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1、第一节行列式本讲稿第一页，共七十五页第一节第一节 行列式行列式1.1.11.1.1 行列式的定义和性质行列式的定义和性质1.1.21.1.2 克拉默法则克拉默法则本讲稿第二页，共七十五页基本要求：基本要求：1 1、知道、知道n n阶行列式的定义；阶行列式的定义；2 2、了解行列式的性质，知道代数余子式及其性质；、了解行列式的性质，知道代数余子式及其性质；3 3、掌握二、三阶行列式的计算，会求简单的、掌握二、三阶行列式的计算，会求简单的n n阶行阶行 列式；列式；4 4、了解克拉默法姆法则。、了解克拉默法姆法则。重点：重点：行列式的计算行列式的计算本讲稿第三页，共七十五页将将个数个数（i，j=1
2、，2，n）排成）排成n个横行及个横行及n个竖列的方形表格，两边再用竖线围起，就得到个竖列的方形表格，两边再用竖线围起，就得到n阶行列式的记号：阶行列式的记号：其中每个数其中每个数称为行列式的称为行列式的元素元素，元素元素第一个下标表示它第一个下标表示它所在的行数，所在的行数，在第在第1行行在第在第n列列第二个下标表示它所在的列数，第二个下标表示它所在的列数，就是就是第第i行第行第j列的元素。列的元素。n 阶行列式的定义阶行列式的定义1.1.11.1.1 行列式的定义和性质行列式的定义和性质本讲稿第四页，共七十五页定义：定义：定义：定义：在在n阶行列式中，划去元素阶行列式中，划去元素所在的第所在
3、的第i行和行和第第j列，剩下的列，剩下的n-1阶行列式记作阶行列式记作称为元素称为元素的的，称为元素，称为元素的的余子式余子式,而而代数余子式代数余子式。余子式余子式与与代数余子式代数余子式本讲稿第五页，共七十五页本讲稿第六页，共七十五页本讲稿第七页，共七十五页定义定义1.11.1(行列式的值行列式的值)n阶行列式阶行列式本讲稿第八页，共七十五页说明说明1 1若将若将n阶行列式逐阶展开，可以得到一个类似于三阶行列阶行列式逐阶展开，可以得到一个类似于三阶行列式展开式的代数和，称之为式展开式的代数和，称之为n阶行列式阶行列式完全展开式完全展开式，它具，它具有以下性质：有以下性质：1 1、行列式是一
4、种特定的算式，其结果是一个数、行列式是一种特定的算式，其结果是一个数;2 2、n阶行列式完全展开式中共有阶行列式完全展开式中共有n!项项;说明说明2 2 一阶行列式一阶行列式|a|=a不要与绝对值记号相混淆。不要与绝对值记号相混淆。3 3、完全展开式每一项的形式为、完全展开式每一项的形式为 ,其中其中 是是1，2，n的一个排列，它是取的一个排列，它是取自自|A|的不同行、不同列的不同行、不同列n个元素的乘积再添上适当的个元素的乘积再添上适当的符号，这个符号仅与符号，这个符号仅与 的排列有关。的排列有关。本讲稿第九页，共七十五页例例1 1 计算四阶行列式：计算四阶行列式：解：由解：由n阶行列式定
5、义阶行列式定义（按第一行展开）（按第一行展开），有，有本讲稿第十页，共七十五页几种特殊的行列式几种特殊的行列式本讲稿第十一页，共七十五页本讲稿第十二页，共七十五页例例本讲稿第十三页，共七十五页行列式的性质行列式的性质行列式行列式 称为行列式称为行列式 的的转置行列式转置行列式.记记本讲稿第十四页，共七十五页例如，例如，下述行列式及其转置是：下述行列式及其转置是：本讲稿第十五页，共七十五页例如，例如，易见易见即行列式与其转置行列式相等。即行列式与其转置行列式相等。性质性质性质性质1 1 1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.说明说明 行列式中行列式中行行与与列列具有具有同
6、等的地位同等的地位，因此行，因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立。列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立。本讲稿第十六页，共七十五页例例 计算行列式计算行列式解：解：本讲稿第十七页，共七十五页性质性质性质性质2 2 2 2 互换行列式的两行（列），行列式变号。互换行列式的两行（列），行列式变号。即即本讲稿第十八页，共七十五页例如例如推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零行列式为零.证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 本讲稿第十九页，共七十五页性质性质性质性质3 3 3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同行列式的某
