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1、弹性力学第三章 应变你现在浏览的是第一页，共66页第三章 应变3-1 变形与应变概念 3-2 变形连续条件3-3 应变增量和应变速率张量 3-4 应力应变分析的相似性与差异性你现在浏览的是第二页，共66页 弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的变形状态，一般有两种方式来描述：1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点的位移并不是定值，而是坐标的函数。3-1 变形与应变概念 你现在浏览的是第三页，共66页 由于外部因素作
2、用（荷载或温度改变等）引起物体内部各质点位置的改变称位移位移。物体内任意一点的位移，用它在x、y、z三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴正方向的为正。u(x、y、z)=rx Rx v(x、y、z)=ry Ry w(x、y、z)=rz Rz3-1 变形与应变概念 你现在浏览的是第四页，共66页位移位移变形位移变形位移刚体位移刚体位移刚体平移刚体平移刚体转动刚体转动线变形线变形角变形角变形*物体内各点之间不产生相对位移物体内各点之间不产生相对位移*物体内各点之间产生相对位移物体内各点之间产生相对位移3-1 变形与应变概念 你现在浏览的是第五页，共66页n由于外部因素n 物体内部各点空间位
3、置发生变化 n位移形式n刚体位移刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相对位置不变。n变形位移变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变了物体内部各个点的相对位置。载荷或温度变化位移位移 3-1 变形与应变概念 你现在浏览的是第六页，共66页刚体位移刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相对位置不变（即其体内任意两点之间距保持不变）。刚体位移包括平行移动和转动位移刚体位移包括平行移动和转动位移3-1 变形与应变概念 你现在浏览的是第七页，共66页变形位移变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变了物体内部各个点的相对位置。即物体的形状发生改变。变形位移包括形状改变和体积改变。变
4、形位移包括形状改变和体积改变。3-1 变形与应变概念 你现在浏览的是第八页，共66页位移位移刚性位移：反映物体整体位置的变动刚性位移：反映物体整体位置的变动变形位移：反映物体的形状和尺寸发生变化变形位移：反映物体的形状和尺寸发生变化研究物体在外力作用下的变形规律，只需研究物体内各点的相对位置变动情况，即研究变形位移变形位移。位移函数应是位置坐标的单值连续函数。位移分量函数不能直接表明物体各点处材料变形 的剧烈程度，还需要研究物体内各点的相对位移。3-1 变形与应变概念 你现在浏览的是第九页，共66页 一个物体受作用力后，其内部质点不仅要发生相对位置的改变（产生了位移），而且要产生形状的变化（产
5、生了变形）。物体的变形程度用应变来度量，物体在某一时刻的形态与早先的形态（一般指初始状态或未变形的状态）之间的差别就是物体在该时刻的应变。物体变形时，其体内各质点在各方向上都会有应变。变形的度量变形的度量应变应变你现在浏览的是第十页，共66页 外力作用下，物体各点发生位移，但是某点位移的大小并不能确定该处应力的大小，它与物体的整体约束有关。应变反映局部各点相对位置的变化，与应力直接相关，变形体力学中弹性力学对这种关系作了最为简化的假设，在各向同性线弹性的条件下，弹性常数只有两个。1、正应变2、切应变变形的度量变形的度量应变应变你现在浏览的是第十一页，共66页正（线）应变正（线）应变xxdxdx
