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1、理论力学复习理论力学复习v 理论力学理论力学是研究物体机械运动一般规律的科学。是研究物体机械运动一般规律的科学。机械运动是指物体的空间位置随时间的变化。机械运动是指物体的空间位置随时间的变化。特殊物体：主要是宏观物体特殊物体：主要是宏观物体“刚体刚体”机械运动：是物体在空间的位置随时间的变化。机械运动：是物体在空间的位置随时间的变化。速度范畴：远小于光速。速度范畴：远小于光速。理论力学的研究对象理论力学的研究对象公理公理1 力的平行四边形法则力的平行四边形法则公理公理5 5 刚化原理刚化原理公理公理2 二力平衡条件二力平衡条件公理公理3 加减平衡力系原理加减平衡力系原理 公理公理4 作用与反作
2、用定律作用与反作用定律 力力 矩矩 一、一、力对一点的矩力对一点的矩 物理学中已经阐明，物理学中已经阐明，力对点之矩力对点之矩是是力使物体绕某一点转动效应的量度。这力使物体绕某一点转动效应的量度。这一点称为一点称为力矩中心力矩中心，简称矩心。，简称矩心。力矩的大小（力矩的大小（Nm）：）：力矩有转向（方向），应是矢量（定位矢）。力矩有转向（方向），应是矢量（定位矢）。三、三、力对一轴的矩力对一轴的矩力对一轴的矩表示的是力使物体绕轴转动的效应。力对一轴的矩表示的是力使物体绕轴转动的效应。一个力对于某一轴的矩等于这个力在垂直于该轴的平一个力对于某一轴的矩等于这个力在垂直于该轴的平面上的投影对于该轴
3、与该平面的交点的矩。面上的投影对于该轴与该平面的交点的矩。力对于一轴的矩的单位也是牛力对于一轴的矩的单位也是牛米（米（）或千牛）或千牛米（米（）等。）等。力力 偶偶 力偶具有一些独特的性质：力偶具有一些独特的性质：力偶没有合力，即不能用一个力代替，因而也不能和一个力平衡。力偶没有合力，即不能用一个力代替，因而也不能和一个力平衡。力偶对于任一点的矩就等于力偶矩力偶对于任一点的矩就等于力偶矩，而与矩心的位置无关而与矩心的位置无关。对对物体的运动效应（转动）取决于力偶矩：物体的运动效应（转动）取决于力偶矩：力偶矩大小：力偶矩大小：力学上把大小相等、方向相反、作用线不同的两个力学上把大小相等、方向相反
4、、作用线不同的两个力作为一个整体来考虑，称为力作为一个整体来考虑，称为力偶力偶力偶力偶。两力作用线之间的距。两力作用线之间的距离离a则称为力偶臂。则称为力偶臂。约束与约束反力约束与约束反力 阻碍物体运动的周围物体则称为约束。阻碍物体运动的周围物体则称为约束。约束对于物体的作用力称为约束力（或约束反力），也约束对于物体的作用力称为约束力（或约束反力），也常简称为反力。常简称为反力。与约束力相对应，有些力主动地使物体运动或使物体有运与约束力相对应，有些力主动地使物体运动或使物体有运动趋势，这种力称为主动力。如重力、水压力、土压力等等都动趋势，这种力称为主动力。如重力、水压力、土压力等等都是主动力，
5、工程上也常称作荷载是主动力，工程上也常称作荷载。确定约束力方向的原则是：约束力的方向总是与约束所能确定约束力方向的原则是：约束力的方向总是与约束所能阻止的运动方向相反。阻止的运动方向相反。工程中常见的约束：工程中常见的约束：一、一、柔柔 索索 二、二、光滑接触面光滑接触面 三、三、铰支座与铰连接铰支座与铰连接四、四、连连 杆杆 计算简图和示力图计算简图和示力图 计算简图计算简图 选择计算简图的原则：选择计算简图的原则：选择计算简图通常包括以下一些内容：选择计算简图通常包括以下一些内容：1.能正确反映实际结构（或机构）能正确反映实际结构（或机构）的工作性能；的工作性能；2.便于力学计算。便于力学