7、一行（列）中所有的元素都乘以同一数一数k，等于用数，等于用数k k乘此行列式乘此行列式.推论推论推论推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面以提到行列式符号的外面本讲稿第二十页，共七十五页例如例如，行列式行列式这个性质也可以叫做这个性质也可以叫做行列式提取公因式性质行列式提取公因式性质。要要注意注意，公因式只能按行（列）分别提取，公因式只能按行（列）分别提取.本讲稿第二十一页，共七十五页性质性质4 4若行列式的某一列（行）的元素都是两数之若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和和.则则|A|等于下列两个行列式之和：等于下列两个行
8、列式之和：例如，例如，可以推广之！可以推广之！本讲稿第二十二页，共七十五页例如，第例如，第i行的元素都是两数之和：行的元素都是两数之和：第第i行元素都行元素都是两数之和是两数之和则则本讲稿第二十三页，共七十五页例如：例如：本讲稿第二十四页，共七十五页需要需要注意注意的是：的是：本讲稿第二十五页，共七十五页性质性质5 5行列式中如果有两行（列）元素对应成比例，行列式中如果有两行（列）元素对应成比例，则此行列式为零则此行列式为零.证明：证明：本讲稿第二十六页，共七十五页性质性质6 6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列后加到另一列(行行
9、)对应的元素上去，行列式不变对应的元素上去，行列式不变例如，例如，本讲稿第二十七页，共七十五页把第把第j行的每个元素乘以行的每个元素乘以k加到加到第第i行的对应元素行的对应元素例如，例如，本讲稿第二十八页，共七十五页 为叙述方便，为叙述方便，我们引用下列记号，这些记号不仅用于我们引用下列记号，这些记号不仅用于行列式，行列式，也用于后面的矩阵：也用于后面的矩阵：（1）以以Li表示第表示第i行行，Ci表示第表示第i列列；（2）kLi表示以表示以k乘乘第第i行行，kCj表示以表示以k乘乘第第j列列；（4）Li+kLj(或或Ci+kCj)表示把第表示把第i行行(列列)的全体元素改为的全体元素改为它们与
10、第它们与第j行行(列列)相应元素的相应元素的k倍倍所得的所得的和和；（3）LiLj(CiCj)表示表示对调对调第第i行行(列列)和第和第j行行(列列)。要注意要注意：行列式经：行列式经Li+kLj 运算后，第运算后，第i行改变，但第行改变，但第j行不变。同样，行不变。同样，Ci+kCj 运算使行列式的第运算使行列式的第i列改变，但第列改变，但第j列不变。列不变。本讲稿第二十九页，共七十五页例例 计算计算应用举例应用举例 计算行列式常用方法：利用运算计算行列式常用方法：利用运算 把行列式化为把行列式化为上上或或下三角形下三角形行列式，从而算得行列式行列式，从而算得行列式的值。的值。本讲稿第三十页
11、，共七十五页解解 本讲稿第三十一页，共七十五页本讲稿第三十二页，共七十五页本讲稿第三十三页，共七十五页上述解法中，先用了运算上述解法中，先用了运算C1C2，其目的是把，其目的是把a11换换成成1，从而利用运算，从而利用运算Li ai1L1，即可把即可把ai1(i=2,3,4)变为变为0。如果不先作如果不先作C1C2，则由于原式则由于原式中中a11=3，需用运算需用运算Li L1把把ai1变为变为0，这样计算这样计算时就比较麻烦。第二步把时就比较麻烦。第二步把L2 L1和和L4+5L1写在一起，写在一起，这是两次运算，并把第一次运算结果的书写省略了。这是两次运算，并把第一次运算结果的书写省略了。
