位数0.51800 0.00001 0.002%50.51800 0.00001 0.002%50.5180 0.0001 0.02%40.5180 0.0001 0.02%40.518 0.001 0.2%30.518 0.001
35、0.2%32023/4/8本讲稿第五十三页，共五十九页（4 4）数据中零的作用）数据中零的作用 数字零在数据中具有数字零在数据中具有双重作用双重作用：a.作普通数字用，如作普通数字用，如 0.5180；4位有效数字位有效数字 5.180 101 b.作定位用，如作定位用，如 0.0518；3位有效数字位有效数字 5.18 102（5）注意点）注意点 a.容量器皿容量器皿:滴定管滴定管,移液管移液管,容量瓶；容量瓶；4位有效数字位有效数字 b.分析天平（万分之一）取分析天平（万分之一）取4位有效数字位有效数字 c.标准溶液的浓度，用标准溶液的浓度，用4位有效数字表示位有效数字表示:0.1000
36、mol/L d.pH=4.34，小数点后的数字位数为有效数字位数小数点后的数字位数为有效数字位数 对数值，对数值，lgX=2.38；lg(2.4 102)2023/4/8本讲稿第五十四页，共五十九页2.4.2 修约规则修约规则1.为什么要进行修约？为什么要进行修约？数字位数能正确表达实验的准确度，舍去多余的数字。数字位数能正确表达实验的准确度，舍去多余的数字。2.修约规则修约规则：“四舍六入五留双四舍六入五留双”（1）当多余尾数）当多余尾数4时舍去尾数，时舍去尾数，6时进位。时进位。（2）尾数正好是）尾数正好是5时分两种情况：时分两种情况：a.若若5后数字不为后数字不为0，一律进位，一律进位，
37、0.1067534 b.5后无数或为后无数或为0，采用，采用5前是奇数则将前是奇数则将5进位，进位，5前是偶数则把前是偶数则把5舍舍弃，简称弃，简称“奇进偶舍奇进偶舍”。0.43715;0.43725 数据修约规则可参阅数据修约规则可参阅GB8170-87。2023/4/8本讲稿第五十五页，共五十九页3.3.示例与讨论示例与讨论（1）示例：保留四位有效数字，修约：）示例：保留四位有效数字，修约：14.2442 14.24 26.4863 26.49 15.0250 15.02 15.0150 15.02 15.0251 15.03（2）一次修约到位，不能连续多次的修约）一次修约到位，不能连续多
38、次的修约 如如 2.3457修约到两位，应为修约到两位，应为2.3，如连续修约则为如连续修约则为 2.3457 2.346 2.35 2.4 不对。不对。2023/4/8本讲稿第五十六页，共五十九页2.4.3 运算规则运算规则1.1.加减法运算加减法运算 结果的位数取决于绝对误差最大的数据的位数结果的位数取决于绝对误差最大的数据的位数 例：例：0.0121 绝对误差：绝对误差：0.0001 25.64 0.01 1.057 0.00126.70912023/4/8本讲稿第五十七页，共五十九页2.乘除法运算乘除法运算 有效数字的位数取决于相对误差最大的数据的位数。有效数字的位数取决于相对误差最大
39、的数据的位数。例：例：(0.0325(0.0325 5.103 5.103 60.0)/139.8=0.071179184 60.0)/139.8=0.071179184 0.0325 0.0001/0.0325 0.0325 0.0001/0.0325 100%=0.3%100%=0.3%5.103 0.001/5.103 5.103 0.001/5.103 100%=0.02%100%=0.02%60.06 0.01/60.06 60.06 0.01/60.06 100%=0.02%100%=0.02%139.8 0.1/139.8 139.8 0.1/139.8 100%=0.07%10
40、0%=0.07%先修约再运算？先运算再修约？先修约再运算？先运算再修约？结果数值有时不一样。结果数值有时不一样。将参与运算的各数的有效数字位数修约到比该数应有的有效数将参与运算的各数的有效数字位数修约到比该数应有的有效数字位数多一位字位数多一位(多取的数字称为安全数字多取的数字称为安全数字)，再进行运算。，再进行运算。2023/4/8本讲稿第五十八页，共五十九页思考题：1.正确理解准确度和精密度，误差和偏差的概念。正确理解准确度和精密度，误差和偏差的概念。2.下列情况分别引起什么误差？如果是系统误差，如何消除？下列情况分别引起什么误差？如果是系统误差，如何消除？(1)砝码被腐蚀；砝码被腐蚀；(2)天平两臂不等长；天平两臂不等长；(3)容量瓶和吸管不配套；容量瓶和吸管不配套；(4)天平称量时最后一位读数估计不准；天平称量时最后一位读数估计不准；(5)以含量为以含量为99%的邻苯二甲酸氢钾作基准物标定碱溶液；的邻苯二甲酸氢钾作基准物标定碱溶液；3.用标准偏差和算术平均偏差表示结果，哪一种更合理？用标准偏差和算术平均偏差表示结果，哪一种更合理？4.如何减少偶然误差？如何减少系统误差？如何减少偶然误差？如何减少系统误差？2023/4/8本讲稿第五十九页，共五十九页