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1、2.1 随机变量随机变量第 2 章 概率论基础与结构可靠度基本理论第1页/共70页l 描述随机事件的变量描述随机事件的变量,随机事件如随机事件如:抛硬币抛硬币,材料强度等材料强度等;l 随机变量分随机变量分离散随机变量离散随机变量和和连续随机变量。连续随机变量。1.1.概率函数概率函数离散随机变量离散随机变量对随机变量进行描述的函数有对随机变量进行描述的函数有:概率函数概率函数,概率分布函数和概率密度函数。概率分布函数和概率密度函数。离散随机变量离散随机变量 取一个特定值取一个特定值 （实数）的概率。（实数）的概率。2.1 随机变量第2页/共70页2.2.概率分布函数概率分布函数离散随机变量和
2、连续随机变量离散随机变量和连续随机变量随机变量随机变量 小于特定值小于特定值 （实数）的概率，即（实数）的概率，即 小于小于 的概率函数的和。的概率函数的和。3.3.概率密度函数概率密度函数连续随机变量连续随机变量2.1 2.1 随机变量随机变量第3页/共70页1.1.均值（期望均值（期望)均值、方差（均方差），矩，变异系数等均值、方差（均方差），矩，变异系数等2.2.方差方差,3.3.矩矩原点矩：原点矩：2.1 2.1 随机变量随机变量第4页/共70页中心矩：中心矩：4 4 二阶原点矩和二阶中心矩的关系二阶原点矩和二阶中心矩的关系5 5 均方差均方差(标准差标准差)6 6 变异系数变异系数2
3、.1 2.1 随机变量随机变量第5页/共70页1.1.均匀随机变量均匀随机变量2.1 2.1 随机变量随机变量主要用于随机抽样主要用于随机抽样第6页/共70页2.2.正态随机变量正态随机变量PDF:PDF:CDF:CDF:一般正态随机变量：2.1 2.1 随机变量随机变量主要用于描述恒荷载主要用于描述恒荷载第7页/共70页标准正态随机变量标准正态随机变量PDF:CDF:由标准正态随机变量可以得到任意正态随机由标准正态随机变量可以得到任意正态随机变量变量，2.1 2.1 随机变量随机变量第8页/共70页3 3 对数正态随机变量对数正态随机变量如果如果 是正态随机变量是正态随机变量,则则 是对是对
4、数正态随机变量数正态随机变量,2.1 2.1 随机变量随机变量主要用于描述抗力主要用于描述抗力 第9页/共70页4 4 极值极值随机变量随机变量极值极值型随机变量用来描述极端事件。如：型随机变量用来描述极端事件。如：为一年的风速序为一年的风速序列，则列，则 就可以用极值就可以用极值型随机变量了描述。型随机变量了描述。CDF:PDF:仍是极值仍是极值随机变量。随机变量。，2.1 2.1 随机变量随机变量主要用于描述活荷载主要用于描述活荷载第10页/共70页5 5 泊松随机变量泊松随机变量设设 为时间为时间0t内事件发生的次数，内事件发生的次数，为事件的平均发生率，则时间为事件的平均发生率，则时间
5、0t内事件发内事件发生生 的概率为的概率为平均事件间隔（平均重现期）：平均事件间隔（平均重现期）：泊松随机变量描述地震、台风的发生。泊松随机变量描述地震、台风的发生。2.1 2.1 随机变量随机变量泊松随机变量常用来描述某个时间段内随机事件的发生次数。泊松随机变量常用来描述某个时间段内随机事件的发生次数。假设假设：1）各个事件的发生是相互独立的；）各个事件的发生是相互独立的；2）不能同时发生两次或两次以上的事）不能同时发生两次或两次以上的事件。件。第11页/共70页第第 2 章章 概率论基础与结构可靠度基本理概率论基础与结构可靠度基本理论论2.2 随机向量随机向量第12页/共70页随机向量是一
6、组随机变量的集合随机向量是一组随机变量的集合2.2.随机向量的描述函数随机向量的描述函数1.1.随机向量的定义随机向量的定义l联合概率分布函数联合概率分布函数l联合概率函数联合概率函数l联合概率密度函数联合概率密度函数2.2 随机向量第13页/共70页3.3.随机变量的相关性随机变量的相关性和和 的协方差函数的协方差函数表达变量之间的线性相关程度表达变量之间的线性相关程度；表示完全线性相关表示完全线性相关。l边缘概率密度函数边缘概率密度函数l协方差函数协方差函数l线性相关系数线性相关系数2.2 2.2 随机向量随机向量第14页/共70页l协方差矩阵协方差矩阵l相关系数矩阵相关系数矩阵2.2 2
