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1、线性系统理论第四第1页，共66页，编辑于2022年，星期一第四章第四章线性系统的时间域理论线性系统的时间域理论第第4章章 系统运动的稳定性系统运动的稳定性系统运动稳定性的分析是控制理论的一个重要组成部分。系统运动稳定性的分析是控制理论的一个重要组成部分。系统运动稳定性的分析是控制理论的一个重要组成部分。系统运动稳定性的分析是控制理论的一个重要组成部分。稳定性是系统的另一个重要特征。稳定性是系统的另一个重要特征。稳定性是系统的另一个重要特征。稳定性是系统的另一个重要特征。实际系统必须是稳定的。实际系统必须是稳定的。实际系统必须是稳定的。实际系统必须是稳定的。外部稳定性外部稳定性外部稳定性外部稳定
2、性 ：通过输入：通过输入：通过输入：通过输入输出关系来表征。输出关系来表征。输出关系来表征。输出关系来表征。内部稳定性内部稳定性内部稳定性内部稳定性 ：零输入下状态运动的响应来表征。：零输入下状态运动的响应来表征。：零输入下状态运动的响应来表征。：零输入下状态运动的响应来表征。满足一定的条件，内部稳定性和外部稳定性之间存在等价满足一定的条件，内部稳定性和外部稳定性之间存在等价满足一定的条件，内部稳定性和外部稳定性之间存在等价满足一定的条件，内部稳定性和外部稳定性之间存在等价关系。关系。关系。关系。第2页，共66页，编辑于2022年，星期一第四章第四章连续时间系统连续时间系统连续时间系统连续时间
3、系统 离散时间系统离散时间系统离散时间系统离散时间系统定常系统定常系统定常系统定常系统 时变系统时变系统时变系统时变系统 ；讨论内部稳定性。讨论内部稳定性。讨论内部稳定性。讨论内部稳定性。李亚普诺夫方法（李亚普诺夫方法（李亚普诺夫方法（李亚普诺夫方法（.)线性系统线性系统线性系统线性系统 非线性系统非线性系统非线性系统非线性系统 ；第3页，共66页，编辑于2022年，星期一第四章第四章考虑一个线性因果系统，如果对应于一个有界的输入考虑一个线性因果系统，如果对应于一个有界的输入考虑一个线性因果系统，如果对应于一个有界的输入考虑一个线性因果系统，如果对应于一个有界的输入 ，必须假定系统的初始条件为
4、零，才是唯一的和有意义的。必须假定系统的初始条件为零，才是唯一的和有意义的。必须假定系统的初始条件为零，才是唯一的和有意义的。必须假定系统的初始条件为零，才是唯一的和有意义的。的，简称为的，简称为的，简称为的，简称为 B I B O B I B O 稳定。稳定。稳定。稳定。即满足条件：即满足条件：即满足条件：即满足条件：的输入的输入的输入的输入 ，所产生的输出，所产生的输出，所产生的输出，所产生的输出 也是有界的，即成立也是有界的，即成立也是有界的，即成立也是有界的，即成立则称此因果系统是外部稳定的，即有界输入则称此因果系统是外部稳定的，即有界输入则称此因果系统是外部稳定的，即有界输入则称此因
5、果系统是外部稳定的，即有界输入有界输出稳定有界输出稳定有界输出稳定有界输出稳定4.1 4.1 外部稳定性和内部稳定性外部稳定性和内部稳定性外部稳定性和内部稳定性外部稳定性和内部稳定性u u外部稳定性外部稳定性外部稳定性外部稳定性第4页，共66页，编辑于2022年，星期一第四章第四章这样的函数这样的函数这样的函数这样的函数 称为称为称为称为 的范数。的范数。的范数。的范数。范数是定义在线性空间上的一个非负实值函数。范数是定义在线性空间上的一个非负实值函数。范数是定义在线性空间上的一个非负实值函数。范数是定义在线性空间上的一个非负实值函数。如果如果如果如果 是数域是数域是数域是数域 上的一个线性空
6、间，上的一个线性空间，上的一个线性空间，上的一个线性空间，是任意一个向是任意一个向是任意一个向是任意一个向条件：条件：条件：条件：量，量，量，量，对应一个非负实数对应一个非负实数对应一个非负实数对应一个非负实数 ，这个非负实数满足下列三个，这个非负实数满足下列三个，这个非负实数满足下列三个，这个非负实数满足下列三个（1 1）当）当）当）当 时，时，时，时，当，当，当，当 时，时，时，时，。（2 2）对任意常数）对任意常数）对任意常数）对任意常数 ，有，有，有，有 。（3 3）对任意向量）对任意向量）对任意向量）对任意向量 ，成立，成立，成立，成立“三角不等式三角不等式三角不等式三角不等式”第5
7、页，共66页，编辑于2022年，星期一第四章第四章一个元一个元一个元一个元判别准则判别准则判别准则判别准则结论结论结论结论 1 1 时变系统时变系统时变系统时变系统 均满足关系式：均满足关系式：均满足关系式：均满足关系式：应矩阵，则系统为应矩阵，则系统为应矩阵，则系统为应矩阵，则系统为 B I B O B I B O 稳定的充分必要条件是，存在一稳定的充分必要条件是，存在一稳定的充分必要条件是，存在一稳定的充分必要条件是，存在一个有限常数个有限常数个有限常数个有限常数 ，使对于一切，使对于一切，使对于一切，使对于一切 ，的每的每的每的每对于零初始条件的线性时变系统，表对于零初始条件的线性时变系
