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1、数学建模讲座第一讲第一讲 什么是数学模型什么是数学模型玩具、照片 实物模型实物模型风洞中的飞机 物理模型物理模型地图、电路图 符号模型符号模型模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。模型模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。我们常见的模型什么是数学模型什么是数学模型建立数学模型建立数学模型你碰到过的数学模型你碰到过的数学模型“航行问题航行问题”用x表示船速，y表示水速，列出方程：求解得到 x=20,y=5,答：船速每小时答：船速每小时2020公里公里航行问题建立数学模型的基本步骤航行问题建立数学模型的基本步骤 作出简化假设（船速、水速为常数）；用
2、符号表示有关量（x,y表示船速和水速）；用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；求解得到数学解答（x=20,y=5）；回答原问题（船速每小时20公里）。数学模型(Mathematical Model)和数学建模（Mathematical Modeling)数学模型数学模型:对于一个现实对象对象，为了一个特定目的目的，根据其内在规律规律，作出必要的简化假设假设，运用适当的数学工具数学工具，得到的一个数学结构数学结构。数学建模：数学建模：建立数学模型的全过程全过程（包括建立、求解、分析、检验）。数数 学学 建建 模模 的的 重重 要要 意意 义义 电子计算机的出
3、现及飞速发展 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。数学建模计算机技术如虎添翼如虎添翼知识经济建模示例 椅子能在不平的地面上放稳？问题椅子能在不平的地面上放稳吗？1.椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四脚的连线呈正方形；2.地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面；3.对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子的任何位置至少有三只脚同时着地。模型假设ABCDtABCDOx模型构成椅脚连线为正方形ABCD(如右图)。t 椅子绕中心点O旋转角度f(
4、t)A,C两脚与地面距离之和g(t)B,D两脚与地面距离之和 f(t),g(t)0模型构成由假设1，f和g都是连续函数由假设3，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地：对任意t，f(t)和g(t)中至少有一个为0。当t=0时,不妨设g(t)=0,f(t)0,原题归结为证明如下的数学命题：已知f(t)和g(t)是t的连续函数,对任意t,f(t)g(t)=0,且g(0)=0,f(0)0。则存在t0，使f(t0)=g(t0)=0模型求解OxABCDABCDt最后，因为f(t)g(t)=0，所以f(t0)=g(t0)=0。令h(t)=f(t)-g(t),则h(0)0和h()0，由f和g的连续性知h也是连续
5、函数。根据连续函数的基本性质,必存在t0（0t00可知g()0,f()=0建模示例建模示例 商人们怎样安全过河商人们怎样安全过河问题(智力游戏)3名商人 3名随从河小船(至多2人)随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货.但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?问题分析多步决策过程决策决策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员要求要求在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河模型构成xk第k次渡河前此岸的商人数yk第k次渡河前此岸的随从数xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,sk=(xk,yk)过程的状态S=(x,y)x=0,y=
6、0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2S 允许状态集合uk第k次渡船上的商人数vk第k次渡船上的随从数dk=(uk,vk)决策D=(u,v)u+v=1,2 允许决策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk dk+(-1)k状态转移律求求dk D(k=1,2,n),使使sk S按按转移律转移律由由s1=(3,3)到达到达sn+1=(0,0).多步决策问题模型求解xy3322110 穷举法 编程上机图图解解法法状态s=(x,y)16个格点 10个 点允许决策D 移动1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,d11给出安全渡河方案评注和思考表格化方法表
7、格化方法,易于推广易于推广考虑考虑4名商人各带一随从的情况名商人各带一随从的情况d1d11允许状态SS=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2D=(u,v)u+v=1,2 背景 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口(亿)5 10 20 30 40 50 60世界人口增长概况中国人口增长概况 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995人口(亿)3 4.7 6 7 10.1 11.3 12研究人口变化规律研究人口变化规律控制人口过快增长控制人口过快增长建模示例建模示例 如何预报人口的增长
8、如何预报人口的增长指数增长模型常用的计算公式马尔萨斯（1766-1834）提出的指数增长模型(1798)x(t)时刻t人口r 人口(相对)增长率(常数)今年人口 x0,年增长率 rk年后人口随着时间增加人口按指数规律无限增长随着时间增加人口按指数规律无限增长指数增长模型的应用及局限性 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程19世纪后人口数据人口增长率r不是常数(逐渐下降)阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等
9、因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大假定：r固有增长率(x很小时)xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是x的减函数阻滞增长模型(Logistic模型)dx/dtx0 xmxm/2xmtx0 x(t)S形曲线,x增加先快后慢x0 xm/2模型的参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数 r 或 r,xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位百万）1790 1800 1810 1820 1830 1950 1960 1970 1980 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 150.7 179.3 204.0 226.5r=0.2
10、072,xm=464 专家估计模 型 检 验用模型预报1990年美国人口，与实际数据比较实际为251.4(百万)模 型 应 用人 口 预 报用美国17901990年人口数据重新估计参数r=0.2083,xm=457.6x(2000)=275.0 x(2010)=297.9Logistic模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)基本方法机理分析机理分析测试分析测试分析根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律将研究对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究(Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析二者结合二者结合机理分析建立模型结构,测试分析确定模型参数 数学建模的方法和步骤数学建模的方法和步骤数数 学学 建建 模模 的的 一一 般般 步步 骤骤模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检验模型应用 怎怎 样样 学学 习习 数数 学学 建建 模模数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则想象力洞察力判断力 学习、分析、评价、改进别人作过的模型学习、分析、评价、改进别人作过的模型 亲自动手，认真作几个实际题目亲自动手，认真作几个实际题目创新意识