6、uu+du物体内一点 P（x,y,z）在 方向上的线应变 ：变形前在P点处沿 方向所取的微线段 ：变形后r的增量NP(x,y,z)变形的度量变形的度量应变应变你现在浏览的是第十二页，共66页n正（线）应变线素的相对伸长或缩短正应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相对应。变形的度量变形的度量应变应变你现在浏览的是第十三页，共66页剪（切）应变剪（切）应变直角改变量直角改变量=+物体内一点 P(x，y，z)的两垂直方向 和 方向之间的角度变化量，称之为 和 方向的切应变。为变形后 、两垂直方向间角度的变化量 则 ：变形后 x、y 两垂直方向间夹角的变化量。变形的度量变形的度量应变应变
7、你现在浏览的是第十四页，共66页，n剪（切）应变两正交线素夹角的减少剪应变以直角变小时为正，变大时为负，与剪应力的正负号规定相对应。变形的度量变形的度量应变应变你现在浏览的是第十五页，共66页线应变线应变、涉及受力物体内某一点；、涉及受力物体内某一点；、涉及该点的某一方向；、涉及该点的某一方向；、是一个无量纲的物理量；、是一个无量纲的物理量；、表征某点某方向伸长变形的线应变取正，表征某点某方向伸长变形的线应变取正，反之取负；反之取负；角应变角应变、涉及受力物体内某一点；、涉及受力物体内某一点；、涉及过该点的某两相垂直方向；、涉及过该点的某两相垂直方向；、是一个有单位，无量纲的物理量。、是一个有
8、单位，无量纲的物理量。、表征某点两坐标轴正方向所夹直角减少的角、表征某点两坐标轴正方向所夹直角减少的角应变取正，反之取负。应变取正，反之取负。变形的度量变形的度量应变应变你现在浏览的是第十六页，共66页应变分量与位移分量的关系应变分量与位移分量的关系A点在X方向的位移分量为u，B点在X方向的位移：ABCD ABCD，求线素AB、AD的正应变 ：线素AB的正应变为：同理，AD的正应变为：你现在浏览的是第十七页，共66页X向线素AB的转角 ，Y向线素AD的转角求剪应变 ，也就是线素AB与AD之间的直角的改变线素AB的转角为：A点在Y方向的位移分量为v，B点在Y方向的位移分量：应变分量与位移分量的关
9、系应变分量与位移分量的关系你现在浏览的是第十八页，共66页同理，Y向线素AD的转角：由于变形是微小的，所以上式可将比单位值小得多的 略去，得因此，剪应变为：应变分量与位移分量的关系应变分量与位移分量的关系你现在浏览的是第十九页，共66页以上是考察了体素在XOY一个平面内的变形情况同样方法来考察体素在XOZ和YOZ平面内的变形情况，可得：应变分量与位移分量的关系应变分量与位移分量的关系你现在浏览的是第二十页，共66页该式表明了一点处的位该式表明了一点处的位移分量和应变分量所应移分量和应变分量所应满足的关系，称为满足的关系，称为几何几何方程方程，也称为柯西，也称为柯西(Cauchy)关系。关系。几
10、何方程是用位移导数表示应变，应变描述一点的变形，但还不足以完全描述弹性单元体的位移变化，因为没有考虑单元体位置的改变，即单元体的刚体位移。应变分量与位移分量的关系应变分量与位移分量的关系你现在浏览的是第二十一页，共66页应变分量应变分量 x、y、z、xy、yz、zx 满足张量的性质，构成一个二阶应变张量。应变张量应变张量以 xi 记 x，y，z ;以 ui 记 u，v，w 你现在浏览的是第二十二页，共66页 如果应变矢量 qN 正在平面法线N 方向上，则在这一方向上剪应变为零，则该法线方向即为主方向（或应变主轴）。其含义为：在这些方向上，运动前是彼此垂直的，其运动后仍保持垂直，相应的应变称为主
11、应变。主应变和应变张量不变量主应变和应变张量不变量考虑一个法线为N的斜平面，方向余弦（l1=l，l2=m，l3=n）斜平面上应变向量qN的三个分量：qNi=ij lj剪应变为零的方向就是应变主轴方向；主轴方向的应变就是主应变你现在浏览的是第二十三页，共66页主方向方程有非零解的条件是其系数行列式必为零。主应变特征方程主应变特征方程该方程一定存在三个根，设为1，2，3称为该点主应变:展开得关于 的一元三次方程：主应变和应变张量不变量主应变和应变张量不变量你现在浏览的是第二十四页，共66页在一定的应变状态下，物体内任一点的主应变不会随坐标系的改变而改变，因而，特征方程中的系数 J1，J2，J3 必