8、统，表对于零初始条件的线性时变系统，表对于零初始条件的线性时变系统，表 为其脉冲响为其脉冲响为其脉冲响为其脉冲响第6页，共66页，编辑于2022年，星期一第四章第四章首先，考虑首先，考虑首先，考虑首先，考虑 ，即单输入，即单输入，即单输入，即单输入单输出的情况。单输出的情况。单输出的情况。单输出的情况。证明证明证明证明 ：分成两步来证明：分成两步来证明：分成两步来证明：分成两步来证明先证充分性先证充分性先证充分性先证充分性 ：已知：已知：已知：已知 成立，成立，成立，成立，且任意输入且任意输入且任意输入且任意输入 满足满足满足满足就可得到就可得到就可得到就可得到那么利用由脉冲响应函数那么利用由
9、脉冲响应函数那么利用由脉冲响应函数那么利用由脉冲响应函数 表示的输出表示的输出表示的输出表示的输出 的表达式的表达式的表达式的表达式从而由定义知系统为从而由定义知系统为从而由定义知系统为从而由定义知系统为 B I B O B I B O 稳定。稳定。稳定。稳定。第7页，共66页，编辑于2022年，星期一第四章第四章证必要性证必要性证必要性证必要性 ：采用反证法，设存在某个：采用反证法，设存在某个：采用反证法，设存在某个：采用反证法，设存在某个 ，使使使使 则定义如下的一个有界输入则定义如下的一个有界输入则定义如下的一个有界输入则定义如下的一个有界输入即即即即表明输出无界，与表明输出无界，与表明
10、输出无界，与表明输出无界，与 B I B O B I B O 稳定相矛盾。稳定相矛盾。稳定相矛盾。稳定相矛盾。考察由它作用下所产生的输出考察由它作用下所产生的输出考察由它作用下所产生的输出考察由它作用下所产生的输出 ，易知，易知，易知，易知第8页，共66页，编辑于2022年，星期一第四章第四章多输入多输入多输入多输入多输出情况多输出情况多输出情况多输出情况系统输出系统输出系统输出系统输出 的分量的分量的分量的分量 满足关系式满足关系式满足关系式满足关系式有限个有界函数之和仍为有界，可证得此结论。有限个有界函数之和仍为有界，可证得此结论。有限个有界函数之和仍为有界，可证得此结论。有限个有界函数之
11、和仍为有界，可证得此结论。第9页，共66页，编辑于2022年，星期一第四章第四章结论结论结论结论 2 2 定常系统定常系统定常系统定常系统 均满足关系式：均满足关系式：均满足关系式：均满足关系式：为为为为 B I B O B I B O 稳定的充分必要条件是，存在一个有限常数稳定的充分必要条件是，存在一个有限常数稳定的充分必要条件是，存在一个有限常数稳定的充分必要条件是，存在一个有限常数 ，的每一个元的每一个元的每一个元的每一个元对于零初始条件的线性定常系统，表初始时刻对于零初始条件的线性定常系统，表初始时刻对于零初始条件的线性定常系统，表初始时刻对于零初始条件的线性定常系统，表初始时刻 ，或
12、等价地，当或等价地，当或等价地，当或等价地，当 为真的有理分式函数矩阵时，为真的有理分式函数矩阵时，为真的有理分式函数矩阵时，为真的有理分式函数矩阵时，的的的的每一个元传递函数每一个元传递函数每一个元传递函数每一个元传递函数 的所有极点均具有负实部。的所有极点均具有负实部。的所有极点均具有负实部。的所有极点均具有负实部。为其脉冲响应矩阵，为其脉冲响应矩阵，为其脉冲响应矩阵，为其脉冲响应矩阵，为其传递函数矩阵，则系统为其传递函数矩阵，则系统为其传递函数矩阵，则系统为其传递函数矩阵，则系统第10页，共66页，编辑于2022年，星期一第四章第四章对于线性定常系统对于线性定常系统对于线性定常系统对于线
13、性定常系统如果外输入如果外输入如果外输入如果外输入 ，初始状态，初始状态，初始状态，初始状态 为任意，且由为任意，且由为任意，且由为任意，且由 引起引起引起引起的零输入响应的零输入响应的零输入响应的零输入响应 ，满足关系式：，满足关系式：，满足关系式：，满足关系式：则称系统是内部稳定的，或称为是渐近稳定的。则称系统是内部稳定的，或称为是渐近稳定的。则称系统是内部稳定的，或称为是渐近稳定的。则称系统是内部稳定的，或称为是渐近稳定的。u u内部稳定内部稳定内部稳定内部稳定第11页，共66页，编辑于2022年，星期一第四章第四章另：渐近稳定的充分必要条件是矩阵另：渐近稳定的充分必要条件是矩阵另：渐近
