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1、一 曲线的参数方程,第二讲 参数方程,如图，一架救援飞机在离灾地面 500m高处以100 m/s的速度作水平直线 飞行.为使投放的救援物资准确落于灾 区指定的底面(不计空气阻力)，飞行员 应如何确定投放时机呢？,问题探究,A,v=100m/s,如图，一架救援飞机在离灾地面 500m高处以100 m/s的速度作水平直线 飞行.为使投放的救援物资准确落于灾 区指定的底面(不计空气阻力)，飞行员 应如何确定投放时机呢？,问题探究,x,y,O,A,v=100m/s,-500,如图，一架救援飞机在离灾地面 500m高处以100 m/s的速度作水平直线 飞行.为使投放的救援物资准确落于灾 区指定的底面(不
2、计空气阻力)，飞行员 应如何确定投放时机呢？,问题探究,M,x,y,O,A,v=100m/s,-500,1. 参数方程的概念,一般地，在平面直角坐标系中，如 果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个 变数t的函数,1. 参数方程的概念,一般地，在平面直角坐标系中，如 果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个 变数t的函数,并且对于t的每一个允许值，由方程 组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上， 那么方程就叫做这条曲线的参数方程， 联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称 参数.相对于参数方程而言，直接给出点 的坐标间关系的方程叫做普通方程.,参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个与物理意义或几何意义的
3、变数，也可以是没有明显实际意义的变数.,练习：指出下列参数方程中的参数,例1.,2、参数方程和普通方程的互化,将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型。 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式。一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程。如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系，例如 ，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系 那么 就是曲线的参数方程。,例2、把下列参数方程化为普通方程， 并说明它们各表示什么曲线？,（2）把 平方后减去 得到 因为 所以 因此，与参数方程等价的普通方程是 这是抛物线的一部分。,所以,代入,1.将下列参数方程化为普通方程：,(1),(
4、2),（1）（x-2）2+y2=9,（2）y=1- 2x2（- 1x1）,（3）x2- y=2（X2或x- 2）,步骤：（1）消参； （2）求定义域。,练一练,2.求参数方程,表示,（ ）,（A）双曲线的一支，这支过点（1，,）：,（B）抛物线的一部分，这部分过（,1，,）；,（C）双曲线的一支，这支过点（1，,）；,（D）抛物线的一部分，这部分过（1，,）,分析,一般思路是：化参数方程为普通方程,求出范围、判断。,解,x2=,=1+sin=2y，, 普通方程是x2=2y，为抛物线。,，又02，,0x,，故应选（B）,说明,这里切不可轻易去绝对值讨论，平方法,是最好的方法。,例3,解（1）把
5、带入椭圆方程，得到 于是 由参数 的任意性，可取 因此椭圆的参数方程为 （ 为参数）,思考：为什么（2）中的两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？,因此椭圆的参数方程为,x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，,代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程.,曲线y=x2的一种参数方程是（ ）.,注意： 在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值 范围保持一致。否则，互化就是不等价的.,在y=x2中，xR, y0，,分析:,发生了变化，因而与 y=x2不等价；,在A、B、C中，x,y的范围都,而在中，,且以,练一练,小结,圆周运动是生活中常见的.当物体绕 定轴作匀速转动时
6、，物体中各个点都作 匀速圆周运动.那么，怎样刻画运动中点 的位置呢？,3. 圆的参数方程概念,圆周运动是生活中常见的.当物体绕 定轴作匀速转动时，物体中各个点都作 匀速圆周运动.那么，怎样刻画运动中点 的位置呢？,3. 圆的参数方程概念,如果在时刻t，点M转过的角度是， 坐标是M(x,y)，那么t.设|OM|r， 那么由三角函数定义有,即,讲授新课,这就是圆心在原点O，半径为r的圆 的参数方程.其中参数t 有明确的物理意义(质点 作匀速圆周运动的时刻).,讲授新课,讲授新课,考虑到t，也可以取为参数，于 是有,这也是圆心在原点 O，半径为r的圆的参数 方程.其中参数的几何 意义是OM0绕点O旋
7、转 到OM的位置时， OM0 转过的角度.,圆心是(a,b),半径是r的圆的参数方程是什么呢？,例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它化为参数方程。,解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程， （x+1）2+（y-3）2=1，,参数方程为,(为参数),练习.,(1)(x1)2y24上的点可以表示为,A.(1cos, sin) B.(1sin, cos) C.(12cos, 2sin) D.(1 2cos, 2sin),( ),练习.,(1)(x1)2y24上的点可以表示为,A.(1cos, sin) B.(1sin, cos) C.(12cos, 2sin) D.(1
8、2cos, 2sin),( ),D,练习.,的圆心为_，半径为_.,练习.,的圆心为_，半径为_.,(4,0),练习.,的圆心为_，半径为_.,(4,0),2,解:设M的坐标为(x,y),可设点P坐标为(4cos,4sin),点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。,例1. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?,参数方程的应用,(1)参数法求轨迹方程,解:设M的坐标为(x,y),点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。,由中点坐标公式得: 点P的坐标为(2x-12,2y),(2x
9、-12)2+(2y)2=16,即 M的轨迹方程为(x-6)2+y2=4,点P在圆x2+y2=16上,例1. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?,例2.已知点P（x，y）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0 上动点，求（1） x2+y2 的最值，（2）x+y的最值，（3）P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。,解：圆x2+y2- 6x- 4y+12=0即（x- 3）2+（y- 2）2=1，用参数方程表示为,由于点P在圆上，所以可设P（3+cos，2+sin），,（1） x2+y2 = (3+cos)2+(2+sin)2 =14+4 sin +6cos=14+2 sin( +)., x2+y2 的最大值为14+2 ，最小值为14- 2 。,（2）. 参数法求最值,(2) x+y= 3+cos+ 2+sin=5+ sin（ + ）, x+y的最大值为5+ ，最小值为5 - 。,(3),显然当sin（ + ）= 1时，d取最大值，最 小值，分别为 ， 。,1.已知点P(x，y)是圆x2y22y上的动点. (1)求2xy的取值范围； (2)若xya0恒成立，求实数a的取值范围,巩固练习, 小结,(1)圆x2y2r2的参数方程为,(2)圆(xa)2(yb)2r2的参数方程为,