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1、在中数学模型的表示第1页，共31页，编辑于2022年，星期五2.6.1传递函数单输入单输出线性连续系统的传递函数为：单输入单输出线性连续系统的传递函数为：其中其中mn。G(s)的分子多项式的根称为系统的零点的分子多项式的根称为系统的零点,分母多项分母多项式的根称为系统的极点。令分母多项式等于零式的根称为系统的极点。令分母多项式等于零,得系统的特征得系统的特征方程：方程：dtm+bmr(t)=b0dm-1r(t)dtm-1+b1+dmr(t)dr(t)dt+bm-1+anc(t)+dnc(t)dtna0dn-1c(t)dt n-1+a1dc(t)dt+an-1D(s)=a0sn+a1sn-1+a
2、n-1s+an=0第2页，共31页，编辑于2022年，星期五因传递函数为多项式之比，所以我们先研究因传递函数为多项式之比，所以我们先研究MATLAB是如何处是如何处理多项式的。理多项式的。MATLAB中多项式用行向量表示中多项式用行向量表示,行向量元素依行向量元素依次为降幂排列的多项式各项的系数次为降幂排列的多项式各项的系数,例如多项式例如多项式P(s)=s3+2s+4，其输入为：其输入为：P=1024注意尽管注意尽管s2项系数为项系数为0，但输入，但输入P(s)时不可缺省时不可缺省0。MATLAB下多项式乘法处理函数调用格式为：下多项式乘法处理函数调用格式为：C=conv(A,B)第3页，共
3、31页，编辑于2022年，星期五例如给定两个多项式例如给定两个多项式A(s)=s+3和和B(s)=10sB(s)=10s2 2+20s+3,+20s+3,求求C(s)=A(s)B(s),C(s)=A(s)B(s),则应先构造多项式则应先构造多项式A(s)A(s)和和B(s),B(s),然后再调然后再调用用conv()conv()函数来求函数来求C(s)C(s)A=1,3;B=10,20,3;C=conv(A,B)C=1050639即得出的即得出的C(s)多项式为多项式为10s3+50s2+63s+9第4页，共31页，编辑于2022年，星期五MATLAB提供的提供的conv()函数的调用允许多级
4、嵌套函数的调用允许多级嵌套,例如例如G(s)=4(s+2)(s+3)(s+4)G=4*conv(1,2,conv(1,3,1,4)可由下列的语句来输入可由下列的语句来输入第5页，共31页，编辑于2022年，星期五有了多项式的输入有了多项式的输入,系统的传递函数在系统的传递函数在MATLAB下可由其分下可由其分子和分母多项式唯一地确定出来，其格式为子和分母多项式唯一地确定出来，其格式为sys=tf(num,den)其中其中num为分子多项式，为分子多项式，den为分母多项式为分母多项式num=b0,b1,b2,bm;den=a0,a1,a2,an;第6页，共31页，编辑于2022年，星期五对于其
5、它复杂的表达式，如对于其它复杂的表达式，如：num=conv(1,1,conv(1,2,6,1,2,6);可由下列语句来输入可由下列语句来输入：den=conv(1,0,0,conv(1,3,1,2,3,4);G=tf(num,den)Transferfunction:第7页，共31页，编辑于2022年，星期五2.6.2传递函数的特征根及零极点图传递函数传递函数G(s)输入之后输入之后,分别对分子和分母多项式作因式分解分别对分子和分母多项式作因式分解,则可求出系统的零极点，则可求出系统的零极点，MATLAB提供了多项式求根函数提供了多项式求根函数roots()，其调用格式为：，其调用格式为：r
6、oots(p)其中其中p为多项式。为多项式。第8页，共31页，编辑于2022年，星期五例如，多项式例如，多项式p(s)=s3+3s2+4 p=1,3,0,4;%p(s)=s3+3s2+4r=roots(p)；%p(s)=0的根r=-3.35330.1777+1.0773i0.1777-1.0773i反过来反过来,若已知特征多项式的特征根若已知特征多项式的特征根,可调用可调用MATLAB中的中的poly()函数函数,来求得多项式降幂排列时各项的系数来求得多项式降幂排列时各项的系数,如上例如上例poly(r)p=1.00003.00000.00004.0000第9页，共31页，编辑于2022年，星
