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1、线性系统理论数学基础第1页，共73页，编辑于2022年，星期一 第一章 数学基础1.11.1线性空间与线性变换线性空间与线性变换1.1.11.1.1线性空间定义线性空间定义在集合上赋予一定的结构或一定的要求在集合上赋予一定的结构或一定的要求,这这个集合就称为一个特定的空间。个集合就称为一个特定的空间。定义定义1.1.11.1.1线性空间定义（线性空间定义（1111页）：页）：设设V V是一个非空集合是一个非空集合,P,P是一个数域是一个数域第2页，共73页，编辑于2022年，星期一第3页，共73页，编辑于2022年，星期一第4页，共73页，编辑于2022年，星期一则则 也是实数域也是实数域 R
2、 R上的线性空间。因此不难看出，实上的线性空间。因此不难看出，实数域上的线性空间的本质是指他们内部的运算具有线性性数域上的线性空间的本质是指他们内部的运算具有线性性。例例1.1.31.1.3 设设 是线性空间，是线性空间，则不难验证则不难验证 是是 的子空间。它也称为由的子空间。它也称为由 构成的子空间。构成的子空间。第5页，共73页，编辑于2022年，星期一例例1.1.41.1.4 设设 是线性空间是线性空间 是是 的子空间，也称的子空间，也称 是由是由 所生成的所生成的子空间子空间 例例1.1.51.1.5 设设 是线性空间，显然是线性空间，显然 ，那么，那么 是是 的子空间，称为零子空间
3、。的子空间，称为零子空间。中中 个元个元 或称为或称为 中中 的的 个向量，则个向量，则第6页，共73页，编辑于2022年，星期一1.1.2 线性空间的基和维数线性空间的基和维数第7页，共73页，编辑于2022年，星期一第8页，共73页，编辑于2022年，星期一第9页，共73页，编辑于2022年，星期一例例1.1.61.1.6 在欧氏空在欧氏空间间 中中选选取个无关向量取个无关向量它们便构成它们便构成 的一的一组组基。因此，基。因此，也称也称为为 维维欧氏欧氏空空间间。第10页，共73页，编辑于2022年，星期一1.1.3 线性变换线性变换第11页，共73页，编辑于2022年，星期一例例1.1
4、.71.1.7 记记 这里这里 表示表示 区间上一次可区间上一次可微函数的全体，微函数的全体，表示表示 区间区间上连续函数的全体。容易验证上连续函数的全体。容易验证 都是都是实数域实数域 上的线性空间。定义上的线性空间。定义也不难验证也不难验证 是是 到到 的线性变换，的线性变换，有时也称为线性算子或微分算子有时也称为线性算子或微分算子。第12页，共73页，编辑于2022年，星期一第13页，共73页，编辑于2022年，星期一例例1.1.81.1.8 令令则则 为为 上的线性变换，易知上的线性变换，易知是是 的核空间，即的核空间，即 第14页，共73页，编辑于2022年，星期一显显然然，若若向向
5、量量 构构成成 的的一一组组基基，则则由由上上述述基基的的定定义义可可知知，对对所所有有 ，均均可可以以惟惟一一表成表成我们称我们称 为关于基为关于基 的坐标。若向的坐标。若向量量 构成构成 的另一组基，则有的另一组基，则有 第15页，共73页，编辑于2022年，星期一而对任意而对任意 ，有，有由此可知由此可知 我我们们称称 为为基基 和和基基 之之间间的的坐坐标标变变换。容易验证，坐标变换也是换。容易验证，坐标变换也是 上的线性变换。上的线性变换。第16页，共73页，编辑于2022年，星期一1.2 矩阵代数中的几个结果矩阵代数中的几个结果1.2.1 矩阵必秩的条件矩阵必秩的条件定义定义1.2
6、.11.2.1 矩阵矩阵 列秩列秩:矩阵中列向量的最大线性无关组的个数；矩阵中列向量的最大线性无关组的个数；行秩行秩:矩阵中行向量的最大线性无关组的个数。矩阵中行向量的最大线性无关组的个数。矩阵的行秩与列秩相等。矩阵的行秩与列秩相等。矩阵矩阵A A的行秩和列秩称为矩阵的行秩和列秩称为矩阵A A的秩。的秩。第17页，共73页，编辑于2022年，星期一第18页，共73页，编辑于2022年，星期一1.2.2 Vendermonde Vendermonde矩阵与友矩阵矩阵与友矩阵 VendermondeVendermonde矩阵及基性质矩阵及基性质第19页，共73页，编辑于2022年，星期一第20页，
7、共73页，编辑于2022年，星期一友矩阵及其性质友矩阵及其性质第21页，共73页，编辑于2022年，星期一第22页，共73页，编辑于2022年，星期一第23页，共73页，编辑于2022年，星期一1.2.3 Cayley-Hamilton定理与化零多项式定理与化零多项式第24页，共73页，编辑于2022年，星期一第25页，共73页，编辑于2022年，星期一1.2.4 豫解矩阵与豫解矩阵与Leverrier算法算法第26页，共73页，编辑于2022年，星期一第27页，共73页，编辑于2022年，星期一第28页，共73页，编辑于2022年，星期一1.3 1.3 多项式矩阵多项式矩阵第29页，共73页