14、稳定的充分必要条件是矩阵另：渐近稳定的充分必要条件是矩阵 A A 的所有特征值均具有的所有特征值均具有的所有特征值均具有的所有特征值均具有负实部，即负实部，即负实部，即负实部，即其中其中其中其中 为系统的维数。为系统的维数。为系统的维数。为系统的维数。当矩阵当矩阵当矩阵当矩阵 A A 给定后，则可导出其特征多项式给定后，则可导出其特征多项式给定后，则可导出其特征多项式给定后，则可导出其特征多项式利用劳斯利用劳斯利用劳斯利用劳斯霍尔维茨判据，直接由系数霍尔维茨判据，直接由系数霍尔维茨判据，直接由系数霍尔维茨判据，直接由系数来判断系统的渐近稳定性。来判断系统的渐近稳定性。来判断系统的渐近稳定性。来
15、判断系统的渐近稳定性。第12页，共66页，编辑于2022年，星期一第四章第四章下的稳定性。下的稳定性。下的稳定性。下的稳定性。内部稳定：系统状态自由运动的稳定性，也即李亚普诺夫意义内部稳定：系统状态自由运动的稳定性，也即李亚普诺夫意义内部稳定：系统状态自由运动的稳定性，也即李亚普诺夫意义内部稳定：系统状态自由运动的稳定性，也即李亚普诺夫意义u u内部稳定性和外部稳定性间的关系内部稳定性和外部稳定性间的关系内部稳定性和外部稳定性间的关系内部稳定性和外部稳定性间的关系必是渐近稳定的。必是渐近稳定的。必是渐近稳定的。必是渐近稳定的。稳定。稳定。稳定。稳定。结论结论结论结论 2 2：设线性定常系统是：
16、设线性定常系统是：设线性定常系统是：设线性定常系统是 B I B O B I B O 稳定的，则不能保证系统稳定的，则不能保证系统稳定的，则不能保证系统稳定的，则不能保证系统结论结论结论结论 1 1：设线性定常系统是内部稳定的，则其必是：设线性定常系统是内部稳定的，则其必是：设线性定常系统是内部稳定的，则其必是：设线性定常系统是内部稳定的，则其必是 B I B O B I B O性与外部稳定性必是等价的。性与外部稳定性必是等价的。性与外部稳定性必是等价的。性与外部稳定性必是等价的。结论结论结论结论 3 3：如果线性定常系统为能控和能观测，则其内部稳定：如果线性定常系统为能控和能观测，则其内部稳
17、定：如果线性定常系统为能控和能观测，则其内部稳定：如果线性定常系统为能控和能观测，则其内部稳定第13页，共66页，编辑于2022年，星期一第四章第四章4.2 4.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的一些基本概念李亚普诺夫意义下运动稳定性的一些基本概念李亚普诺夫意义下运动稳定性的一些基本概念李亚普诺夫意义下运动稳定性的一些基本概念如果为线性，则表示为：如果为线性，则表示为：如果为线性，则表示为：如果为线性，则表示为：u u自治系统自治系统自治系统自治系统量状态方程来描述：量状态方程来描述：量状态方程来描述：量状态方程来描述：没有外输入作用时的系统。没有外输入作用时的系统。没有外输入作用时的系统。没有
18、外输入作用时的系统。u u受扰运动受扰运动受扰运动受扰运动非线性和时变情况下，自治系统用显含时间非线性和时变情况下，自治系统用显含时间非线性和时变情况下，自治系统用显含时间非线性和时变情况下，自治系统用显含时间 的非线性向的非线性向的非线性向的非线性向第14页，共66页，编辑于2022年，星期一第四章第四章解存在且唯一，由初始状态解存在且唯一，由初始状态解存在且唯一，由初始状态解存在且唯一，由初始状态 所引起的运动为：所引起的运动为：所引起的运动为：所引起的运动为：等同于系统状态的零输入响应。等同于系统状态的零输入响应。等同于系统状态的零输入响应。等同于系统状态的零输入响应。运动的原因为以运动
19、的原因为以运动的原因为以运动的原因为以 为初始时刻的初始状态为初始时刻的初始状态为初始时刻的初始状态为初始时刻的初始状态 ，且有，且有，且有，且有动所引起，称为受扰运动。动所引起，称为受扰运动。动所引起，称为受扰运动。动所引起，称为受扰运动。由于这一运动是由初始状态的扰。由于这一运动是由初始状态的扰。由于这一运动是由初始状态的扰。由于这一运动是由初始状态的扰第15页，共66页，编辑于2022年，星期一第四章第四章，即状态空间的原点为系统的一个平衡状态。，即状态空间的原点为系统的一个平衡状态。，即状态空间的原点为系统的一个平衡状态。，即状态空间的原点为系统的一个平衡状态。则称则称则称则称 为系统
20、的一个平衡状态。为系统的一个平衡状态。为系统的一个平衡状态。为系统的一个平衡状态。u u平衡状态平衡状态平衡状态平衡状态如果存在某个状态如果存在某个状态如果存在某个状态如果存在某个状态 ，使成立，使成立，使成立，使成立运动的稳定性，就是研究其平衡状态的稳定性，偏离平运动的稳定性，就是研究其平衡状态的稳定性，偏离平运动的稳定性，就是研究其平衡状态的稳定性，偏离平运动的稳定性，就是研究其平衡状态的稳定性，偏离平通过移动坐标系将其转换为空间的原点。通过移动坐标系将其转换为空间的原点。通过移动坐标系将其转换为空间的原点。通过移动坐标系将其转换为空间的原点。衡状态的受扰运动能否只依靠系统内部的结构因素而