7、期五polyval函数用来求取给定变量值时多项式的值函数用来求取给定变量值时多项式的值,其调用其调用格式为格式为polyval(p,a)其中其中p为多项式为多项式;a为给定变量值为给定变量值 例如例如,求求n(s)=(3s2+2s+1)(s+4)在在s=-5时值：时值：n=conv(3,2,1,1,4);value=polyval(n,-5)value=-66第10页，共31页，编辑于2022年，星期五传递函数在复平面上的零极点图传递函数在复平面上的零极点图,采用采用pzmap()函数来完成函数来完成,零极点图零极点图上上,零点用零点用“。”表示表示,极点用极点用“”表示。其调用格式为表示。其
8、调用格式为 p,z=pzmap(num,den)其中其中,p传递函数传递函数G(s)=den的极点的极点 z传递函数传递函数G(s)=num的零点的零点例如例如,传递函数传递函数第11页，共31页，编辑于2022年，星期五用用MATLAB求出求出G(s)的零极点的零极点,H(s)的多项式形式的多项式形式,及及G(s)H(s)的零极的零极点图点图numg=6,0,1;deng=1,3,3,1;z=roots(numg)z=0+0.4082i00.4082i；%G(s)的零点p=roots(deng)p=-1.0000+0.0000i-1.0000+0.0000i；%G(s)的极点-1.0000+
9、0.0000i第12页，共31页，编辑于2022年，星期五n1=1,1;n2=1,2;d1=1,2*i;d2=1,-2*i;d3=1,3;numh=conv(n1,n2);denh=conv(d1,conv(d2,d3);printsys(numh,denh)pzmap(num,den)title(pole-zeroMap)第13页，共31页，编辑于2022年，星期五零极点图如图所示零极点图如图所示：第14页，共31页，编辑于2022年，星期五2.6.3控制系统的方框图模型若已知控制系统的方框图若已知控制系统的方框图,使用使用MATLAB函数可实现方框图转换。函数可实现方框图转换。num,de
10、n=series(num1,den1,num2,den2)串联串联 如图所示G1(s)和G2(s)相串联,在MATLAB中可用串联函数series()来求G1(s)G2(s),其调用格式为其中：R(s)C(s)G2(s)G1(s)第15页，共31页，编辑于2022年，星期五 并联并联 如图所示G1(s)和G2(s)相并联,可由MATLAB的并联函数parallel()来实现,其调用格式为num,den=parallel(num1,den1,num2,den2)其中：+G2(s)R(s)C(s)G1(s)C1(s)C2(s)第16页，共31页，编辑于2022年，星期五 反馈反馈 反馈连接如图所示
11、。使用MATLAB中的feedback()函数来实现反馈连接,其调用格式为G(s)E(s)H(s)B(s)R(s)C(s)num,den=feedback(numg,deng,numh,denh,sign)式中：sign为反馈极性,若为正反馈其为1,若为负反馈其为-1或缺省。第17页，共31页，编辑于2022年，星期五例如负反馈连接 反馈反馈 numg=1,1;deng=1,2;numh=1;denh=1,0;num,den=feedback(numg,deng,numh,denh,-1);printsys(num,den)第18页，共31页，编辑于2022年，星期五MATLAB中的函数ser
12、ies,parallel和feedback可用来简化多回路方框图。另外,对于单位反馈系统,MATLAB可调用cloop()函数求闭环传递函数,其调用格式为num,den=cloop(num1,den1,sign)第19页，共31页，编辑于2022年，星期五2.6.4控制系统的零极点模型传递函数可以是时间常数形式传递函数可以是时间常数形式,也可以是零极点形式也可以是零极点形式,零极点形式是分零极点形式是分别对原系统传递函数的分子和分母进行因式分解得到的。别对原系统传递函数的分子和分母进行因式分解得到的。MATLAB控制系统工具箱提供了零极点模型与时间常数模型之间的转换函数控制系统工具箱提供了零极