6、计算。1.结构的简化结构的简化2.约束的简化约束的简化3.荷载的简化荷载的简化4.确定尺寸确定尺寸示力图示力图 在确定的考察对象上画上别的物体作用于它的力在确定的考察对象上画上别的物体作用于它的力(包包括主动力和约束力括主动力和约束力)，这样构成的图形称为示力图或受，这样构成的图形称为示力图或受力图，有时也叫隔离体图力图，有时也叫隔离体图。作示力图是解答力学问题的第一步工作，也是很重作示力图是解答力学问题的第一步工作，也是很重要的一步工作，不能省略，更不容许有任何错误。要的一步工作，不能省略，更不容许有任何错误。画示力图的步骤：画示力图的步骤：1.选取研究对象，画选取研究对象，画脱离体脱离体图
7、；图；2.画脱离体受到的主动力；画脱离体受到的主动力；3.分析脱离体受到的约束力；分析脱离体受到的约束力；4.检查检查。脱离体：把研究对象从与它有联系的周围物体中分离出来，脱离体：把研究对象从与它有联系的周围物体中分离出来，解除约束后的这个物体称为脱离体。解除约束后的这个物体称为脱离体。汇交力系汇交力系 若某力系中各力作用线汇交于一点，则该力系称为汇交力若某力系中各力作用线汇交于一点，则该力系称为汇交力系系。根据力的可传性，各力作用线的汇交点可以看作各力的公根据力的可传性，各力作用线的汇交点可以看作各力的公共作用点，所以汇交力系有时也称为共点力系。共作用点，所以汇交力系有时也称为共点力系。平面
8、汇交力系平面汇交力系汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系的合力等于零汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系的合力等于零。平衡几何条件：力的多边形闭合。平衡几何条件：力的多边形闭合。平衡的代数方程条件：平衡的代数方程条件：即力系中各力在即力系中各力在x、y、z三轴中的每一轴上的投影之代三轴中的每一轴上的投影之代数和均等于零。这三个方程称为汇交力系的平衡方程数和均等于零。这三个方程称为汇交力系的平衡方程。汇交力系汇交力系 的合成的合成例例题题 梁支承和受力情况如图所示，求支座梁支承和受力情况如图所示，求支座A A、B B的反力。的反力。解：解：1、明确研究对象；、明确研究对象；2、取脱离体，受力分析
9、画受力图；、取脱离体，受力分析画受力图；3、立平衡方程求解。、立平衡方程求解。解解得得：例例题题 三三铰铰拱拱的的左左半半部部上上作作用用一一力力偶偶，其其矩矩为为M，转转向向如如图图所所示，求铰示，求铰A和和B处的反力。处的反力。解：选择研究对象，受力分析画示力图。解：选择研究对象，受力分析画示力图。立平衡方程求解。立平衡方程求解。力的平移定理力的平移定理 ABABABM附加力偶附加力偶 作用在刚体上的力，可以等效地平移到刚体上任一指定点，作用在刚体上的力，可以等效地平移到刚体上任一指定点，但必须在该力与指定点所确定的平面内附加一个力偶，附加力偶但必须在该力与指定点所确定的平面内附加一个力偶
10、，附加力偶的力偶矩等于原力对指定点的力矩。的力偶矩等于原力对指定点的力矩。a平面任意力系向作用面内一点简化平面任意力系向作用面内一点简化主矢和主矩主矢和主矩原力系的主矢量原力系的主矢量原力系对原力系对O点的主矩点的主矩简化结果分析简化结果分析（2 2）若若FR=0，MO0，则原力系简化为一个力偶，力偶矩等则原力系简化为一个力偶，力偶矩等于原力系对于简化中心的主矩。在这种情况下，于原力系对于简化中心的主矩。在这种情况下，主矩（即力主矩（即力偶矩）将不因简化中心位置的不同而改变。偶矩）将不因简化中心位置的不同而改变。（3 3）若若FR，MO，而，而FRMO ，表明力偶表明力偶MO与与FR在同一平面