7、.2 随机向量随机向量第15页/共70页 C和和 均为对称矩阵均为对称矩阵;如果变量间为两两不相关如果变量间为两两不相关,则则l协方差矩阵和相关系数矩阵的特点协方差矩阵和相关系数矩阵的特点2.2 2.2 随机向量随机向量第16页/共70页1.1.随机变量的线性函数随机变量的线性函数 令Y为随机变量 的线性函数:式中 是常系数。随机变量函数的均值和方差2.2 2.2 随机向量随机向量第17页/共70页如果随机变量相互独立时当 2.2 2.2 随机向量随机向量第18页/共70页2.2.随机变量的非线性函数随机变量的非线性函数 令Y为随机变量 的非线性函数:随机变量函数的均值和方差2.2 2.2 随
8、机向量随机向量 对函数Y在均值点 泰勒级数展开，保留线性项：第19页/共70页如果随机变量相互独立时当 2.2 2.2 随机向量随机向量第20页/共70页1.1.中心极限定理的内容中心极限定理的内容 如果一个随机变量的随机性是由大量的相互独立的随机因素的影响，并且每一个因素都是微小的，则随机变量服从或近似服从正态分布。2.2 2.2 随机向量随机向量2.2.中心极限定理的数学描述中心极限定理的数学描述3.3.中心极限定理的应用中心极限定理的应用 用于确定抗力随机变量的概率分布。令Y是n个相互独立随机变量序列 的和，单个随机变量都不主要影响其和的大小，则当n趋向于无限大时随机变量Y 服从或近似服
9、从正态分布，也即是：第21页/共70页2.3 结构可靠度的定义结构可靠度的定义第 2 章 概率论基础与结构可靠度基本理论第22页/共70页2.3 结构可靠度的定义 结构在规定的时间，在规定的条件，完成预定功能的能力。结构的可靠性，包括结构的安全性、适用性和耐久性。1.规定时间设计使用年限设计使用年限-设计规定的结构或结构构件不需进行大修即可按其预期目的使用的时期。设计规定的结构或结构构件不需进行大修即可按其预期目的使用的时期。-即房屋结构在正常设计、正常施工、正常使用和正常即房屋结构在正常设计、正常施工、正常使用和正常 维护下所应达到的使用年限，如达不到这个年限则意维护下所应达到的使用年限，如
10、达不到这个年限则意 味着在设计、施工、使用与维修的某一环节上出现了味着在设计、施工、使用与维修的某一环节上出现了 非正常情况，应查找原因。非正常情况，应查找原因。第23页/共70页2.3 结构可靠度的定义 GB50068GB5006820012001规定：结构设计使用年限分类规定：结构设计使用年限分类类别类别设计使用年限（年）设计使用年限（年）示示 例例1 15 5临时性结构临时性结构2 22525易于替换的结构构件易于替换的结构构件3 35050普通房屋和构筑物普通房屋和构筑物4 4100100纪念性建筑和特别重要的建筑结构纪念性建筑和特别重要的建筑结构 设计基准期设计基准期问题：设计基准期
11、是否等于设计使用期？问题：设计基准期是否等于设计使用期？-确定结构荷载大小规定的一个时间标准。确定结构荷载大小规定的一个时间标准。-建筑结构的设计基准期一般为建筑结构的设计基准期一般为30、50年年第24页/共70页2.3 结构可靠度的定义2.规定条件正常设计正常施工正常使用不考虑人为错误3.预定功能极限承载能力要求结构适用性要求l在正常使用时具有良好的工作性能；在正常使用时具有良好的工作性能；结构整体承载能力要求l遭受及其偶然的作用时，能保持必要的整体稳定性偶然作用如地震、龙卷风、遭受及其偶然的作用时，能保持必要的整体稳定性偶然作用如地震、龙卷风、爆炸（煤气或恐怖袭击）、火灾等爆炸（煤气或恐
12、怖袭击）、火灾等结构的耐久性要求l在正常维护下具有足够的耐久性。在正常维护下具有足够的耐久性。l能承受正常施工和使用期间可能出现的各种作用。能承受正常施工和使用期间可能出现的各种作用。第25页/共70页2.3 结构可靠度的定义“极限状态”分类 “极限状态”定义 结构的极限状态 结构失效的临界状态 整个结构或结构的一部分超过某一特定状态(达到极限承载力；失稳；变达到极限承载力；失稳；变形、裂缝宽度超过某一规定限制等形、裂缝宽度超过某一规定限制等)就不能满足设计规定的某一功能要求，此特定状态称为该功能的极限状态。(1)承载能力极限状态(2)正常使用极限状态第26页/共70页2.3 结构可靠度的基本
