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1、自动控制系统的数学模型第1页，共65页，编辑于2022年，星期二本章概述本章概述 2.1 动态微分方程式的编写动态微分方程式的编写 2.2 传递函数传递函数 2.4 系统动态结构图系统动态结构图 2.6系统传递函数的求取系统传递函数的求取 2.3 典型环节的传递函数典型环节的传递函数 2.5系统结构图等效变换和化简系统结构图等效变换和化简第2页，共65页，编辑于2022年，星期二本章重点本章重点 本章介绍了建立控制本章介绍了建立控制系统数学模型和简化系统数学模型和简化的相关知识。包括线的相关知识。包括线性定常系统微分方程性定常系统微分方程的建立、传递函数概的建立、传递函数概念与应用、方框图及念
2、与应用、方框图及其等效变换、梅逊公其等效变换、梅逊公式的应用等。式的应用等。通通过本章学本章学习，应着重着重准确掌握传递准确掌握传递函数的概念及其求函数的概念及其求取方法取方法、控制系、控制系统方框方框图的构成和等的构成和等效效变换方法、典型方法、典型闭环控制系控制系统的的传递函数的基本概念函数的基本概念和梅和梅逊公式的公式的应用用。本章主要内容本章主要内容第3页，共65页，编辑于2022年，星期二 概概 述述微分方程（时域数学模型）传递函数（复域数学模型）频率特性（频域数学模型）动态结构图(几何模型)返回返回1.数学模型-描述系统变量之间关系的数学表达式2.建模的基本方法:(1)解析法 (2
3、)实验辩识法3.经典控制理论常用数学模型的主要形式:第4页，共65页，编辑于2022年，星期二2.1 系统的微分方程式系统的微分方程式 步骤：1.确定系统输入量(给定量和扰动量)与输出量(被控制量,也称系统响应)2.列写系统各部分的微分方程 3.消去中间变量,求出系统的微分方程 4.将微分方程整理成标准形式。一、线性系统微分方程的建立一、线性系统微分方程的建立第5页，共65页，编辑于2022年，星期二图 2-1 RC电路例2.1 编写如图2-1所示RC电路的微分方程式第6页，共65页，编辑于2022年，星期二 解解:(1)确定输入、输出量 ui(t)-输入量 uo(t)-输出量(2)列写微分方
4、程（3）消去中间变量,可得电路微分方程式第7页，共65页，编辑于2022年，星期二图2-2直流电动机电枢电路例2-2 编写电枢控制的他激直流电动机的微分方程式第8页，共65页，编辑于2022年，星期二(2)列写微分方程式：解：(1)确定输入量和输出量：取输入量为电动 机的电 枢电压ua，取输出量为电动机的转速n。第9页，共65页，编辑于2022年，星期二（3）消去中间变量并予以标准化后得 电枢回路的电磁时间常数：电动机的机电时间常数：第10页，共65页，编辑于2022年，星期二若不考虑电动机的负载转矩TL，即设TL=0，则有返回返回第11页，共65页，编辑于2022年，星期二1、叠加定理：两个
5、函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的代数和。即Lf1(t)f2(t)=Lf1(t)Lf2(t)=F1(s)F2(s)复习复习 拉普拉斯变换拉普拉斯变换一、拉氏变换的定义一、拉氏变换的定义二、拉氏变换的运算定理二、拉氏变换的运算定理其中，原来的实变量函数f(t)原函数变换后的复变量函数F(s)象函数第12页，共65页，编辑于2022年，星期二5、终值定理：2、比例定理：K倍原函数的拉氏变换等于原函数拉氏变换的倍。即LKf(t)=KLf(t)=KF(s)3、微分定理：在零初始条件下4、延迟定理：Lf(t-)=e-sF(s)第13页，共65页，编辑于2022年，星期二通过查表，已知原函数f(t
6、)，可求得象函数F(s)；同理，已知象函数f(t)，可求得原函数F(s)。三、原函数和象函数之间的变换三、原函数和象函数之间的变换第14页，共65页，编辑于2022年，星期二2.2 控制系统的传递函数控制系统的传递函数一、传递函数的定义一、传递函数的定义当初始条件为零时，输出量c(t)的拉氏变换式C(s)与输入量r(t)的拉氏变换式R(s)的之比。即二、传递函数的一般表达式二、传递函数的一般表达式 设系统的输入量为r(t)，输出量为c(t)，则系统微分方程一般形式为第15页，共65页，编辑于2022年，星期二当初始条件为零时，对方程两边取拉氏变换，有第16页，共65页，编辑于2022年，星期二
