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1、4.1 线性方程组的基本概念一、线性方程组的几种表示形式二、线性方程组解的存在性与惟一性三、等价的线性方程组第1页/共15页 下面将讨论一般线性方程组。在第一章中，讨论了方程的个数与未知量的个数相等的 而实际问题中，方程组的方程个数与未知量的个数 不一定相等。一、线性方程组的几种表示形式方程组，需要探讨的问题(1)方程组是否有解?(2)如果有解，是否惟一?(3)如何求解?第2页/共15页其中为未知量，是第 i 个方程第 j 个未知量 xj 的系数，1.线性方程组的一般形式为常数项。若常数项不全为 0，称为非齐次线性方程组；定义否则称为齐次线性方程组(或者导出组)。一、线性方程组的几种表示形式
2、P109 P123 第3页/共15页1.线性方程组的一般形式一、线性方程组的几种表示形式称为增广矩阵。2.线性方程组的矩阵形式简记为A 称为系数矩阵，其中 P111 第4页/共15页1.线性方程组的一般形式一、线性方程组的几种表示形式2.线性方程组的矩阵形式3.线性方程组的向量形式令对于线性方程组则得到向量形式为即将右端项表示成系数阵的列向量的线性组合 P111 第5页/共15页1.线性方程组解的存在性二、线性方程组解的存在性与惟一性线性方程组 A X=b 有解的充要条件是定理证明必要性若 A X=b 有解，则 b 可由 线性表示，故向量组 与 等价，即得P112 定理4.2(1)第6页/共1
3、5页充分性1.线性方程组解的存在性二、线性方程组解的存在性与惟一性线性方程组 A X=b 有解的充要条件是定理证明故 b 可由 的线性表示，则 的极大线性无关组也是若即得 A X=b 有解。的极大线性无关组，第7页/共15页1.线性方程组解的存在性二、线性方程组解的存在性与惟一性2.线性方程组解的惟一性即 A X=b 的解是惟一的。设 则 A X=b 有惟一解。定理证明由 知 A X=b 有解，即存在 ，使得(1)若则 线性无关，故 b 只能由 的惟一地线性表示，P112 定理4.2(2)第8页/共15页1.线性方程组解的存在性二、线性方程组解的存在性与惟一性2.线性方程组解的惟一性证明故 A
4、 X=b 的解不惟一。设 则 A X=b 有惟一解。定理(2)若线性相关，即存在不全为零的 ，使得可见 也是 A X=b 的解，则第9页/共15页1.线性方程组解的存在性二、线性方程组解的存在性与惟一性2.线性方程组解的惟一性对于线性方程组 A X=b，有(线性方程组解的判定)综合(2)当 时，方程组有唯一解;(1)当 时，方程组有无穷多解;(3)当 时，方程组有无解。其中第10页/共15页有非零解有非零解二、线性方程组解的存在性与惟一性3.关于齐次线性方程组的一些结论(3)若 m=n，即 A 为方阵，则(1)一定有(零)解。则必有非零解。(2)只有零解只有零解因为特别，若 m n，即方程的个
5、数小于未知量的个数，补 对于齐次线性方程组 有如下结论：第11页/共15页三、等价的线性方程组若存在可逆矩阵 P，使 P A=B，则线性方程组若两个线性方程组同解，则称它们等价。定义定理证明A X=b 与 B X=P b 等价(同解)。由由故线性方程组 A X=b 与 B X=P b 等价。P111 定义4.1 P111 定理 4.1 第12页/共15页三、等价的线性方程组 定理的重要意义则线性方程组 A X=b 与 B X=P b 同解(即解不变)。称此为线性方程组同解变形。思考可否进行列初等变换？它是后面(高斯)消元法的基础。若行初等变换第13页/共15页 轻松一下吧第14页/共15页感谢您的观看！第15页/共15页