21、返回到衡状态的受扰运动能否只依靠系统内部的结构因素而返回到衡状态的受扰运动能否只依靠系统内部的结构因素而返回到衡状态的受扰运动能否只依靠系统内部的结构因素而返回到平衡状态，或者限制在它的一个有限邻域内。平衡状态，或者限制在它的一个有限邻域内。平衡状态，或者限制在它的一个有限邻域内。平衡状态，或者限制在它的一个有限邻域内。第16页，共66页，编辑于2022年，星期一第四章第四章应地存在一个实数应地存在一个实数应地存在一个实数应地存在一个实数 ，使得由满足不等式，使得由满足不等式，使得由满足不等式，使得由满足不等式夫意义下是稳定的，如果对给定的任一实数夫意义下是稳定的，如果对给定的任一实数夫意义下
22、是稳定的，如果对给定的任一实数夫意义下是稳定的，如果对给定的任一实数 ，都对，都对，都对，都对u u李亚普诺夫意义下的稳定李亚普诺夫意义下的稳定李亚普诺夫意义下的稳定李亚普诺夫意义下的稳定表表表表 为系统的一个孤立平衡状态，则称为系统的一个孤立平衡状态，则称为系统的一个孤立平衡状态，则称为系统的一个孤立平衡状态，则称 为李亚普诺为李亚普诺为李亚普诺为李亚普诺的任一初态的任一初态的任一初态的任一初态 出发的受扰运动都满足不等式：出发的受扰运动都满足不等式：出发的受扰运动都满足不等式：出发的受扰运动都满足不等式：第17页，共66页，编辑于2022年，星期一第四章第四章记为记为记为记为 。以原点以原
23、点以原点以原点 为球心构造半径为为球心构造半径为为球心构造半径为为球心构造半径为 的一个超球体，其球域的一个超球体，其球域的一个超球体，其球域的一个超球体，其球域则存在一个对应的正实数则存在一个对应的正实数则存在一个对应的正实数则存在一个对应的正实数 ，其大小同时依赖于，其大小同时依赖于，其大小同时依赖于，其大小同时依赖于和初始时刻和初始时刻和初始时刻和初始时刻 ，则构造原点为球心，半径为，则构造原点为球心，半径为，则构造原点为球心，半径为，则构造原点为球心，半径为 的另一的另一的另一的另一超球体，球域记为超球体，球域记为超球体，球域记为超球体，球域记为 。则由域则由域则由域则由域 上的任一点
24、出发的运动轨迹上的任一点出发的运动轨迹上的任一点出发的运动轨迹上的任一点出发的运动轨迹 ，对所有对所有对所有对所有 ，都不脱离域，都不脱离域，都不脱离域，都不脱离域 。则原点平衡状态则原点平衡状态则原点平衡状态则原点平衡状态 是李亚普诺夫意义下稳定的。是李亚普诺夫意义下稳定的。是李亚普诺夫意义下稳定的。是李亚普诺夫意义下稳定的。几何含义为：几何含义为：几何含义为：几何含义为：第18页，共66页，编辑于2022年，星期一第四章第四章第19页，共66页，编辑于2022年，星期一第四章第四章如果如果如果如果 只依赖于只依赖于只依赖于只依赖于 而和初始时刻而和初始时刻而和初始时刻而和初始时刻 无关，则
25、称无关，则称无关，则称无关，则称 是一是一是一是一致稳定的。致稳定的。致稳定的。致稳定的。定常系统定常系统定常系统定常系统 ：稳定等价于一致稳定。：稳定等价于一致稳定。：稳定等价于一致稳定。：稳定等价于一致稳定。时变系统时变系统时变系统时变系统 ：稳定：稳定：稳定：稳定 一致稳定。一致稳定。一致稳定。一致稳定。（1 1）是李氏意义稳定的；是李氏意义稳定的；是李氏意义稳定的；是李氏意义稳定的；u u渐近稳定渐近稳定渐近稳定渐近稳定一个孤立平衡状态一个孤立平衡状态一个孤立平衡状态一个孤立平衡状态 称为是渐近稳定的，如果：称为是渐近稳定的，如果：称为是渐近稳定的，如果：称为是渐近稳定的，如果：第20
26、页，共66页，编辑于2022年，星期一第四章第四章存在实数存在实数存在实数存在实数 ，使得满足：，使得满足：，使得满足：，使得满足：（2 2）对）对）对）对 和任意给定的实数和任意给定的实数和任意给定的实数和任意给定的实数 ，对应地，对应地，对应地，对应地的任一初态的任一初态的任一初态的任一初态 出发的受扰出发的受扰出发的受扰出发的受扰运动都同时满足不等式：运动都同时满足不等式：运动都同时满足不等式：运动都同时满足不等式：运动的有界性。运动的有界性。运动的有界性。运动的有界性。第21页，共66页，编辑于2022年，星期一第四章第四章运动的渐近性运动的渐近性运动的渐近性运动的渐近性第22页，共6
27、6页，编辑于2022年，星期一第四章第四章实数实数实数实数 和和和和 都不依赖于都不依赖于都不依赖于都不依赖于 ，则称平衡状态，则称平衡状态，则称平衡状态，则称平衡状态 是一致渐近是一致渐近是一致渐近是一致渐近稳定的。稳定的。稳定的。稳定的。当当当当 为渐近稳定时，必成立为渐近稳定时，必成立为渐近稳定时，必成立为渐近稳定时，必成立随着随着随着随着 ，则有，则有，则有，则有渐近稳定是工程意义下的稳定。渐近稳定是工程意义下的稳定。渐近稳定是工程意义下的稳定。渐近稳定是工程意义下的稳定。李氏意义下的稳定是工程意义下的临界不稳定，渐近稳定李氏意义下的稳定是工程意义下的临界不稳定，渐近稳定李氏意义下的稳
