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1、曲线的方程的概念曲线的方程的概念某曲线某曲线C上的点与一个二元方程上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系：的实数解建立了如下关系：1.曲线上的点的坐标都是这个方程的解；曲线上的点的坐标都是这个方程的解；2.以这个方程的解为坐标的点都是曲线以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程。方程。参数方程的引入参数方程的引入这三个方程都是和这三个方程都是和x,y有关的方程；前两个方有关的方程；前两个方程是直接给出的关于程是直接给出的关于x和和y之间的方程，后一之间的方程，后一个个曲线上的点的坐标之间的关系不是直接的，曲线上的点
2、的坐标之间的关系不是直接的，而是通过第三个变量间接地联系起来，也就而是通过第三个变量间接地联系起来，也就是是间接给出间接给出x和和y之间的关系式。之间的关系式。上述方程的共同特点是：上述方程的共同特点是：方程直接表示了曲线上任一点方程直接表示了曲线上任一点 x,y 之间的关系之间的关系参数方程的定义参数方程的定义一般地一般地,在给定的直角坐标系中在给定的直角坐标系中,如果曲线上任意如果曲线上任意一点一点P P的坐标的坐标x,yx,y都是某个变数都是某个变数t t的函数的函数:x=f(t)并且对于的每一个并且对于的每一个t t允许值允许值,由方程组所确由方程组所确y=g(t)定的点定的点M(x,
3、y)M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组就叫都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系之间做这条曲线的参数方程，联系之间x,yx,y关系的变数关系的变数t叫做参变数，简称参数。叫做参变数，简称参数。圆的圆的参数方程参数方程1、圆心在原点，半径为圆心在原点，半径为R R的圆的参数方程的圆的参数方程P（x,y)分析解答：设分析解答：设P(xP(x，y)y)是是圆上任意一点，根据三角圆上任意一点，根据三角函数的定义，它的横纵坐函数的定义，它的横纵坐标可分别用标可分别用R R和参数和参数 表表示。示。x=x=RcosRcos,y=,y=RsinRsin 这里的这里的参数参数 是圆上的点
4、是圆上的点从从P P0 0开始按逆时针方向运开始按逆时针方向运动到点动到点P P过程中的旋转角。过程中的旋转角。P0圆的圆的参数方程参数方程如果点如果点P P在圆上作匀角速度在圆上作匀角速度的运动，由匀角速度的运动，由匀角速度公式公式=t=t可得：可得：说明：这两个方程都表示以原点为圆心，以说明：这两个方程都表示以原点为圆心，以R为半径的圆，为半径的圆，但一个是以旋转角为参数，另一个是以时间为参数；所但一个是以旋转角为参数，另一个是以时间为参数；所以同一曲线，由于选取的参数不同，参数方程可以有不以同一曲线，由于选取的参数不同，参数方程可以有不同的形式。同的形式。圆的圆的参数方程参数方程2、圆心
5、在圆心在C(aC(a，b)b)，半径为半径为R R的圆的参数方程的圆的参数方程C(a，b)yR分析：根据坐标平移，把原点移到分析：根据坐标平移，把原点移到C(a，b)，则在则在XOY中，此圆可表示成：中，此圆可表示成：，再，再利用平移利用平移公式公式 可得在可得在XOY中此圆的参数中此圆的参数方程：方程：例题例题说明：参数方程的本质是将曲线上任意一点说明：参数方程的本质是将曲线上任意一点P P（x,y)x,y)的坐标表示的坐标表示成参数的函数，而定义域是函数的要素之一，定义域对函数的成参数的函数，而定义域是函数的要素之一，定义域对函数的值域有重要的制约作用。值域有重要的制约作用。因此，（因此，
6、（1 1）题说明了要重视参数方程中对参数的限制条件；）题说明了要重视参数方程中对参数的限制条件；（2 2）题说明如果消去参数后得到的普通方程形式相同，且方程）题说明如果消去参数后得到的普通方程形式相同，且方程中中x,yx,y的取值范围也相同，那么这两个参数方程表示的是同一曲的取值范围也相同，那么这两个参数方程表示的是同一曲线。线。例题例题例题例题曲线的参数方程曲线的参数方程在取定的坐标系中，如果曲线上任意在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标一点的坐标 x,y 都是某个变数都是某个变数 t 的函数的函数并且对于并且对于t 的每一个允许值，由方程组的每一个允许值，由方程组(1)确定的点确定的
7、点M(x,y)，都在这条曲线都在这条曲线上，那么方程组上，那么方程组(1)就叫做这条曲线的就叫做这条曲线的参数方程。参数方程。(1)例例1、线段线段|AB|上有一定点上有一定点P，|AP|=b,|BP|=a,点点A在在x轴的正半轴上移动，点轴的正半轴上移动，点B在在y轴的正半轴上移动，若轴的正半轴上移动，若|AB|=1，求点求点P的轨的轨迹方程。迹方程。解：设解：设BAO为为，点点P(x,y),则：则：(为辅助变数，间接地表示为辅助变数，间接地表示x,y之间的关系之间的关系.)ABP0 xyCD例例2 设炮弹的发射角为设炮弹的发射角为,发射的初速度为发射的初速度为v0,求弹道曲线的方程（不计空
8、气阻力）求弹道曲线的方程（不计空气阻力）解：取炮口为原点，水平方向为解：取炮口为原点，水平方向为x轴，轴，建立直角坐标系，设炮弹发射后，经过建立直角坐标系，设炮弹发射后，经过时刻时刻 t 的位置在点的位置在点M(x,y)，则：则：xyO例例3 以原点为圆心以原点为圆心,分别以分别以a、b(ab)为为半径作两个圆，点半径作两个圆，点B是大圆半径是大圆半径OA与小与小圆的交点，过点圆的交点，过点A作作ANOx，垂足为垂足为N，过点过点B作作BMAN，垂足为垂足为M，求求:当当半径半径OA绕点绕点O旋转时，点旋转时，点M的轨迹的参的轨迹的参数方程。数方程。ABNMOxy直线、圆、椭圆的参数方程直线、
9、圆、椭圆的参数方程1、直线的参数方程、直线的参数方程2、圆的参数方程、圆的参数方程3、椭圆的参数方程、椭圆的参数方程ABNMOxy解解:设点设点M的坐标是的坐标是(x,y),是以为是以为Ox始边始边,OA为终边的正角为终边的正角,取取为参数为参数,那么那么x=ON=|OA|cosy=NM=|OB|sin即即这就是所求点这就是所求点M的的轨迹的参数方程。轨迹的参数方程。例例4 已知参数方程已知参数方程判断点判断点A 和点和点B 是否在方程是否在方程的曲线上。的曲线上。解：将解：将A、B两点的坐标分别代入方程两点的坐标分别代入方程，得得在在0，2 内，方程组内，方程组的解是的解是 ，而方程组而方程组无解，点无解，点A在方程的曲线上，在方程的曲线上，点点B不在方程的曲线上不在方程的曲线上.课堂小结：课堂小结：本节课进一步深入地研究曲线的本节课进一步深入地研究曲线的方程，引入了参数方程的概念。对于方程，引入了参数方程的概念。对于不易直接发现变量不易直接发现变量 x，y 之间关系的问之间关系的问题，引入辅助变数（参数）是行之有题，引入辅助变数（参数）是行之有效的。同时为我们求曲线（轨迹）方效的。同时为我们求曲线（轨迹）方程又提供了一种方法，拓宽了我们解程又提供了一种方法，拓宽了我们解题的思路。题的思路。