12、为常数，称为应变不变量。再次展开关于 的一元三次方程：主应变和应变张量不变量主应变和应变张量不变量你现在浏览的是第二十五页，共66页体积应变 第一应变不变量第一应变不变量第二应变不变量第二应变不变量第三应变不变量第三应变不变量 主应变和应变张量不变量主应变和应变张量不变量你现在浏览的是第二十六页，共66页应变张量分解和应变偏量不变量应变张量分解和应变偏量不变量定义平均应变：应变球张量应变偏张量该应变状态只有体积等向膨胀或收缩，而没有形状畸变该应变状态只有形状畸变而没有体积改变。应变张量分解：你现在浏览的是第二十七页，共66页应变张量分解和应变偏量不变量应变张量分解和应变偏量不变量你现在浏览的是
13、第二十八页，共66页用主应变表示应变偏量：注意，纯剪应变状态的条件与纯剪应力状态的条件相同，即纯剪应变的必要充分条件是kk=0，因此，eij 为纯剪状态，并且ij和eij 有相同主轴。应变张量分解和应变偏量不变量应变张量分解和应变偏量不变量你现在浏览的是第二十九页，共66页应变偏张量应变偏量不变量如下：应变张量分解和应变偏量不变量应变张量分解和应变偏量不变量你现在浏览的是第三十页，共66页由于J2=0，应变偏张量可进一步分解并解释为都表示纯剪切变形，因此eij只与单元的剪切变形有关应变张量分解和应变偏量不变量应变张量分解和应变偏量不变量你现在浏览的是第三十一页，共66页应变张量的应变张量的性质
14、性质：（1）存在三个互相垂直的主方向，在该方向上线元只有线应变（主应变）而无切应变。主应变张量为主应变可由应变状态特征方程求得。应变张量分解和应变偏量不变量应变张量分解和应变偏量不变量你现在浏览的是第三十二页，共66页（2）存在三个应变张量不变量I I1 1、I I2 2、I I3 3，且对于塑性变形，由体积不变条件，有（3）在与主应变方向成45方向上存在主切应变，其大小为若123，则最大切应变为 应变张量分解和应变偏量不变量应变张量分解和应变偏量不变量你现在浏览的是第三十三页，共66页（4）应变张量可以分解为应变球张量和应变偏张量平均线应变应变偏张量，表示变形单元体形状变化（塑性变形时，由于
15、体积不变，应变偏张量就是应变张量）应变球张量，表示变形单元体体积变化。应变张量分解和应变偏量不变量应变张量分解和应变偏量不变量你现在浏览的是第三十四页，共66页画圆，称为应变莫尔圆。所有可能的应变状态都落在阴影线范围内。由图可知，最大切应变为应变莫尔圆 已知主应变的值，且123，可以在-平面上，圆心和半径分别为（5）可以用应变莫尔圆表示一点的应变状态。应变张量分解和应变偏量不变量应变张量分解和应变偏量不变量你现在浏览的是第三十五页，共66页第三章 应变3-1 变形与应变概念 3-2 变形连续条件3-3 应变增量和应变速率张量 3-4 应力应变分析的相似性与差异性你现在浏览的是第三十六页，共66
16、页3-2 变形连续条件n变形前是连续的，变形后仍然是连续的。不允许出现裂纹或发生重叠现象。n为保证变形前后物体的连续性，应变之间必然存在某种关系，描述这种关系的数学表达式就是应变协调方程应变协调方程。你现在浏览的是第三十七页，共66页应变协调方程 在应力分析中，已经指出必须建立平衡方程以保证物体总是处于平衡状态。然而，在应变分析中，必须由某些条件强加于应变分量以保证变形体连续。已知位移可以求出应变。但给定应变，那么有三个未知位移函数，有六个几何方程。如果不对应变加以限制就不能得到一个解。为了能得到一个单值的连续位移函数，必须对应变分量加以限制，这种约束被称为应变协调条件应变协调条件你现在浏览的
17、是第三十八页，共66页 六个应变分量之间要满足一定的关系，才能保证变形体的连续性。应变分量之间的关系称为应变连续方程或应变协调方程。分析：1）将几何方程中的x、y 分别对y、x求两次偏导数，可得两式相加，得应变协调方程你现在浏览的是第三十九页，共66页 该式表明，在坐标平面内，两个线应变分量一经确定，则切应变分量也就确定。即 同理可得另外两式，综合在一起可得(应变连续方程或应变协调方程)应变协调方程你现在浏览的是第四十页，共66页2）对三个切应变等式分别对z、x、y求偏导，得将上面的前两式相加后减去第三式，得应变协调方程你现在浏览的是第四十一页，共66页与另外两式组合得(应变连续方程或应变协调