12、本讲稿第三十四页，共七十五页例例 计算行列式的值计算行列式的值本讲稿第三十五页，共七十五页解解本讲稿第三十六页，共七十五页本讲稿第三十七页，共七十五页本讲稿第三十八页，共七十五页本讲稿第三十九页，共七十五页 在此例中，先利用性质在此例中，先利用性质2和性质和性质6 将行列式化为将行列式化为上三角行列式，再计算其值的方法，是计算数字上三角行列式，再计算其值的方法，是计算数字行列式的基本方法。行列式的基本方法。由于这个方法的计算过程完全格式化，所以对于由于这个方法的计算过程完全格式化，所以对于阶数较高的数字行列式可利用计算机来计算其值。阶数较高的数字行列式可利用计算机来计算其值。【注注】本讲稿第四
13、十页，共七十五页解解d例例 利用行列式的性质计算行列式利用行列式的性质计算行列式本讲稿第四十一页，共七十五页例例5 计算计算解解本讲稿第四十二页，共七十五页解解 将第将第2，3，n列都加到第一列得列都加到第一列得例例6 计算计算n阶行列式阶行列式本讲稿第四十三页，共七十五页本讲稿第四十四页，共七十五页解：解：本讲稿第四十五页，共七十五页注意注意：在对行列式连续做两次以上的运算时，第：在对行列式连续做两次以上的运算时，第一次运算以后，行列式已变化，第二次再作运算时，一次运算以后，行列式已变化，第二次再作运算时，是是对变化后的行列式对变化后的行列式作运算，而不是对原来行列式作作运算，而不是对原来行
14、列式作做运算。做运算。本讲稿第四十六页，共七十五页 定理定理1.1 n阶行列式阶行列式|A|等于它的任一行等于它的任一行（列列）元素与它们元素与它们所对应的代数余子式乘积之和，所对应的代数余子式乘积之和，即即 实际上，行列式不但可以按第一行元素展开，而且也可实际上，行列式不但可以按第一行元素展开，而且也可以按任一行或者任一列去展开，其结果都是相同的，即有：以按任一行或者任一列去展开，其结果都是相同的，即有：(按任一按任一行行i)展开式展开式(按任一按任一列列j)展开式展开式1.1.21.1.2 克拉默法则克拉默法则本讲稿第四十七页，共七十五页定理定理1.2 行列式任一行（列）的元素与另一行（列
15、）的对应行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，元素的代数余子式乘积之和等于零，即即本讲稿第四十八页，共七十五页证证本讲稿第四十九页，共七十五页综合可得代数余子式的重要性质：综合可得代数余子式的重要性质：本讲稿第五十页，共七十五页例例 计算行列式计算行列式 解：解：把行列式记为把行列式记为d，各列都加到第各列都加到第1 1列上去，再列上去，再从第从第1 1列中提出列中提出 然后再依次把第然后再依次把第n行减第行减第n1行，第行，第n1行减第行减第n2行，行，第，第2 2行减第行减第1 1行，得行，得 本讲稿第五十一页，共七十五页本讲稿第五十二页，共七十五页例
16、例1 证明范德蒙证明范德蒙(Vandermonde)行列式行列式本讲稿第五十三页，共七十五页即当即当n=2时，上式成立。时，上式成立。假设上式对于假设上式对于n-1阶范德蒙行列式成立，阶范德蒙行列式成立，现在证明上式对于现在证明上式对于n阶范德蒙行列式同样成立。阶范德蒙行列式同样成立。为此，设法将为此，设法将Vn进行降阶：从第进行降阶：从第n行开始，后一行行开始，后一行减去前一行的减去前一行的x1倍，由此可得倍，由此可得证明：证明：用数学归纳法证明，显然用数学归纳法证明，显然本讲稿第五十四页，共七十五页本讲稿第五十五页，共七十五页例例 计算：计算：解：解：本讲稿第五十六页，共七十五页例例 证明
17、：证明：解法一：解法一：利用范德蒙行列式结果。利用范德蒙行列式结果。本讲稿第五十七页，共七十五页定理定理1.3 设设则则本讲稿第五十八页，共七十五页或者或者 设设则则本讲稿第五十九页，共七十五页特殊情形特殊情形 设设则则本讲稿第六十页，共七十五页例例2 2 计算行列式解解本讲稿第六十一页，共七十五页总结：总结：计算行列式的三种常用方法计算行列式的三种常用方法 1.利用定义公式计算利用定义公式计算;2.利用性质化为三角形行列式利用性质化为三角形行列式;3.利用展开式定理降阶利用展开式定理降阶;4.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计