13、理论1.结构承载力极限状态的定义2.3.3 结构的承载力极限状态结构的承载力极限状态结构或结构构件达到最大承载力或不适于继续承载的变形结构或结构构件达到最大承载力或不适于继续承载的变形。承载能力极限状态标志承载能力极限状态标志（1 1）整个结构或结构的一部分作为刚体失去平衡）整个结构或结构的一部分作为刚体失去平衡（2 2）结构构件或连接因超过材料强度而破坏）结构构件或连接因超过材料强度而破坏(包括疲劳坏包括疲劳坏)，或因过度变形而不适于继续承载或因过度变形而不适于继续承载（3 3）结构转变为机动机构）结构转变为机动机构（5）地基丧失承载力而破坏地基丧失承载力而破坏（4 4）结构或结构构件丧失稳
14、定性）结构或结构构件丧失稳定性第27页/共70页2.3 结构可靠度的定义（1）影响正常使用或外观的变形2.2.正常使用极限状态 结构或结构构件达到正常使用或耐久性的某项规定限值。正常使用极限状态标志（2）影响正常使用或耐久性的局部破坏(包括裂缝)（3）影响正常使用的振动（4）影响正常使用的其它特定状态（例：渗漏、腐蚀、冻害等)保证结构或构件的适用性、耐久性。第28页/共70页2.3 结构可靠度的定义安全状态极限状态失效状态2.3.4 极限状态方程（功能函数）极限状态方程（功能函数）基本变量基本变量:作用效应作用效应S、结构抗力结构抗力R-随机变量随机变量 结构的功能函数结构的功能函数 结构的极
15、限状态方程结构的极限状态方程 SRZ=R-S=0Z0可靠区 Z0 失效区01.多变量情况第29页/共70页极限状态方程与极限状态相对应极限状态方程与极限状态相对应对于某一极限状态，可以有不同的极限状态方程对于某一极限状态，可以有不同的极限状态方程不同的极限状态对应不同的极限方程不同的极限状态对应不同的极限方程Z 为安全余量为安全余量 极限状态方程的特点2.3 结构可靠度的定义第30页/共70页2.多变量情况一般情况下，结构的随机变量：重力荷载、楼面活荷载、风荷载；材料强一般情况下，结构的随机变量：重力荷载、楼面活荷载、风荷载；材料强度、截面尺寸等。度、截面尺寸等。功能函数功能函数:这些变量构成
16、一个向量这些变量构成一个向量极限状态方程极限状态方程:安全状态极限状态失效状态2.3 结构可靠度的定义第31页/共70页2.3 结构可靠度的定义 结构可靠度1.结构的可靠度定义功能函数：功能函数：是与结构可靠度计算有关的随机变量是与结构可靠度计算有关的随机变量 Z 是随机变量，假定其概率密度函数为是随机变量，假定其概率密度函数为则结构的安全概率为则结构的安全概率为 结构在规定的时间，在规定的条件，完成预定功能的概结构在规定的时间，在规定的条件，完成预定功能的概率率结构的可靠度。结构的可靠度。则结构的失效概率为则结构的失效概率为第32页/共70页2.3 结构可靠度的定义结构可靠指标的定义：3.结
17、构可靠指标2.安全概率 和失效概率 的关系:式中 为正态分布函数的反函数。第33页/共70页第第 2 章章 概率论基础与结构可靠度基本理概率论基础与结构可靠度基本理论论2.4 结构的失效概率结构的失效概率第34页/共70页2.4 结构的失效概率 两变量的失效概率1.基本假定2.概率积分方法(1)S 表示构件总的荷载效应，其PDF和CDF：,(2)R 表示构件的抗力，其PDF和CDF：,(3)R 和 S 是统计独立的，则有：失效域:失效域安全域 极限状态方程 功能函数第35页/共70页2.4 结构的失效概率失效概率结构的失效概率与随机变量R和S的概率密度干涉面积密切相关，因此这种积分法又叫概率干
18、涉法概率干涉法。干涉面积第36页/共70页2.4 结构的失效概率首先对 s 积分,在对 r 积分 首先对 r 积分,在对 s 积分第37页/共70页2.4 结构的失效概率3.概率干涉法物理意义考虑荷载效应在微小空间 的出现概率构件抗力r比荷载效应s小的概率:由于 R 和 S 是统计独立的，则上述两个事件同时同时出现概率概率干涉法的物理意义：荷载效应出现事概率干涉法的物理意义：荷载效应出现事件与构件抗力比荷载效应小事件的件与构件抗力比荷载效应小事件的积。积。第38页/共70页2.4 结构的失效概率注意注意失效概率与干涉面积有如下关系:失效概率与干涉面积密切相关，干涉面积越大失效概率越大，反之则失
19、效概率越小。第39页/共70页2.4 结构的失效概率假定荷载效应S()和抗力R()都服从正态分布功能函数Z()服从正态分布失效概率 为:令 ,则有 第40页/共70页2.4 结构的失效概率 第41页/共70页2.4 结构的失效概率例 2.1结构构件截面强度的功能函数为其中 R 表示结构构件的屈服极限，S 表示结构构件截面的应力，它们之间相互独立。R 服从正态分布，分布参数：S 服从指数分布，分布参数：计算构件截面的失效概率。第42页/共70页2.4 结构的失效概率 计算过程:令,则第43页/共70页2.4 结构的失效概率 带入 ,的数值，则可计算得到结构构件截面的失效概率为:直接积分法计算过程