8、，编辑于2022年，星期一1.3.1 基本概念基本概念第30页，共73页，编辑于2022年，星期一第31页，共73页，编辑于2022年，星期一第32页，共73页，编辑于2022年，星期一1.3.2 1.3.2 初等变换初等变换多项式的初等行多项式的初等行(列列)变换变换,是指下列三种典型是指下列三种典型操作操作:矩阵的两行矩阵的两行(或两列或两列)互换位置互换位置;矩阵的某一行矩阵的某一行(或某一列或某一列)乘以非零的常数乘以非零的常数C;矩阵的某一行矩阵的某一行(或某一列或某一列)加上另一行加上另一行(或或列列)的的(s)倍倍,(s)为一个多项式。为一个多项式。第33页，共73页，编辑于20
9、22年，星期一第34页，共73页，编辑于2022年，星期一1.3.3 Smith1.3.3 Smith标准型标准型定义定义1.3.31.3.3 如果可以用一系列初选变换将多项如果可以用一系列初选变换将多项 式方阵式方阵A(s)A(s)化为多项式矩阵化为多项式矩阵B(s),B(s),则称多项式则称多项式A(s)A(s)和和B(s)B(s)互相等价。互相等价。等价是多项式矩阵之间的一种关系，有下等价是多项式矩阵之间的一种关系，有下述三个性质：述三个性质：反身性，每一个多项式矩阵均与自身等价；反身性，每一个多项式矩阵均与自身等价；对称性，对称性，A(s)A(s)等价等价B(s)B(s)，B(s)B(
10、s)等价等价A(s)A(s)；传递性，传递性，A(s)A(s)等价等价B(s)B(s)，B(s)B(s)等价等价C(s)C(s)，A(s)A(s)等价等价C(s)C(s)。第35页，共73页，编辑于2022年，星期一第36页，共73页，编辑于2022年，星期一第37页，共73页，编辑于2022年，星期一第38页，共73页，编辑于2022年，星期一1.41.4有理分式矩阵及其互质分解有理分式矩阵及其互质分解第39页，共73页，编辑于2022年，星期一第40页，共73页，编辑于2022年，星期一1.4.1 互质多项式矩阵互质多项式矩阵第41页，共73页，编辑于2022年，星期一第42页，共73页，
11、编辑于2022年，星期一第43页，共73页，编辑于2022年，星期一第44页，共73页，编辑于2022年，星期一第45页，共73页，编辑于2022年，星期一第46页，共73页，编辑于2022年，星期一第47页，共73页，编辑于2022年，星期一1.4.2 有理分式矩阵的互质分解有理分式矩阵的互质分解第48页，共73页，编辑于2022年，星期一第49页，共73页，编辑于2022年，星期一1.4.3 第50页，共73页，编辑于2022年，星期一第51页，共73页，编辑于2022年，星期一第52页，共73页，编辑于2022年，星期一1.5 Jordan1.5 Jordan分解分解第53页，共73页，
12、编辑于2022年，星期一1.5.1 特征值的几何重数与代数重数特征值的几何重数与代数重数第54页，共73页，编辑于2022年，星期一矩阵某特征值的几何重数矩阵某特征值的几何重数:矩阵的矩阵的JordanJordan标准型与该特征值标准型与该特征值相关联的相关联的JordanJordan块的个数块的个数.矩阵某特征值的代数重数矩阵某特征值的代数重数:矩阵的矩阵的JordanJordan标准型与该特征值相关标准型与该特征值相关所有的所有的JordanJordan块的阶数之和块的阶数之和.第55页，共73页，编辑于2022年，星期一第56页，共73页，编辑于2022年，星期一1.5.2 广义特征向量
13、链广义特征向量链第57页，共73页，编辑于2022年，星期一我们可对应地将特征向量矩阵V按列做如下分块第58页，共73页，编辑于2022年，星期一第59页，共73页，编辑于2022年，星期一第60页，共73页，编辑于2022年，星期一1.5.3 Jordan1.5.3 Jordan分解的求取分解的求取第61页，共73页，编辑于2022年，星期一第62页，共73页，编辑于2022年，星期一第63页，共73页，编辑于2022年，星期一第64页，共73页，编辑于2022年，星期一第65页，共73页，编辑于2022年，星期一第66页，共73页，编辑于2022年，星期一1.6 1.6 广义广义Sylve
14、sterSylvester矩阵矩阵第67页，共73页，编辑于2022年，星期一1.6.1 求解问题与假设条件求解问题与假设条件第68页，共73页，编辑于2022年，星期一第69页，共73页，编辑于2022年，星期一1.6.2 完全解析解之一完全解析解之一第70页，共73页，编辑于2022年，星期一1.6.3 完全解析解之二完全解析解之二第71页，共73页，编辑于2022年，星期一例例1.6.1 1.6.1 设设则由算法则由算法1.4.1 1.4.1 易得易得从而由定理从而由定理1.6.21.6.2易得，以该组矩阵构成的广义易得，以该组矩阵构成的广义sylvestersylvester矩阵方程的完全解析通解为矩阵方程的完全解析通解为第72页，共73页，编辑于2022年，星期一如果特别取如果特别取可得该方程的一组特解为可得该方程的一组特解为第73页，共73页，编辑于2022年，星期一