28、定是工程意义下的临界不稳定，渐近稳定李氏意义下的稳定是工程意义下的临界不稳定，渐近稳定的最大区域的最大区域的最大区域的最大区域 称为平衡状态称为平衡状态称为平衡状态称为平衡状态 的吸引区。的吸引区。的吸引区。的吸引区。第23页，共66页，编辑于2022年，星期一第四章第四章运动运动运动运动 都是有界的，且成立：都是有界的，且成立：都是有界的，且成立：都是有界的，且成立：u u大范围渐近稳定大范围渐近稳定大范围渐近稳定大范围渐近稳定如果以状态空间的任一有限非零点为初始状态如果以状态空间的任一有限非零点为初始状态如果以状态空间的任一有限非零点为初始状态如果以状态空间的任一有限非零点为初始状态 的受
29、扰的受扰的受扰的受扰大范围渐近稳定，除了原点平衡状态外，不存在其它孤立平大范围渐近稳定，除了原点平衡状态外，不存在其它孤立平大范围渐近稳定，除了原点平衡状态外，不存在其它孤立平大范围渐近稳定，除了原点平衡状态外，不存在其它孤立平大范围渐近稳定为全局渐近稳定。大范围渐近稳定为全局渐近稳定。大范围渐近稳定为全局渐近稳定。大范围渐近稳定为全局渐近稳定。则称系统的原点平衡状态则称系统的原点平衡状态则称系统的原点平衡状态则称系统的原点平衡状态 是大范围渐近稳定的。是大范围渐近稳定的。是大范围渐近稳定的。是大范围渐近稳定的。衡点。衡点。衡点。衡点。小范围渐近稳定为局部渐近稳定。小范围渐近稳定为局部渐近稳定
30、。小范围渐近稳定为局部渐近稳定。小范围渐近稳定为局部渐近稳定。线性系统渐近稳定线性系统渐近稳定线性系统渐近稳定线性系统渐近稳定=大范围渐近稳定。大范围渐近稳定。大范围渐近稳定。大范围渐近稳定。第24页，共66页，编辑于2022年，星期一第四章第四章相应的实数相应的实数相应的实数相应的实数 ，使得由满足不等式：，使得由满足不等式：，使得由满足不等式：，使得由满足不等式：u u不稳定不稳定不稳定不稳定如果对于不管取多么大的有限实数如果对于不管取多么大的有限实数如果对于不管取多么大的有限实数如果对于不管取多么大的有限实数 ，都不可能找到，都不可能找到，都不可能找到，都不可能找到的任一初态的任一初态的
31、任一初态的任一初态 出发的运动满足不等式出发的运动满足不等式出发的运动满足不等式出发的运动满足不等式平衡状态平衡状态平衡状态平衡状态 是不稳定的。是不稳定的。是不稳定的。是不稳定的。取得多么大，取得多么大，取得多么大，取得多么大，取得如何小，必存在一个非零取得如何小，必存在一个非零取得如何小，必存在一个非零取得如何小，必存在一个非零点点点点 使得由使得由使得由使得由 出发的运动轨线越出出发的运动轨线越出出发的运动轨线越出出发的运动轨线越出 。第25页，共66页，编辑于2022年，星期一第四章第四章第26页，共66页，编辑于2022年，星期一第四章第四章4.3 4.3 李亚普诺夫第二方法的主要定
32、理李亚普诺夫第二方法的主要定理李亚普诺夫第二方法的主要定理李亚普诺夫第二方法的主要定理 由常微分方程组所描述的动力学系统的稳定性的方法归纳由常微分方程组所描述的动力学系统的稳定性的方法归纳由常微分方程组所描述的动力学系统的稳定性的方法归纳由常微分方程组所描述的动力学系统的稳定性的方法归纳 分析稳定性分析稳定性分析稳定性分析稳定性 原非线性系统的稳定性。原非线性系统的稳定性。原非线性系统的稳定性。原非线性系统的稳定性。为本质不同的两种方法。为本质不同的两种方法。为本质不同的两种方法。为本质不同的两种方法。第一法，间接法第一法，间接法第一法，间接法第一法，间接法 ：运动方程：运动方程：运动方程：运
33、动方程 一次近似的线性化方程一次近似的线性化方程一次近似的线性化方程一次近似的线性化方程 其一次导数的定号性其一次导数的定号性其一次导数的定号性其一次导数的定号性 分析稳定性。分析稳定性。分析稳定性。分析稳定性。第二法，直接法第二法，直接法第二法，直接法第二法，直接法 ：运动方程：运动方程：运动方程：运动方程 构造函数构造函数构造函数构造函数 分析它和分析它和分析它和分析它和第27页，共66页，编辑于2022年，星期一第四章第四章其中，对一切其中，对一切其中，对一切其中，对一切 成立成立成立成立 ，即状态空间的原点，即状态空间的原点，即状态空间的原点，即状态空间的原点 u u大范围渐近稳定的判