13、点模型与时间常数模型之间的转换函数,其调用格式分别为其调用格式分别为z,p,k=tf2zp(num,den)num,den=zp2tf(z,p,k)其中第一个函数可将传递函数模型转换成零极点表示形式其中第一个函数可将传递函数模型转换成零极点表示形式,而第二个函数而第二个函数可将零极点表示方式转换成传递函数模型。可将零极点表示方式转换成传递函数模型。第20页，共31页，编辑于2022年，星期五例如用用MATLAB语句表示语句表示：num=12241220;den=24622;z,p,k=tf2zp(num,den)z=-1.9294-0.03530.9287i-0.03530.9287i第21页
14、，共31页，编辑于2022年，星期五p=-0.9567+1.2272i-0.9567-1.2272i-0.04330.6412i-0.0433-0.6412ik=6用用MATLAB语句表示语句表示：第22页，共31页，编辑于2022年，星期五可以验证MATLAB的转换函数,调用zp2tf()函数将得到原传递函数模型。num,den=zp2tf(z,p,k)num=06.000012.00006.000010den=1.00002.00003.00001.0000即第23页，共31页，编辑于2022年，星期五2.6.5状态空间表达式状态空间表达式是描述系统特性的又一种数学模型状态空间表达式是描述
15、系统特性的又一种数学模型,它由状态方程和输出它由状态方程和输出方程构成方程构成,即即 x(t)=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t)+Du(t)式中式中 x(t)Rn 称为状态向量称为状态向量,n为系统阶次为系统阶次;ARnn称为系统矩阵;BRnp称为控制矩阵,p为输入量个数;CRqn称为输出矩阵;DRqp称为连接矩阵,q为输出量个数。第24页，共31页，编辑于2022年，星期五第25页，共31页，编辑于2022年，星期五第26页，共31页，编辑于2022年，星期五第27页，共31页，编辑于2022年，星期五第28页，共31页，编辑于2022年，星期五小小 结结 本章要求学生熟练掌握系统
16、数学模型的建立和拉氏变换方法。对本章要求学生熟练掌握系统数学模型的建立和拉氏变换方法。对于线性定常系统，能够列写其微分方程，会求传递函数，会画方于线性定常系统，能够列写其微分方程，会求传递函数，会画方框图和信号流图，并掌握方框图的变换及化简方法。框图和信号流图，并掌握方框图的变换及化简方法。1.数学模型是描述元件或系统动态特性的数学表达式，是对系统进行理论分析研究的主要依据。用解析法建立实际系统的数学模型时，分析系统的工作原理，忽略一些次要因素，运用基本物理、化学定律，获得一个既简单又能足够精确地反映系统动态特性的数学模型。第29页，共31页，编辑于2022年，星期五2.实际系统均不同程度地存
17、在非线性，但许多系统在一定条件实际系统均不同程度地存在非线性，但许多系统在一定条件下可近似为线性系统，故我们尽量对所研究的系统进行线性化下可近似为线性系统，故我们尽量对所研究的系统进行线性化处理处理(如增量化法如增量化法)，然后用线性理论进行分析。但应注意，不是，然后用线性理论进行分析。但应注意，不是任何非线性特性均可进行线性化处理。任何非线性特性均可进行线性化处理。3.传递函数是经典控制理论中的一种重要的数学模型。其定义为：在零初始条件下，系统输出的拉普拉斯与输入的拉普拉斯变换之比。4.根据运动规律和数学模型的共性，任何复杂系统都可划分为几种典型环节的组合，再利用传递函数和图解法能较方便地建立系统的数学模型。第30页，共31页，编辑于2022年，星期五5.方框图是研究控制系统的一种图解模型，它直观形象地表示出系统中信号的传递特性。应用梅逊公式不经任何结构变换，可求出源节点和汇节点之间的传递函数。信号流图的应用更为广泛。6利用MATLAB来进行多项式运算，传递函数零点和极点的计算，闭环传递函数的求取，方框图模型的化简等。第31页，共31页，编辑于2022年，星期五