11、内，可进一步在同一平面内，可进一步简化为一个合力。简化为一个合力。合力的位置必须满足：合力的位置必须满足：（1 1）若若FR=0，MO=0，则力系平衡。则力系平衡。平面任意力系的简化平面任意力系的简化 yx合力作用线位置的确定：合力作用线位置的确定：若力系可简化成为一个合力，若力系可简化成为一个合力，则合力对任一点的矩等于原力系则合力对任一点的矩等于原力系各力对同一点的矩的代数和各力对同一点的矩的代数和。这这一结论称为合力矩定理。一结论称为合力矩定理。合力作用线位置合力作用线位置 图是某重力坝段中央平面的受力情况，其中图是某重力坝段中央平面的受力情况，其中F1是上游水压力，是上游水压力，F2是
12、泥沙压是泥沙压力，力，W是坝段所受重力。已知是坝段所受重力。已知F1=8000，F2=150，W=14000，试将三力向点简化，并求出简化的最后结果。图中长度单位为试将三力向点简化，并求出简化的最后结果。图中长度单位为m。解解 先求主矢量。取坐标如图，则先求主矢量。取坐标如图，则 再求对点的主矩：再求对点的主矩：负号表示的转向是顺时针向，负号表示的转向是顺时针向，如图所示。如图所示。点的坐标可利用合力矩定理求得点的坐标可利用合力矩定理求得 平面任意力系的平衡条件平面任意力系的平衡条件一、平面任意力系的平衡一、平面任意力系的平衡平衡的充要条件是：平衡的充要条件是：力系的主矢和对任意点的主矩都等于
13、零。力系的主矢和对任意点的主矩都等于零。等价的平衡方程：等价的平衡方程：二二力矩式力矩式基本型基本型三矩式三矩式 例例 已知：P,a,求：A、B两点的支座反力？解：选AB梁研究 画受力图 如果所考察的问题的未知量数目恰好等于独立平衡方程的如果所考察的问题的未知量数目恰好等于独立平衡方程的数目，那些未知数就可全部由平衡方程求得，这类问题称为数目，那些未知数就可全部由平衡方程求得，这类问题称为静静静静定问题定问题定问题定问题。FxFyMq物体系的平衡物体系的平衡静定和超静定问题静定和超静定问题 如果所考察的问题的未知力的数目多于独立平衡方程的如果所考察的问题的未知力的数目多于独立平衡方程的数目，仅
14、仅用平衡方程就不可能完全求得那些未知力，这类数目，仅仅用平衡方程就不可能完全求得那些未知力，这类问题称为问题称为超静定问题超静定问题超静定问题超静定问题或或静不定问题静不定问题静不定问题静不定问题。工程中的结构大多数为超静定结构，为什么？工程中的结构大多数为超静定结构，为什么？FxFyMqFB静不定 静定 静不定例例5 判断下列静定与静不定问题。组合形体的重心或形心组合形体的重心或形心 形心、对称性形心、对称性三维物体三维物体板板杆件杆件重心、质心和形心重心、质心和形心静力学应用专题静力学应用专题静力学应用专题静力学应用专题一、桁架的工程定义一、桁架的工程定义 由一些细长由一些细长由一些细长由
15、一些细长直杆按适当方式分直杆按适当方式分直杆按适当方式分直杆按适当方式分别在两端连接而成别在两端连接而成别在两端连接而成别在两端连接而成的几何形状不变的的几何形状不变的的几何形状不变的的几何形状不变的结构结构结构结构桁架桁架桁架桁架1.1.1.1.各杆件都用光滑铰链相连接各杆件都用光滑铰链相连接各杆件都用光滑铰链相连接各杆件都用光滑铰链相连接2.2.2.2.各杆件轴线都是直线，并通过铰链中心各杆件轴线都是直线，并通过铰链中心各杆件轴线都是直线，并通过铰链中心各杆件轴线都是直线，并通过铰链中心3.3.3.3.所有外力所有外力所有外力所有外力(荷载及支座反力荷载及支座反力荷载及支座反力荷载及支座反
16、力)都作用在节点上都作用在节点上都作用在节点上都作用在节点上理想桁架理想桁架三、桁架简化计算的假设三、桁架简化计算的假设零杆的判断：零杆的判断：零杆的判断：零杆的判断：xyFN=0节点上无外力作用节点上无外力作用 由零杆判断方法：S1=P1 S2=0 S3=P2例例4 已知桁架，不计各杆自重，求下列指定杆的内力。滑动摩擦力两物体接触表面有相对滑动或有相对滑动两物体接触表面有相对滑动或有相对滑动趋势时趋势时,沿接触表面产生的沿接触表面产生的切向阻力切向阻力，称为称为滑动滑动滑动滑动摩擦力，摩擦力，摩擦力，摩擦力，简称简称摩擦力摩擦力摩擦力摩擦力。摩擦力方向必与相对滑动或相对滑动趋势摩擦力方向必与