34、别定理大范围渐近稳定的判别定理大范围渐近稳定的判别定理大范围渐近稳定的判别定理连续非线性时变自由系统连续非线性时变自由系统连续非线性时变自由系统连续非线性时变自由系统为系统的平衡状态。为系统的平衡状态。为系统的平衡状态。为系统的平衡状态。结论结论结论结论 1 1 大范围一致渐近稳定判别定理大范围一致渐近稳定判别定理大范围一致渐近稳定判别定理大范围一致渐近稳定判别定理 李亚普诺夫主稳定性定理李亚普诺夫主稳定性定理李亚普诺夫主稳定性定理李亚普诺夫主稳定性定理如果存在一个对如果存在一个对如果存在一个对如果存在一个对 和和和和 具有连续一阶偏导数的标量函数具有连续一阶偏导数的标量函数具有连续一阶偏导数
35、的标量函数具有连续一阶偏导数的标量函数第28页，共66页，编辑于2022年，星期一第四章第四章（1 1）正定且有界，即两个连续的非减标量函数正定且有界，即两个连续的非减标量函数正定且有界，即两个连续的非减标量函数正定且有界，即两个连续的非减标量函数且满足如下的条件：且满足如下的条件：且满足如下的条件：且满足如下的条件：和和和和 ，其中，其中，其中，其中 和和和和 ，使对一切使对一切使对一切使对一切 和一切和一切和一切和一切 成立，成立，成立，成立，（2 2）对时间对时间对时间对时间 的导数的导数的导数的导数 负定且有界，负定且有界，负定且有界，负定且有界，即存在一个连续的非减标量函数即存在一个
36、连续的非减标量函数即存在一个连续的非减标量函数即存在一个连续的非减标量函数 ，其中，其中，其中，其中使对一切使对一切使对一切使对一切 和一切和一切和一切和一切 成立，成立，成立，成立，第29页，共66页，编辑于2022年，星期一第四章第四章（3 3）当）当）当）当 时，有时，有时，有时，有 即，即，即，即，则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定。则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定。则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定。则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定。充分条件，找到标量函数充分条件，找到标量函数充分条件，找到标量函数充分条件，找到标量函数直观含义：直观含义：直观含义：直观含义：为正
37、定有界，将其看成是一种为正定有界，将其看成是一种为正定有界，将其看成是一种为正定有界，将其看成是一种“能量能量能量能量”，而而而而 为能量随时间的变化率，能量是有限的，而变为能量随时间的变化率，能量是有限的，而变为能量随时间的变化率，能量是有限的，而变为能量随时间的变化率，能量是有限的，而变化率是负的，则运动必是有界的，并最终返回到原点平衡状化率是负的，则运动必是有界的，并最终返回到原点平衡状化率是负的，则运动必是有界的，并最终返回到原点平衡状化率是负的，则运动必是有界的，并最终返回到原点平衡状态。态。态。态。第30页，共66页，编辑于2022年，星期一第四章第四章结论结论结论结论 2 2 定
38、常系统的大范围渐近稳定判别定理定常系统的大范围渐近稳定判别定理定常系统的大范围渐近稳定判别定理定常系统的大范围渐近稳定判别定理 对于定常系统，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函对于定常系统，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函对于定常系统，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函对于定常系统，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数数数数 ，并且对状态空间，并且对状态空间，并且对状态空间，并且对状态空间 中的一切非中的一切非中的一切非中的一切非零点零点零点零点 满足如下的条件：满足如下的条件：满足如下的条件：满足如下的条件：（1 1）为正定。为正定。为正定。为正定。（2 2）为负定。为负定。为负定
39、。为负定。（3 3）当）当）当）当 时，有时，有时，有时，有 则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定。则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定。则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定。则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定。第31页，共66页，编辑于2022年，星期一第四章第四章例例例例 ：给定连续时间的定常系统：给定连续时间的定常系统：给定连续时间的定常系统：给定连续时间的定常系统：易知，易知，易知，易知，和和和和 为其唯一的平衡状态。为其唯一的平衡状态。为其唯一的平衡状态。为其唯一的平衡状态。现取现取现取现取 为状态的一个二次型为状态的一个二次型为状态的一个二次型为状态的一个二次型即即即即 为正定。
