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1、选修选修1-21-2统计案例统计案例5.引入线性回归模型引入线性回归模型ybxae6.了解模型中随机误差项了解模型中随机误差项e产生的原因产生的原因7.了解相关指数了解相关指数 R2 和模型拟合的效果之间的和模型拟合的效果之间的关系关系8.了解残差图的作用了解残差图的作用9.利用线性回归模型解决一类非线性回归问题利用线性回归模型解决一类非线性回归问题10.正确理解分析方法与结果正确理解分析方法与结果 比比必修必修3中中“回归回归”增加的内容增加的内容数学数学统计统计1.画散点图画散点图2.了解最小二乘法的思想了解最小二乘法的思想3.求回归直线方程求回归直线方程ybxa4.用回归直线方程解决应用
2、问用回归直线方程解决应用问题题第1页/共39页.两个变量间的相关关系 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系（正相关、负相关）相关关系与函数关系的异同点：相关关系相关关系函数函数相同点相同点不同点不同点对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析 均是指两个变量的关系 非确定关系 确定的关系一、复习回顾：第2页/共39页复习回顾.研究两个变量间的相关关系的方法和步骤（）、画散点图，并判断二者之间是否有线性关系；（）、预报和决策。（）、建立并求出回归直线方程；其中第3页/共39页 3.求线性回归方程的步骤:复习回顾(1)计算平均数(2)计算 与 的积
3、,求(3)计算(4)将上述有关结果代入公式，求b、a，写出回归直线方程 第4页/共39页例1 从某大学中随机选取名女大学生，其身高和体重数据如表所示：编号编号1 12 23 34 45 56 67 78 8身高身高/cm/cm165165 165165 157157 170170 175175 165165 155155 170170体重体重/kg/kg48485757505054546464616143435959求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。第5页/共39页（）、画散点图，并判断二者之间是否有线性关系；（）、建立并求出回归直线方程；（）
4、、预报和决策。第6页/共39页练习:假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用 y（万元），有如下的统计资料。使用年限使用年限x 23456维修费用维修费用y 2.23.85.56.57.0若由资料知,y对x呈线性相关关系。试求：（1）线性回归方程 ；（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？第7页/共39页解：（1）由已知数据制成表格。12345合计合计23456202.23.85.56.57.0254.411.422.032.542.0112.34916253690所以有（2）当x=10时，第8页/共39页4、思考：、身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？、为什么
5、根据得到的一次函数求出的结论不一定是实际值？产生误差的原因是什么？第9页/共39页二、新课：、从散点图中可以看出，样本点散布在某一条直线的附近，而不是一条直线，所以不能用一次函数y=bx+a来描述它们之间的关系。这时我们可以用下列回归模型y=bx+a+e来表示。我们把自变量x称作解释变量，因变量y称作预报变量，e称作随机误差第10页/共39页、函数模型y=bx+a与线性回归模型y=bx+a+e的关系：(1)、线性回归模型y=bx+a与我们熟悉的一次函数模型的不同之处是增加了随机误差e，因为变量y的值由自变量x和随机误差e共同确定。即自变量x只解释部分y的变化。(2)、当线性回归模型：y=bx+
6、a+e理想化时，即所在的遗传因素一样、所有的生活方式一样、所有的测量都没有误差，此时e=0，线性回归模型就变成了函数模型。因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式。第11页/共39页、在实际应用中，我们用回归方程中的 来估计线性回归模型 中的 ，由于 ，所以也是一个估计值。对于样本点而言，它们的随机误差分别为：其估计值为：称估计值 为相应点 的残差第12页/共39页、当我们求出回归直线方程后，可以通过残差来判断模型拟合程度的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。从两个方面说明：(1)、残差图（以例为例）对照女大学生的身高和体
7、重的原始数据，结合求出的回归直线方程，求出相应的残差数据编号编号 身高身高165165165165157157170170175175165165155155170170体重体重48485757505054546464616143435959残差残差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382第13页/共39页根据表格中的数据，以样本编号为横坐标，残差值为纵坐标，做出散点图（这样的散点图称作残差图）、若残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用模型较好，且带状区的宽度越窄，说明拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。、若个别点的残差较大，要考虑采集样
8、本的过程中是否有人为错误。第14页/共39页(2)、相关指数R2越大，模型的拟合效果越好第15页/共39页、建立回归模型的基本步骤：(1)、确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；(2)、画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系）；(3)、确定回归模型，按一定的规则求出回归方程；(4)、得出结果后进行残差分析。第16页/共39页例 一个车间为了规定工时定额，需确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据列于表中：编号编号10零件数零件数x/个个102030405060708090100加工时间加工时间y/分分62687581