17、相对滑动或相对滑动趋势的方向的方向相反。相反。相反。相反。直线运动曲线运动合成运动：绝对运动,相对运动,牵连运动。匀速,匀变速,变速。2.刚体运动学刚体运动学基本运动平面运动平动定轴转动基本内容：基本内容：1.点的运动学点的运动学34二基本公式基本公式1点的运动点的运动矢量法直角坐标法方向均由相应的方向余弦确定。35自然法（轨迹已知时）方向沿切线方向，方向沿切线方向，方向指向曲率中心。常数（匀变速运动匀变速运动）：36点的合成运动（牵连运动为平动时）（牵连运动为转动时）平动（可简化为一点的运动）任一瞬时,各点的轨迹形状相同,各点的速度和加速度均相等。2刚体的运动刚体的运动37=常量（匀速转动）
18、：的单位：rpm定轴转动 常量：（匀变速转动）定轴转动刚体上一点的速度和加速度：（角量与线量的关系）定轴转动刚体上一点的速度和加速度：（角量与线量的关系）38平面运动（平动和转动的合成）基点法：（A为基点）为图形角速度 分别为图形的角速度，角加速度投影法：瞬心法：P点为图形的速度瞬心，与一致391.分析题中运动系统的特点及系统中点或刚体的运动形式。分析题中运动系统的特点及系统中点或刚体的运动形式。2.弄清已知量和待求量。弄清已知量和待求量。3.选择合适的方法建立运动学关系求解。选择合适的方法建立运动学关系求解。三解题步骤、技巧及注意的问题三解题步骤、技巧及注意的问题40 一、一、牛顿运动定律与
19、惯性坐标系牛顿运动定律与惯性坐标系 动力学的基本定律是牛顿提出的三个定律，即通称的牛顿运动定律。这几个定律是：第一定律 任何物体，如不受外力作用，将保持静止或作匀速直线运动。第二定律 质点受到外力作用时，所产生的加速度的大小与力的大小成正比，而与质点的质量成反比，加速度的方向与力的方向相同。这一定律可用数学公式表为：第三定律（即作用与反作用定律）两物体间相互作用的力（作用力与反作用力）同时存在，大小相等，作用线相同而指向相反。二、质点运动微分方程二、质点运动微分方程 1 矢量形式矢量形式 2直角坐标形式直角坐标形式 3自然坐标形式自然坐标形式 质心运动定理质心运动定理 投影于固定直角坐标轴，上
20、，可得投影于固定直角坐标轴，上，可得（质心的运动微分方程）动量和冲量动量和冲量质点系的动量，用质点系的动量，用P表示：表示：冲量冲量质点系动量定理质点系动量定理 质点系的动量对于时间的导数，等于作用于质点系的外力的矢量和。这就是质点系的动量定理。CA例例5：三棱柱质量三棱柱质量m2，置于光滑地面上；质量置于光滑地面上；质量m1、半径半径r的圆的圆柱在其上纯滚动，系统初始时刻静止。试求圆心柱在其上纯滚动，系统初始时刻静止。试求圆心C相对于三棱相对于三棱柱速度为柱速度为vr时，三棱柱的速度。时，三棱柱的速度。m1gm2gFNvAvrvA解：解：系统水平方向的动量系统水平方向的动量守恒，即守恒，即p
21、x=const。由初始条件可知，由初始条件可知，px=0。x以以C为动点，三棱柱为动系，可知：为动点，三棱柱为动系，可知：动量矩动量矩 质点系动量矩：质点系中各质点的动量对点O之矩的矢量和为质点系对该点的动量矩。定轴转动刚体的动量矩：动量矩定理动量矩定理 质点系对于任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的所有外力对于同一点的矩的矢量和。即，这就是质点系的动量矩定理。刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程 已知刚体对转动轴的动量矩是，设作用于刚体的所有外力对轴的矩之和是 则有刚体定轴转动微分方程相对于质心的动量矩定理及刚体平面运动微分方程相对于质心的动量矩定理及刚体平面运动微分方程