7、 1、直接变换法先建立微分方程，然后在零初始条件下，对微分方程进行拉氏变换，即可根据传递函数的定义求得传递函数。根据传递函数的定义，得传递函数的一般表达式为：三、传递函数的求取方法三、传递函数的求取方法第17页，共65页，编辑于2022年，星期二解：初始条件为零时，拉氏变换为 该电路的传递函数为式中RC电路的时间常数。，求此电路的传递函数。例 2-3 图 2-1 所示RC电路的微分方程式为第18页，共65页，编辑于2022年，星期二解：在零初始条件下，对微分方程进行拉氏变换，有 s2C(s)+10sC(s)+100C(s)=100R(s)根据传递函数的定义，有 可见，只要将微分方程中的微分式d
8、(i)/dt(i)换成 相应的s(i)，即可求得传递函数。求此环节的传递函数。例2-4已知某环节的微分方程为第19页，共65页，编辑于2022年，星期二在电工基础中，对于电阻、电感、电容，有电阻u=iR拉氏变换式为U(s)=I(s)R电感拉氏变换式为U(s)=LsI(s)电容拉氏变换式为I(s)=CsU(s)由以上讨论可见，将电工基础复数阻抗中的j换成s即可。2、电路复阻抗法第20页，共65页，编辑于2022年，星期二解：例2-5 用复数阻抗法求RC串联电路的传递函数。第21页，共65页，编辑于2022年，星期二解：根据电子技术基础学过的知识，有Ii(s)+I(s)=If(s)又因为A点 为
9、虚 地，即UA0，所以I(s)0，因此有所以例2-6 求图2-3所示运算放大器的传递函数G(s)。第22页，共65页，编辑于2022年，星期二四、传递函数的性质四、传递函数的性质（1）传递函数和微分方程存在一一对应关系，对于一个确定的系统，微分方程是唯一的，其传递函数也是唯一的。（2）传递函数取决于系统或元件的结构和参数，与输入信号的大小、形式无关。（3）传递函数是一种数学抽象，因此不能反映系统的物理结构。不同性质的物理结构，完全可以有相同的传递函数。（4）传递函数的分母是它所对应的系统的微分方程的特征方程式。而特征方程的根反映系统动态过程的性质，所以由系统传递函数可以研究系统的动态特性。返回
10、返回第23页，共65页，编辑于2022年，星期二2.3 典型环节的传递函数典型环节的传递函数比例环节比例环节：其输出量和输入量的关系，由 下面的代数方程式来表示式中环节的放大系数，为一常数。传递函数为：比例环节比例环节第24页，共65页，编辑于2022年，星期二惯性环节惯性环节 惯性环节的传递函数可以写成如下表达式。现求输入量为单位跃阶函数时，惯性环节输出量的函数关系求拉氏反变换得第25页，共65页，编辑于2022年，星期二积分环节积分环节 传递函数为：当输入量为阶跃函数时，则输出量为：理想微分环节理想微分环节传递函数为：第26页，共65页，编辑于2022年，星期二比例微分环节比例微分环节传递
11、函数为：振荡环节振荡环节微分方程为：其传递函数为：自然振荡角频率阻尼比第27页，共65页，编辑于2022年，星期二 当输入量为阶跃函数时，输出量的拉氏变换为：当时，上式特征方程的根为共轭复数输出量为：第28页，共65页，编辑于2022年，星期二延迟环节延迟环节 传递函数为：微分方程为：返回返回第29页，共65页，编辑于2022年，星期二2.4 系统的动态框图（结构图）系统的动态框图（结构图）框图又称结构图，是传递函数的一种图形描述式，可以形象地描述系统各单元之间和各作用量之间的相互关系，比较直观。l、框图的组成、框图的组成1、信号线：带有箭头的直线，线上标注信号的象函 数名称，箭头表示信号的流