40、为正定。为正定。为正定。第32页，共66页，编辑于2022年，星期一第四章第四章当当当当 时，时，时，时，此系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。此系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。此系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。此系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。为负定。为负定。为负定。为负定。注注注注 ：三维空间：三维空间：三维空间：三维空间 上，向量上，向量上，向量上，向量 ，它的长度，它的长度，它的长度，它的长度，就是一种范数。，就是一种范数。，就是一种范数。，就是一种范数。第33页，共66页，编辑于2022年，星期一第四章第四章结论结论结论结论 3 3 定常系统的大范围渐近稳定判别定
41、理定常系统的大范围渐近稳定判别定理定常系统的大范围渐近稳定判别定理定常系统的大范围渐近稳定判别定理 定常系统，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数定常系统，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数定常系统，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数定常系统，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数 ，并且对状态空间，并且对状态空间，并且对状态空间，并且对状态空间 中的一切非中的一切非中的一切非中的一切非零点零点零点零点 满足如下的条件：满足如下的条件：满足如下的条件：满足如下的条件：（1 1）为正定。为正定。为正定。为正定。（2 2）为负半定。为负半定。为负半定。为负半定。（4 4）当）当）当）当
42、时，有时，有时，有时，有 则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定。则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定。则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定。则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定。放宽条件后的结论放宽条件后的结论放宽条件后的结论放宽条件后的结论（3 3）对任意）对任意）对任意）对任意 第34页，共66页，编辑于2022年，星期一第四章第四章u u李亚普诺夫意义下的稳定的判别定理李亚普诺夫意义下的稳定的判别定理李亚普诺夫意义下的稳定的判别定理李亚普诺夫意义下的稳定的判别定理结论结论结论结论 1 1 时变系统稳定的判别定理时变系统稳定的判别定理时变系统稳定的判别定理时变系统稳定的判别定理 一个吸引区
43、一个吸引区一个吸引区一个吸引区 ，使对一切，使对一切，使对一切，使对一切 和一切和一切和一切和一切 ，满足，满足，满足，满足对于时变系统，如果存在一个对对于时变系统，如果存在一个对对于时变系统，如果存在一个对对于时变系统，如果存在一个对 和和和和 具有连续一阶偏具有连续一阶偏具有连续一阶偏具有连续一阶偏导数的标量函数导数的标量函数导数的标量函数导数的标量函数 和围绕原点的和围绕原点的和围绕原点的和围绕原点的（1 1）正定且有界；正定且有界；正定且有界；正定且有界；如下的条件：如下的条件：如下的条件：如下的条件：（2 2）为负半定且有界。为负半定且有界。为负半定且有界。为负半定且有界。则系统原点
44、平衡状态为则系统原点平衡状态为则系统原点平衡状态为则系统原点平衡状态为 内一致稳定。内一致稳定。内一致稳定。内一致稳定。第35页，共66页，编辑于2022年，星期一第四章第四章结论结论结论结论 2 2 定常系统稳定的判别定理定常系统稳定的判别定理定常系统稳定的判别定理定常系统稳定的判别定理 对一切对一切对一切对一切 和一切和一切和一切和一切 ，满足如下的条件：，满足如下的条件：，满足如下的条件：，满足如下的条件：对于定常系统，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数对于定常系统，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数对于定常系统，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数对于定常系统，如果存在一个具