18、方程)再对上式两边对 x 求偏导数，得 上式表明，在物体三维空间内的三个切应变分量一经确定，则线应变分量也就确定。应变协调方程你现在浏览的是第四十二页，共66页表明一点的应变分量所表明一点的应变分量所应满足的关系，称为应满足的关系，称为应应变连续方程变连续方程，也称，也称应变应变协调方程协调方程或或圣维南圣维南(Saint-Venant)方程方程。你现在浏览的是第四十三页，共66页 应变连续方程的物理意义表示：只有当应变分量之间满足一定的关系时，物体变形后才是连续的。否则，变形后会出现“撕裂”或“重叠”，变形体的连续性遭到破坏。注：如果已知一点的位移分量，则由几何方程求得的应变分量自然满足连续
19、方程。但如果先用其它方法求得应变分量，则只有满足上述应变连续方程，才能由几何方程求得正确的位移分量。应变协调方程你现在浏览的是第四十四页，共66页例例 设一物体在变形过程中某一极短时间内的位移为试求：点（1,1,1）与点B（0.5,1,0）的应变值解解 由几何方程式得应变分量为你现在浏览的是第四十五页，共66页代入点B的坐标值（0.5,1,0），得其应变值代入点A的坐标值(1,1,1)，得其应变值应变协调方程你现在浏览的是第四十六页，共66页应变协调方程的张量表示：应变协调方程的张量表示：其数学意义：其数学意义：要求位移函数在其定义域内为单值连续函数，保证3个位移为未知量的6个几何方程不相矛盾
20、。其力学意义：其力学意义：保证构成物体的介质在变形前后是连续的，物体任意一点的变形必须受到其相邻单元体变形的约束，即同一点不会产生两个或两个以上的位移。由位移函数由位移函数应变应变自自动满动满足足连续连续方程（方程（6个）个）由应变由应变位移积分必须满足全微分条件，变形才是协调的位移积分必须满足全微分条件，变形才是协调的 你现在浏览的是第四十七页，共66页证明证明应变协调方程是变形连续的应变协调方程是变形连续的必要和充分条件必要和充分条件。变形连续的物理意义，反映在数学上则要求位移分量为单值连续函数。目标如果应变分量满足应变协调方程，则对于单连通域，就可以通过几何方程积分求得单值连续的位移分量
21、。利用位移和转动分量的全微分，则轮换轮换x,y,z，可得，可得du，dv和和dw wy，dw wz 应变协调方程你现在浏览的是第四十八页，共66页如通过积分，计算出如通过积分，计算出 是单值连续的，是单值连续的，则问题可证。则问题可证。保证单值连续的条件是积分与积分路径无关 你现在浏览的是第四十九页，共66页根据格林公式根据格林公式回代回代你现在浏览的是第五十页，共66页回代到第四式回代到第四式 w wx单值连续的必要与充分条件是单值连续的必要与充分条件是 同理讨论wy，wz的单值连续条件，可得其它4式变形协调方程。由此可证变形协调方程是单连通域位移单值连续的必要和充分条件。你现在浏览的是第五
22、十一页，共66页 变形连续性条件变形连续性条件反映了真实情况下物体内各点应反映了真实情况下物体内各点应变之间的协调关系。变之间的协调关系。对于单连通域物体，应变分量满足应变协调方程是对于单连通域物体，应变分量满足应变协调方程是保证物体变形连续的充要条件。保证物体变形连续的充要条件。利用应变协调方程可检验给定的应变状态是否利用应变协调方程可检验给定的应变状态是否为可能存在的？也可确定应变分量中的待定系数。为可能存在的？也可确定应变分量中的待定系数。应变协调方程你现在浏览的是第五十二页，共66页n应变满足变形协调方程变形协调方程，保证弹性体内部的变形单值连续。n边界变形协调要求边界位移满足位移边界
