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1、第一节阶行列式的定义第一节阶行列式的定义本讲稿第一页，共三十页第二章第二章 行行 列列 式式本讲稿第二页，共三十页二阶行列式的定义二阶行列式的定义1三阶行列式的定义三阶行列式的定义 2排列及逆序数排列及逆序数3n 阶行列式的定义阶行列式的定义4第一节第一节 行列式的定义行列式的定义本讲稿第三页，共三十页设二元线性方程组设二元线性方程组用消元法求解用消元法求解.(1)一、二阶行列式的定义一、二阶行列式的定义本讲稿第四页，共三十页方程组的解为方程组的解为由方程组的由方程组的四个系数四个系数确定确定.本讲稿第五页，共三十页 由四个数排成两行两列（由四个数排成两行两列（横排称行、竖排称横排称行、竖排称
2、列列）并定义为）并定义为记为记为的式子的式子叫做叫做二阶行列式二阶行列式.本讲稿第六页，共三十页主对角线副对角线对角线法则对角线法则二阶行列式的计算二阶行列式的计算本讲稿第七页，共三十页类似地，类似地，(2)式的分子也可写成二阶行列式：式的分子也可写成二阶行列式：那么那么(2)式可写成式可写成本讲稿第八页，共三十页三元线性方程组的解问题三元线性方程组的解问题类似得到：当系数行列式类似得到：当系数行列式D不等于不等于0 0时，解是唯一的时，解是唯一的.本讲稿第九页，共三十页并称它为并称它为三阶行列式三阶行列式.记记为为：行标行标定义定义1 二、三阶行列式的定义二、三阶行列式的定义列标列标本讲稿第
3、十页，共三十页三阶行列式的计算方法三阶行列式的计算方法对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则列的三个元素的乘积再冠以正负号列的三个元素的乘积再冠以正负号.三阶行列式包括三阶行列式包括3!项项,每一项均为位于不同行、不同每一项均为位于不同行、不同本讲稿第十一页，共三十页沙路法沙路法沙路法沙路法(或沙流氏规则）或沙流氏规则）：注意注意注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号的乘积冠以负号本讲稿第十二页，共三十页例例计算三阶行列式计算三阶行列式本讲稿第十三页，共三十页一个一个n元线性方程组元线性方程组问题：问题：问题：问题：1、D？（
4、？（n阶行列式如何求？）阶行列式如何求？）、D不等于不等于0 0时，解是唯一的？时，解是唯一的？3 3、解的表达式为解的表达式为？本讲稿第十四页，共三十页由由组成的一个有序数组称为组成的一个有序数组称为一个一个n阶排列阶排列.所有排列的种数，通常用所有排列的种数，通常用由由组成的组成的表示表示.显然显然是其中的一个排列，是其中的一个排列，自然顺序，就是按从小到大的顺序排起来的；其它自然顺序，就是按从小到大的顺序排起来的；其它定义定义2这个排列具有这个排列具有的排列都或多或少地破坏了自然顺序的排列都或多或少地破坏了自然顺序.列标列标三、排列及逆序数三、排列及逆序数本讲稿第十五页，共三十页在一个排
5、列中，如果一个大数排在一在一个排列中，如果一个大数排在一n阶阶排列排列的逆序数的逆序数.简记为简记为列中，逆序的总数称为这个排列的列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数逆序数逆序数逆序数.个小数之前，就称这两个数构成一个逆序个小数之前，就称这两个数构成一个逆序.记为记为定义定义3一个排一个排计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法:分别计算出排列中每个元素后面比它小的（或前面分别计算出排列中每个元素后面比它小的（或前面比它大的）数码个数之和，这每个元素的逆序数之总比它大的）数码个数之和，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数和即为所求排列的逆序数.本
6、讲稿第十六页，共三十页逆序数为奇数的逆序数为奇数的n阶排列称为阶排列称为奇排列奇排列.逆序数为偶数的逆序数为偶数的n阶排列称为阶排列称为偶排列偶排列;在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，叫做叫做对换对换将相邻两个元素对换，叫做将相邻两个元素对换，叫做相邻对换相邻对换定义定义 4本讲稿第十七页，共三十页对换改变排列的奇偶性对换改变排列的奇偶性证明证明设排列为设排列为对换对换 与与当当 时，时，的逆序数增加的逆序数增加1;1;经对换后经对换后 的逆序数的逆序数不变不变,经对换后经对换后 的逆序数减少的逆序数减少1 1，的逆序数不变的逆序数不变.当
7、当 时，时，显显然然这这些元素的逆序数些元素的逆序数经过对换经过对换并不改变，并不改变，先证相邻对换的情形：先证相邻对换的情形：两个元素的逆序数将改两个元素的逆序数将改变为变为：而而定理定理1 1本讲稿第十八页，共三十页次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换再证一般对换的情形：再证一般对换的情形：设排列为设排列为因此对换相邻两个元素，排列的奇偶性相反因此对换相邻两个元素，排列的奇偶性相反.本讲稿第十九页，共三十页奇排列调成标准排列的对换次数为奇数；奇排列调成标准排列的对换次数为奇数；对换对换对换对换一个排列中的任意两个元素，其奇偶性一个排列中的任意两个元素，其奇偶性一个排
8、列中的任意两个元素，其奇偶性一个排列中的任意两个元素，其奇偶性改变改变改变改变.偶排列调成标准排列的对换次数为偶数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.推论推论2 2n 阶排列中，奇偶排列各占一半阶排列中，奇偶排列各占一半.推论推论1 1本讲稿第二十页，共三十页个数个数,称称为为阶行列式，它表示数值阶行列式，它表示数值为为其中其中的一个排列，的一个排列，为这个排列的逆序数为这个排列的逆序数.(3)定义定义5(3)式简记为式简记为四、四、n阶行列式的定义阶行列式的定义本讲稿第二十一页，共三十页注意注意(1)(1)行列式是一个算式行列式是一个算式；本讲稿第二十二页，共三十页1.1.三角行列式三角行列式（1）下三角行列式下三角行列式下三角行列式下三角行列式一些特殊的行列式一些特殊的行列式本讲稿第二十三页，共三十页例例本讲稿第二十四页，共三十页（2）上三角行列式上三角行列式本讲稿第二十五页，共三十页（3）次三角行列式次三角行列式次三角行列式次三角行列式本讲稿第二十六页，共三十页本讲稿第二十七页，共三十页2.对角（次对角）行列式对角（次对角）行列式对角（次对角）行列式对角（次对角）行列式本讲稿第二十八页，共三十页1.已知已知思考与练习思考与练习本讲稿第二十九页，共三十页解解解解含含 的项有两项的项有两项,即即对应于对应于本讲稿第三十页，共三十页