12、向。2、比较点：表示对两个或两个以上的信号进行代数 运算，输入信号处应标明极性。第30页，共65页，编辑于2022年，星期二3、功能框：表示环节对信号的变换，框中写入环节的 传递函数 4、引出点：表示信号从该点取出，从同一信号线上引出 的信号，大小和性质完全相同 功能框比较点引出点第31页，共65页，编辑于2022年，星期二二、框图的画法二、框图的画法1、由输入到输出，依次列写系统的全部运动方 程，并整理成C(s)=G(s)R(s)的形式。2、从输入开始，由左向右，根据相互作用的顺 序，依次画出各个环节，直至所需的输出量3、由内向外，画出反馈环节第32页，共65页，编辑于2022年，星期二解：
13、直流电动机的基本工作原理：uaiaTen根据得例例2.7 画出他励直流电动机的框图。画出他励直流电动机的框图。第33页，共65页，编辑于2022年，星期二第34页，共65页，编辑于2022年，星期二 按照信号传递关系依次连接各环节，即可得到直流电动机的框图：第35页，共65页，编辑于2022年，星期二例2-8画出图2-6所示系统的系统框图。第36页，共65页，编辑于2022年，星期二返回返回解：系统由3个运算放大器串联组成。第37页，共65页，编辑于2022年，星期二2.5 系统框图的等效变换和化简系统框图的等效变换和化简 任何复杂的系统结构图，各方框之间的基本任何复杂的系统结构图，各方框之间
14、的基本连接方式只有串联、并联和反馈连接三种。方框连接方式只有串联、并联和反馈连接三种。方框结构图的简化是通过移动引出点、比较点，交换结构图的简化是通过移动引出点、比较点，交换比较点，进行方框运算后，将串联、并联和反馈比较点，进行方框运算后，将串联、并联和反馈连接的方框合并。连接的方框合并。变换前后的变量之间关系保持不变变换前后的变量之间关系保持不变等效变换的原则等效变换的原则第38页，共65页，编辑于2022年，星期二1、串联等效、串联等效一、典型连接的等效传递函数一、典型连接的等效传递函数2、并联等效、并联等效第39页，共65页，编辑于2022年，星期二3、反馈等效、反馈等效第40页，共65
15、页，编辑于2022年，星期二1、相加点从单元的输入端移到输出端、相加点从单元的输入端移到输出端，如图，如图2-5 图2-5相加点后移变位运算二、相加点及分支点的换位运算二、相加点及分支点的换位运算原则：原则：移动前后保持信号的等效性移动前后保持信号的等效性第41页，共65页，编辑于2022年，星期二图2-6相加点前移变位运算2、相加点从单元的输出端移到输入端，如图、相加点从单元的输出端移到输入端，如图2-6所示所示第42页，共65页，编辑于2022年，星期二3、分支点从单元的输入端移到输出端，如图、分支点从单元的输入端移到输出端，如图2-7所示所示图2-7分支点后移的变位运算第43页，共65页
16、，编辑于2022年，星期二4、分支点从单元的输出端移到输入端，如图、分支点从单元的输出端移到输入端，如图2-8所示所示 图2-8分支点前移的变位运算第44页，共65页，编辑于2022年，星期二5、非单位反馈的等效变换、非单位反馈的等效变换第45页，共65页，编辑于2022年，星期二例2-9化简下图所示的多回环系统第46页，共65页，编辑于2022年，星期二第47页，共65页，编辑于2022年，星期二返回返回第48页，共65页，编辑于2022年，星期二2.6 系统传递函数的求取系统传递函数的求取 一、系统的开环传递函数一、系统的开环传递函数1、开环传递函数：、开环传递函数：2、前向通道传递函数：
17、、前向通道传递函数：反馈引入点断开时，输入端对应比较器输出反馈引入点断开时，输入端对应比较器输出 E(s)到输入端对应的比较到输入端对应的比较器的反馈器的反馈 信号信号 B(s)之间所有传递函数的乘积，记之间所有传递函数的乘积，记 为为 Go(s),Go(s)=G(s)H(s)输入端对应比较器输出输入端对应比较器输出 E(s)到输出端输出到输出端输出 C(s)所有传递所有传递函数的乘积，记为函数的乘积，记为G(s)第49页，共65页，编辑于2022年，星期二3、反馈通道传递函数：、反馈通道传递函数：输出输出 C(s)到到 输入端比较器的反馈信号输入端比较器的反馈信号 B(s)之间的所之间的所有