23、条件位移边界条件。n位移边界条件临近表面的位移或和变形与已知边界位移或变形相等。位移边界条件 你现在浏览的是第五十三页，共66页称为位移边界条件称为位移边界条件如果物体表面的位移已知，称为位移边界位移边界用Su表示。如果物体表面的位移边界条件为：位移边界条件 你现在浏览的是第五十四页，共66页n设物体表面为设物体表面为Sn位移已知边界位移已知边界Sun面力已知边界面力已知边界S 则则 SSuS n弹性体的整个边界，是由面力边界和位移边界构成的。n任意一段边界，可以是面力边界，或者位移边界。n面力边界和位移边界在一定条件下是可以转换的，例如静定问题。某些问题，边界部分位移已知，另一部分面力已知，
24、这种边界条件称为混合边界条件。不论是面力边界条件，位移边界条件，还是混合边界条件，弹性体任意边界的边界条件数目不能超过或者少于3个，必须等于3个。位移边界条件 你现在浏览的是第五十五页，共66页如果物体内所有质点都只在同一个坐标平面内发生变如果物体内所有质点都只在同一个坐标平面内发生变形，而在该平面的法线方向没有变形，这种变形称为形，而在该平面的法线方向没有变形，这种变形称为平平面变形面变形或或平面应变平面应变。平面应变状态下的应力状态有如下特点：平面应变状态下的应力状态有如下特点：1)z 即为主应力，且为即为主应力，且为 x、y 的平均值，即为中间应力，的平均值，即为中间应力，又是平均应力，
25、是一个不变量，有三个独立的应力分量又是平均应力，是一个不变量，有三个独立的应力分量 x、y、xy 。2)若以应力主轴为坐标轴，平面变形时应力状态就是纯若以应力主轴为坐标轴，平面变形时应力状态就是纯切应力状态叠加一个应力球张量。切应力状态叠加一个应力球张量。平面问题的应变协调方程你现在浏览的是第五十六页，共66页第三章 应变3-1 变形与应变概念 3-2 变形连续条件3-3 应变增量和应变速率张量 3-4 应力应变分析的相似性与差异性你现在浏览的是第五十七页，共66页全量应变与增量应变全量应变与增量应变3-3 应变增量和应变速率张量 全量应变全量应变又叫有限应变、总应变，是变形历史中某一又叫有限
26、应变、总应变，是变形历史中某一时刻之前已经发生的应变总和。时刻之前已经发生的应变总和。增量应变增量应变又叫瞬时应变、无限小应变，是变形历史中又叫瞬时应变、无限小应变，是变形历史中某一瞬间正在发生的无限小应变。某一瞬间正在发生的无限小应变。应变速率应变速率表示变形体内质点距离改变的快慢，也即各点表示变形体内质点距离改变的快慢，也即各点位移速度的差别。位移速度的差别。你现在浏览的是第五十八页，共66页物体质点位移增量物体质点位移增量瞬时应变增量张量瞬时应变增量张量你现在浏览的是第五十九页，共66页应变增量强度（等效应变增量）应变增量强度（等效应变增量）应变增量和小应变张量一样，具有三个主方向，三个
27、主应变增量三个不变量，三对主剪应变增量、偏张量、球张量、等效应变增量等。你现在浏览的是第六十页，共66页应变速率张量应变速率张量 对大变形、小变形都成立；是对变形某一瞬态计算的而不是按初始位置计算的；也可由此计算主方向、主应变率、偏应变率张量及相应的不变量。你现在浏览的是第六十一页，共66页讨论：讨论：如果按初始状态计算应变张量的增量 当 ij 的各分量都按同一比例变化，其主应变的方向才会保持不变，才有小变形时大变形时只反映主应变只反映主应变大小的变化大小的变化表现主应变大小表现主应变大小和方向的变化和方向的变化你现在浏览的是第六十二页，共66页如在简单拉伸时，轴向应变增量所以自然应变拉伸段的
28、拉伸段的瞬时长度瞬时长度是按初始位置是按初始位置计算出来的工计算出来的工程应变程应变你现在浏览的是第六十三页，共66页第三章 应变3-1 变形与应变概念 3-2 变形连续条件3-3 应变增量和应变速率张量 3-4 应力应变分析的相似性与差异性你现在浏览的是第六十四页，共66页张量表示、张量分析、张量关系相似3-4 应力应变分析的相似性与差异性相似性：相似性：你现在浏览的是第六十五页，共66页差异性：差异性：概概 念：念：应力 研究面元dS上力的集度 应变 研究线元dl 的变化情况内部关系：内部关系：应力应力平衡微分方程 应变应变连续（协调）方程 弹性变形：相容方程 塑性变形：体积不变条件 等效关系：等效关系：等效应力弹性变形和塑性变形表达式相同等效应变弹性变形和塑性变形表达式不同对于弹性变形：对于塑性变形（=0.5）：你现在浏览的是第六十六页，共66页