20、非困难，直接积分法计算过程非困难，在实际应用中难度非常大。在实际应用中难度非常大。第44页/共70页2.4 结构的失效概率多变量情况失效概率1.功能函数为n维随机向量假定随机向量假定随机向量 的联合概率密度函数为的联合概率密度函数为2.计算公式为结构的失效域为结构的失效域第45页/共70页2.4 结构的失效概率3.计算方法概率干涉法精确的解析法:近似的解析法一次二阶矩法高次高阶矩法蒙特卡罗 法(MCS)超拉丁抽样方法重要抽样方法数值积分方法解析法随机模拟法均值一次二阶矩法JC法二次二阶矩法二次四阶矩法第46页/共70页2.5 结构可靠指标第第 2 章章 概率论基础与结构可靠度基本理概率论基础与
21、结构可靠度基本理论论第47页/共70页2.5 结构可靠指标R 和S 为独立正态分布1.功能函数2.计算公式 由于 R 和S 是正态随机变量，所以Z 也是正态随机变量，则有是独立的正态随机变量第48页/共70页2.5 结构可靠指标失效概率 为:令 ,则有第49页/共70页2.5 结构可靠指标令 ,则有 。为结构可靠指标.可靠指标越大，结构的失效概率越小，结构的保证率越大，也即结构的可靠性越高第50页/共70页2.5 结构可靠指标3.4010-64.51.3510-33.06.6810-21.53.1710-54.06.2110-32.51.5910-11.02.8710-75.02.3310-4
22、3.52.2810-22.0可靠指标 与失效概率 之间的关系 10-1 1.2810-2 2.3310-3 3.0910-4 3.7110-5 4.2610-6 4.7510-7 5.1910-8 5.6210-9 5.99第51页/共70页2.5 结构可靠指标R和 S 为独立对数正态分布2.可靠指标的计算过程1.功能函数其中 是相互独立的对数正态分布随机变量第52页/共70页2.5 结构可靠指标第53页/共70页2.5 结构可靠指标例 2.2 解:计算该构件的可靠指标和失效概率。假定结构构件的功能函数为 ，其中S 和R 是相互独立的正态随机变量，它们的概率特征参数如下：第54页/共70页2.
23、5 结构可靠指标 解:例 2.3计算该构件的可靠指标和实效概率。假定结构构件的功能函数为 ，其中S 和R 是相互独立的对数正态随机变量，它们的概率特征参数如下：第55页/共70页2.5 结构可靠指标利用近似计算公式两种方法的计算误差:第56页/共70页2.5 可靠指标的几何意义 可靠指标的几何意义1.功能函数标准化随机变量 R 和 S，也即是假定 是独立的正态随机变量，即第57页/共70页2.5 可靠指标的几何意义失效域安全域第58页/共70页2.5 可靠指标的几何意义 可靠指标是指在标准化空间中，坐标原点到极限状态方程表示的直线的最短距离。第59页/共70页2.5 可靠指标的几何意义失效域安
24、全域设计验算点 定义：在标准化空间中，坐标原点到极限状态方程表示直线的垂足。第60页/共70页2.5 可靠指标的几何意义第61页/共70页2.6 可靠指标与安全系数的关系 第第 2 章章 结构可靠度的基本理论结构可靠度的基本理论第62页/共70页2.6 可靠指标与安全系数的关系安全系数 根据传统的结构设计原则，结构的安全系数定义为抗力均值与荷载效应均值的比值，也即是：传统的设计表达式为传统设计原则的不足K 通过工程经验确定K 仅仅与荷载和抗力的均值有关，无法反应结构失效事件的概率，也即是没有概率意义。第63页/共70页2.6 可靠指标与安全系数的关系 但是结构的失效概率 不仅与R 和 S 的均值有关，而且与其方差紧密联系。安全系数 K 反应的信息太少，描述事件不够精确。可靠指标 反应的信息多，描述事件更精确。第64页/共70页均值 变异系数 2.6.2 K 和 之间的关系1.功能函数2.K 和 之间的关系假定 是独立的正态随机变量，即第65页/共70页第二章结束第66页/共70页2.5 可靠指标的几何意义 可靠指标的几何意义1.功能函数假定 是独立的正态随机变量，即失效概率 为:令 ,则有第67页/共70页2.5 可靠指标的几何意义标准化随机变量 R 和 S，也即是第68页/共70页2.5 可靠指标的几何意义第69页/共70页感谢您的观看。第70页/共70页