18、算的重要工具计算化为低阶行列式计算的重要工具.本讲稿第六十二页，共七十五页 本小节讨论用n阶行列式解线性方程组的克莱姆法克莱姆法则则。含有n个线性方程和n个末知数的线性方程组：本讲稿第六十三页，共七十五页定理定理1.4(1.4(克莱姆法则克莱姆法则)如果线性方程组（如果线性方程组（1 1）的系数行列）的系数行列式不等于零，式不等于零，即即其中其中|Bj|(j=1,2,n)是把系数行列式是把系数行列式|A|中第中第j列的元素用方程列的元素用方程组右端的组右端的常数项常数项代替后所得到的代替后所得到的n阶行列式，即阶行列式，即本讲稿第六十四页，共七十五页本讲稿第六十五页，共七十五页所以，由克莱姆法
19、则知它有唯一解。又因为所以，由克莱姆法则知它有唯一解。又因为例例 解线性方程组解线性方程组解解:因为方程组的系数行列式因为方程组的系数行列式本讲稿第六十六页，共七十五页本讲稿第六十七页，共七十五页注：注：1.使用使用Carmer法则是有条件的；法则是有条件的；2.当当|A|=0或者方程组的个数与未知数的个数不相或者方程组的个数与未知数的个数不相等时，将在第四节讨论。等时，将在第四节讨论。3.Carmer法则的计算量很大，主要在理论上的法则的计算量很大，主要在理论上的应用。因而有时常用下述两个简单结论。应用。因而有时常用下述两个简单结论。1 1 如果线性方程组的系数行列式如果线性方程组的系数行列
20、式|A|0，则线性则线性方程组有解且解唯一。方程组有解且解唯一。2 2 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式数行列式|A|=0|A|=0。本讲稿第六十八页，共七十五页下面利用行列式和克拉默法则讨论几个几何问题。下面利用行列式和克拉默法则讨论几个几何问题。例例4 4 设设A，B为平面直角坐标系中不同的两点，其坐标为为平面直角坐标系中不同的两点，其坐标为(x1，y1)，(x2，y2)。证明过两点。证明过两点A，B的直线方程为的直线方程为证明：证明：设过设过A、B两点的直线方程两点的直线方程为为 ax+by+c=0.将将 A、B两点的坐标分
21、别代入上式得两点的坐标分别代入上式得 ax1+by1+c=0，ax2+by2+c=0.本讲稿第六十九页，共七十五页若若d 0,由克拉默法则知该方程组只有零解，即由克拉默法则知该方程组只有零解，即a、b、c均为零。但这是不可能的，所以均为零。但这是不可能的，所以d=0.余下只要证明余下只要证明行列式行列式d的展开式中的展开式中x与与y的系数的系数 与与 中至少中至少有一个不为零。事实上，如果它们均为零，将有有一个不为零。事实上，如果它们均为零，将有x1=x2，y1=y2,即即A、B为同一个点，与假设矛盾。为同一个点，与假设矛盾。如果把如果把a、b、c看作未知量，看作未知量，上述三个方程是关于上述
22、三个方程是关于a、b、c的线性方程组，的线性方程组，它的系数行列式为它的系数行列式为本讲稿第七十页，共七十五页例例5 5 证明平面上不同的三个点证明平面上不同的三个点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)共线的充要条件是：共线的充要条件是：证明：证明：由例由例5 5，过，过(x1,y1)与与(x2,y2)两点的直线方程两点的直线方程L为为本讲稿第七十一页，共七十五页点点(x3,y3)在直线在直线L上的充要条件是上的充要条件是适当交换两行位置即得所证之不等式。适当交换两行位置即得所证之不等式。本讲稿第七十二页，共七十五页例例6 6 证明过平面上不在一条直线的三个点证明过平面上不在一条直线
23、的三个点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)圆的方程为：圆的方程为：证明：证明：由平面解析几何知，可设圆的方程为由平面解析几何知，可设圆的方程为将将A、B、C三点的坐标分别代入上式得三点的坐标分别代入上式得本讲稿第七十三页，共七十五页上述四个方程构成的方程组是关于上述四个方程构成的方程组是关于a、b、c、d的线性方程组。的线性方程组。因因a、b、c、d不全为零，不全为零，由由克拉默法则知克拉默法则知上式左端行列式的展开式中上式左端行列式的展开式中 的系数为的系数为本讲稿第七十四页，共七十五页因因A A、B、C三点不共线，三点不共线，由例由例6 6知上述三阶行列式不为知上述三阶行列式不为零。其次，三个点零。其次，三个点A、B、C的坐标适合上述方程。的坐标适合上述方程。故故该方程为过该方程为过A、B、C三点的方程。三点的方程。本讲稿第七十五页，共七十五页