9、8995102108115122(1)、建立零件为解释变量，加工时间为预报变量的回归模型，并计算残差。(2)、你认为这个模型能较好地刻化画零件数和加工时间的关系吗？第17页/共39页（）、画散点图；建立并求出回归直线方程；可知变量之间具有线性关系第18页/共39页编号编号10残差残差0.39-0.290.03-0.650.67-0.01 0.31-0.37-0.050.27残差数据如下表：（）、画残差图；由图可知，残差点分布较均匀，即用上述回归模型拟合数据效果很好，但需请注意，第4、第5个样本点残差较大，需确认采集样本时是否有人为错误。第19页/共39页例 在一段时间内，某种商品的价格x(元)
10、和需求量y(件)之间的一组数据为：价格价格x/个个1416182022需求量需求量y/分分5650434137求出y对x的回归方程，并说明拟合效果。第20页/共39页（）、画散点图；可知变量之间具有线性关系建立并求出回归直线方程；第21页/共39页对于y对x的回归直线方程；列表：1.2-0.1-2.40.3110.64.6-2.4-4.4-8.4所以：相关指数：因为0.964很接近1，所以该模型的拟合效果很好。第22页/共39页练习:关于x和y，有如下的统计资料。x 24568y 3040605070对于x、y两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：甲：乙：试比较哪一个模型拟合效果更好？第
11、23页/共39页、利用残差图和相关指数都能够评价回归模型的拟合效果，它们各有自己的特点：(1)、利用残差图可以直观展示拟合效果，而且还可以发现样本数据中的可疑数据。说明：(2)、相关指数是指把对拟合的评价转化为数值大小的判断，易于量化处理并且能在数量上表现解释变量对于预报变量变化的贡献率。第24页/共39页2、在使用回归方程进行预报时要注意：(1)、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；说明：(4)、不能期望回归方程得到的预报值就是预报的精确值。(2)、我们建立的回归方程一般具有时间性；(3)、样本取值的范围会影响回归方程的适用范围；第25页/共39页案例 一只红铃虫的产卵数y和温度x有关。
12、现收集了7组观测数据列于表中：（1）试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；并预测温度为28oC时产卵数目。（2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？温度xoC21232527293235产卵数y/个711212466115325非线性回归问题第26页/共39页假设线性回归方程为：=bx+a选 模 型由计算器得：线性回归方程为y=19.87x-463.73 相关指数R2=r20.8642=0.7464估计参数 解：选取气温为解释变量x，产卵数 为预报变量y。选变量所以，二次函数模型中温度解释了74.64%的产卵数变化。探索新知画散点图05010015020025030035003
13、6912151821242730333639方案1分析和预测当x=28时，y=19.8728-463.73 93一元线性模型第27页/共39页奇怪？结合数据可以看出，随着自变量的增加，因变量也随之增加，气温为28是估计产卵数应该低于66，但是从推算的结果来看93比66多了27个，是什么原因造成的?模型不好？第28页/共39页编号编号残差残差53.4617.72-12.02-48.78-46.5-57.1193.28残差数据如下表：画残差图；第29页/共39页 y=bx2+a 变换 y=bt+a非线性关系 线性关系方案2问题选用y=bx2+a，还是y=bx2+cx+a？问题3 产卵数气温问题2如
14、何求a、b？合作探究 t=x2二次函数模型第30页/共39页方案2解答平方变换：令t=x2，产卵数y和温度x之间二次函数模型y=bx2+a就转化为产卵数y和温度的平方t之间线性回归模型y=bt+a温度21232527293235温度的平方t44152962572984110241225产卵数y/个711212466115325作散点图，并由计算器得：y和t之间的线性回归方程为y=0.367t-202.543，相关指数R2=0.802将t=x2代入线性回归方程得：y=0.367x2-202.543当x=28时，y=0.367282-202.5485，且R2=0.802，所以，二次函数模型中温度解
15、释了80.2%的产卵数变化。t第31页/共39页问题 变换 y=bx+a非线性关系 线性关系问题如何选取指数函数的底?产卵数气温指数函数模型方案3合作探究对数第32页/共39页方案3解答温度xoC21232527293235z=lny1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784产卵数y/个711212466115325xz当x=28oC 时，y 44，指数回归模型中温度解释了98.5%的产卵数的变化由计算器得：z关于x的线性回归方程为 对数变换：在 中两边取常用对数得令 ，则 就转换为z=bx+a.相关指数R2=0.98第33页/共39页最好的模型是哪个?产卵数气温产
16、卵数气温线性模型二次函数模型指数函数模型第34页/共39页比一比函数模型函数模型相关指数相关指数R2线性回归模型线性回归模型0.7464二次函数模型二次函数模型0.80指数函数模型指数函数模型0.98最好的模型是哪个?第35页/共39页练习：为了研究某种细菌随时间x变化，繁殖的个数，收集数据如下：天数x/天 1 2 34 56繁殖个数y/个 6 12 25 49 95190（1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些 数据的散点图；（2）描述解释变量与预报变量 之间的关系；（3）计算残差、相关指数R2.天数繁殖个数解：（1）散点图如右所示第36页/共39页x123456Z1.792.483.223.894.555.25由计数器算得 则有6.0612.0924.0948.0495.77190.9y612254995190（3）即解释变量天数对预报变量繁殖细菌得个数解释了99.99%.（2）由散点图看出样本点分布在一条指数函数y=的周围，于是令Z=lny,则第37页/共39页第38页/共39页谢谢您的观看！第39页/共39页