22、质点系相对质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的所有外力对质心的矩之和，即：这就是质点系相对于质心的动量矩定理刚体在力、作用下作平面运动时，它的运动可看作随同质心的平动与绕着通过质心而垂直于图平面的轴的转动合成的结果，于是由质心运动定理及相对于质心的动量矩定理有:刚体平面运动的微分方程动能动能 质点系的动能为质点系中各质点的动能之和，用表示，即 表示：质点系的动能等于随同其质心平动的动能与相对于其质心运动的动能之和。这一陈述称为柯尼希定理。1.刚体作平动 2.刚体作定轴转动 3刚体作平面运动 可以看作是随同质心平动与相对质心转动的合成动能定理动能定理 功率方程机械能守恒定理机械能守恒定理
23、 质点系在某瞬时动能和势能的代数和称为机械能。若质点系仅受到有势力的作用（或同时受到不做功的约束力的作用）而运动时，在任意两位置的机械能保持不变。这就是机械能守恒定理，其数学表达式为 二、常见力的功二、常见力的功1.重力功重力功2.弹性力功弹性力功3.用在定轴转动刚体上的力用在定轴转动刚体上的力4.力偶的功力偶的功a.刚体平面运动刚体平面运动=随基点平动随基点平动+绕基点定轴转动绕基点定轴转动力偶对平动部分做功之和为零力偶对平动部分做功之和为零b.对转动部分对转动部分1.滑动摩擦滑动摩擦当有相对滑动时当有相对滑动时三、约束力的功三、约束力的功注意：纯滚动时，接触处有摩擦力，但无相对滑注意：纯滚
24、动时，接触处有摩擦力，但无相对滑动，故摩擦力不做功。动，故摩擦力不做功。2.理想约束力理想约束力不做功。不做功。b.对转动部分对转动部分四、内力功四、内力功1.虽然内力成对出现（即大小相等、方向相反），但力作用点虽然内力成对出现（即大小相等、方向相反），但力作用点之间的距离可能改变，故内力功之和可以不为零。如引力。之间的距离可能改变，故内力功之和可以不为零。如引力。2.刚体间的理想约束做功之和为零。刚体间的理想约束做功之和为零。普遍定理的综合应用普遍定理的综合应用 动量定理、动量矩定理与动能定理统称为动力学普遍定理。动量定理、动量矩定理与动能定理统称为动力学普遍定理。动量定理给出了质点系动量的
25、变化与外力之间的关系，可用于求解动量定理给出了质点系动量的变化与外力之间的关系，可用于求解质心运动或某些外力。质心运动或某些外力。动量矩定理描述了质点系动量矩的变化与外力矩之间的关系，动量矩定理描述了质点系动量矩的变化与外力矩之间的关系，可用于具有转动特性的质点系，求解角加速度等运动量或某些外力。可用于具有转动特性的质点系，求解角加速度等运动量或某些外力。动能定理建立了质点系动能的变化与作功的力之间的关系，动能定理建立了质点系动能的变化与作功的力之间的关系，可用于复杂的质点系、刚体系统，求解运动或力。应用动量定理和可用于复杂的质点系、刚体系统，求解运动或力。应用动量定理和动量矩定理的优点是不必
26、考虑系统的内力；应用动能定理的好处是动量矩定理的优点是不必考虑系统的内力；应用动能定理的好处是理想约束力所作之功为零，因而不必考虑。理想约束力所作之功为零，因而不必考虑。在很多情形下，需要综合应用这三个定理，才能得到问题的在很多情形下，需要综合应用这三个定理，才能得到问题的解答。另外，这三个定理都存在不同形式的守恒形式，也要给予特解答。另外，这三个定理都存在不同形式的守恒形式，也要给予特别的重视。别的重视。12-20 均质杆均质杆OC长长L，质量为，质量为m，某瞬时以角速度，某瞬时以角速度绕绕O转转 动。设：（）圆盘与杆固结不能相对运动；（）圆盘与动。设：（）圆盘与杆固结不能相对运动；（）圆盘与杆端用光滑销钉连杆端用光滑销钉连 接。又设圆盘是均质的接。又设圆盘是均质的，质，质 量为量为m，半径为半径为R，初始角速度为零。试求此时（）、（）两种情，初始角速度为零。试求此时（）、（）两种情况下系统的动量、动能及对况下系统的动量、动能及对O的动量矩。的动量矩。