45、有连续一阶导数的标量函数 ，和围绕原点的一个吸引区，和围绕原点的一个吸引区，和围绕原点的一个吸引区，和围绕原点的一个吸引区 ，使，使，使，使（1 1）为正定；为正定；为正定；为正定；（2 2）为负半定。为负半定。为负半定。为负半定。则系统原点平衡状态为则系统原点平衡状态为则系统原点平衡状态为则系统原点平衡状态为 内稳定。内稳定。内稳定。内稳定。第36页，共66页，编辑于2022年，星期一第四章第四章u u不稳定的判别定理不稳定的判别定理不稳定的判别定理不稳定的判别定理和一切和一切和一切和一切 ，满足如下的条件：，满足如下的条件：，满足如下的条件：，满足如下的条件：结论结论结论结论 ：对于时变系
46、统或定常系统，如果存在一个具有连续：对于时变系统或定常系统，如果存在一个具有连续：对于时变系统或定常系统，如果存在一个具有连续：对于时变系统或定常系统，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数一阶偏导数的标量函数一阶偏导数的标量函数一阶偏导数的标量函数 或或或或 ，和和和和判别定理只给出了充分条件，多次试取都得不到答案，可能判别定理只给出了充分条件，多次试取都得不到答案，可能判别定理只给出了充分条件，多次试取都得不到答案，可能判别定理只给出了充分条件，多次试取都得不到答案，可能为不稳定。为不稳定。为不稳定。为不稳定。和围绕原点的一个吸引区和围绕原点的一个吸引区和围绕原点的一个吸引区和围绕原点的
47、一个吸引区 ，使对一切，使对一切，使对一切，使对一切第37页，共66页，编辑于2022年，星期一第四章第四章（1 1）正定且有界或正定且有界或正定且有界或正定且有界或 为正定；为正定；为正定；为正定；（2 2）也为正定且有界或也为正定且有界或也为正定且有界或也为正定且有界或 也为正定。也为正定。也为正定。也为正定。则系统平衡状态为不稳定。则系统平衡状态为不稳定。则系统平衡状态为不稳定。则系统平衡状态为不稳定。和和和和 为同号时，系统的受扰运动轨线理为同号时，系统的受扰运动轨线理为同号时，系统的受扰运动轨线理为同号时，系统的受扰运动轨线理论上将发散到无穷大。论上将发散到无穷大。论上将发散到无穷大
48、。论上将发散到无穷大。第38页，共66页，编辑于2022年，星期一第四章第四章4.4 4.4 线性系统的状态运动稳定性的判据线性系统的状态运动稳定性的判据线性系统的状态运动稳定性的判据线性系统的状态运动稳定性的判据 线性系统，受扰运动即状态的零输入响应。线性系统，受扰运动即状态的零输入响应。线性系统，受扰运动即状态的零输入响应。线性系统，受扰运动即状态的零输入响应。定常、时变，给出常用判据。定常、时变，给出常用判据。定常、时变，给出常用判据。定常、时变，给出常用判据。u u线性定常系统的自由运动的稳定性判据线性定常系统的自由运动的稳定性判据线性定常系统的自由运动的稳定性判据线性定常系统的自由运
49、动的稳定性判据定性，由常量矩阵定性，由常量矩阵定性，由常量矩阵定性，由常量矩阵 A A 所决定。所决定。所决定。所决定。没有外输入作用存在时的线性定常自治系统：没有外输入作用存在时的线性定常自治系统：没有外输入作用存在时的线性定常自治系统：没有外输入作用存在时的线性定常自治系统：知知知知 为它的一个平衡状态。原点的平衡状态的稳为它的一个平衡状态。原点的平衡状态的稳为它的一个平衡状态。原点的平衡状态的稳为它的一个平衡状态。原点的平衡状态的稳第39页，共66页，编辑于2022年，星期一第四第四 章章对于线性定常系统有：对于线性定常系统有：对于线性定常系统有：对于线性定常系统有：结论结论结论结论 1
50、 1：特征值判据特征值判据特征值判据特征值判据 必要条件为必要条件为必要条件为必要条件为 ：A A 的所有特征值均具有非正（负或零）实部，的所有特征值均具有非正（负或零）实部，的所有特征值均具有非正（负或零）实部，的所有特征值均具有非正（负或零）实部，且具有零实部的特征值为且具有零实部的特征值为且具有零实部的特征值为且具有零实部的特征值为 A A 的最小多项式的单根。的最小多项式的单根。的最小多项式的单根。的最小多项式的单根。（1 1）系统的每一个平衡状态是在李亚普诺夫意义稳定的充分）系统的每一个平衡状态是在李亚普诺夫意义稳定的充分）系统的每一个平衡状态是在李亚普诺夫意义稳定的充分）系统的每一