18、传递函数之乘积，记有传递函数之乘积，记 为为 H(s)第50页，共65页，编辑于2022年，星期二二、系统闭环传递函数二、系统闭环传递函数 在初始条件为零时，系统的输出量与输入量的拉氏变换之比称为系统在初始条件为零时，系统的输出量与输入量的拉氏变换之比称为系统的闭环传递函数。闭环传递函数是分析系统动态性能的主要的数学模的闭环传递函数。闭环传递函数是分析系统动态性能的主要的数学模型。型。例例2-10 试简化图示系统结构图，并求系统传递函数试简化图示系统结构图，并求系统传递函数第51页，共65页，编辑于2022年，星期二三、系统对给定作用和扰动作用的闭环传递函数三、系统对给定作用和扰动作用的闭环传
19、递函数 图图2-11所示系统中有两个输入量所示系统中有两个输入量给定作用量和扰动作用量，同给定作用量和扰动作用量，同时作用于系统。对于线性系统来说，可以对每一个输入量分别求出输出量，时作用于系统。对于线性系统来说，可以对每一个输入量分别求出输出量，然后再进行叠加，就得到系统的输出量然后再进行叠加，就得到系统的输出量2-11Rr(s)和D(s)同时作用于系统第52页，共65页，编辑于2022年，星期二1、只有给定作用时的闭环传递函数 和输出量 为：第53页，共65页，编辑于2022年，星期二因此当两个输入量同时作用于系统时，则输出量为：2、只有扰动作用时的闭环传递函数 和输出量 为：第54页，共
20、65页，编辑于2022年，星期二四、系统对给定作用和扰动作用的误差传递函数四、系统对给定作用和扰动作用的误差传递函数误差的定义：单回环系统中，给定输入r(t)与反馈信号 b(t)的差值，以e(t)表示，即 e(t)=r(t)-b(t)或 E(s)=R(s)-B(s)当只有给定信号R(s)作用下的误差传递函数和系统误差R(s)作用时，可认为D(s)=0，所以有第55页，共65页，编辑于2022年，星期二当只有扰动信号D(s)作用下的闭环传递函数和系统输出D(s)作用时，可认为R(s)=0，所以有第56页，共65页，编辑于2022年，星期二五、五、梅逊增益公式梅逊增益公式从输入端到输出端的前向通路
21、总数的余子式，即在中，除去与第k条前向通道相接触的所有回路的L项主特征式从输入端到输出端第k条前向通路的总增益（或传递函数之积）闭环传递函数（或总增益）第57页，共65页，编辑于2022年，星期二所有单独回路之和两、两不接触回路增益的乘积之和三、三不接触回路增益的乘积之和系统的主特征式第58页，共65页，编辑于2022年，星期二例2-11求如图2-11所示系统的传递函数。第59页，共65页，编辑于2022年，星期二解：（1）该系统只有一条通道，即n=1，所以P1=G1G2G3G4G5G6。(2)该系统有4个负反馈回路，L1=-G1G2G3G4G5G6H1L2=-G2G3H2L3=-G4G5H3
22、L4=-G3G4H4并且只有两个回路互不接触，即L2L3=(-G2G3H2)(-G4G5H3)=G2G3G4G5H2H3第60页，共65页，编辑于2022年，星期二所以有La=L1+L2+L3+L4=-G1G2G3G4G5G6H1-G2G3H2-G4G5H3-G3G4H4=1-La+LaLb=1+G1G2G3G4G5G6H1+G2G3H2+G4G5H3+G3G4H4+G2G3G4G5H2H3(3)所有回路L1、L2、L3、L4均与前向通道相接触，即1=1第61页，共65页，编辑于2022年，星期二（4）根据梅逊公式求得系统传递函数为：返回返回第62页，共65页，编辑于2022年，星期二数学模型
23、的基本概念。数学模型是描述系统暂态过程的数学表达式，是对系统进行理论分析研究的主要依据。通过解析法对实际系统建立数学模型。在本章中，根据系统各环节的工作原理，建立其微分方程式，反映其动态本质。小小 结结第63页，共65页，编辑于2022年，星期二传递函数。通过拉氏变换求解微分方程是一种简捷的微分方程求解方法。本章介绍了如何将线性微分方程转换为复数s域的数学模型传递函数以及典型环节的传递函数。动态结构图。动态结构图是传递函数的图解化，能够直观形象地表示出系统中信号的传递变换特性，有助于求解系统的各种传递函数，分析研究系统。第64页，共65页，编辑于2022年，星期二动态结构图。动态结构图是传递函数的图解化，能够直观形象地表示出系统中信号的传递变换特性，有助于求解系统的各种传递函数，分析研究系统。第65页，共65页，编辑于2022年，星期二