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1、 解三角形三角形形状的判定、周长面积最值、实际应用第一讲 三角形形状的判定（核心思想边角互化）1判定三角形形状通常有两种途径：一是利用正弦定理、余弦定理化边为角（如，等），利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断，此时需要注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，要时刻注意这个结论；二是利用正弦定理、余弦定理化角为边（如，等），通过代数恒等变换（因式分解、配方等），求出三边的关系进行判断需要注意以下几点：（1）判断三角形的形状，要判断出是否是等边三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形、锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别（2）根据余弦定理判断三角形形
2、状时，当，中有一个关系式成立时，该三角形为钝角三角形；而当，中一个关系式成立时，并不能得出该三角形为锐角三角形的结论（3）在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应提取公因式，以免漏解2三角形形状的判定：在中，分别为角，的对边，为的外接圆的半径，则（1） 为直角三角形（）；为锐角三角形，但是能推出为锐角（需判断3次，即对角，分别判断，即，为锐角三角形）；当，中一个关系式成立时，并不能得出该三角形为锐角三角形的结论；是以为钝角的钝角三角形口诀：大锐小钝（2）若，则为等腰三角形或以为直角的；（3）若，则为等边三角形；（4）若，则为以为直角的；（5）若，则为以为直角的；（1）利用余弦定理易证
3、，（2）（3）（4）利用正弦定理易证，（5）利用正弦定理或射影定理易证（6）若，则为以为直角的证明：证法一：一角换两角，随后展开（三角恒等变换）思路1：，即，因为，从而，思路2：，因为，所以，即，所以，证法二：（正余弦定理角化边），整理得，即，为【例1】（1）在中，满足，则这个三角形是A正三角形B等腰三角形C锐角三角形D钝角三角形（2）在中，已知，则是A锐角三角形 B钝角三角形C直角三角形 D直角三角形或钝角三角形（3）在中，若，且，则是A等边三角形 B等腰三角形但不是等边三角形C等腰直角三角形 D直角三角形但不是等腰三角形（4）在中，已知，那么这个三角形一定是A等边三角形 B直角三角形C等腰
4、三角形 D等腰直角三角形【解析】（1）法一：在中，满足，、都是锐角，再由，可得为钝角，故由三角形内角和公式可得为锐角综上可得这个三角形是锐角三角形故选：法二（切化弦）：在中，满足，、都是锐角，再由，可得，为钝角，故由三角形内角和公式可得为锐角综上可得这个三角形是锐角三角形故选：（2）在中，已知，故选：（3）在中，再由，可得，故是等边三角形，故选：（4）法一（角化边）：，因为，为三角形的边长，是等腰三角形故选：法二（边化角）：由正弦定理得，所以，所以，所以，即，是等腰三角形故选【或，即，所以，即】【例2】已知，分别是的三个内角、的对边（1）若，试判断的形状（2）若面积为，求，的值【解析】（1）法
5、一（边化角）：，由正弦定理得：，即，或，即或为等腰三角形或直角三角形法二（角化边）：由得，整理得，当时，为等腰三角形；当时，为直角三角形综上可知为等腰三角形或直角三角形（2）面积为，由余弦定理可得，【例3】在中，“”，试判断三角形的形状【解析】法一（局部边化角）：，整理求得，即：，或，是等腰或法二（边化角）：，由正弦定理，得，利用两角和差的正弦公式展开，整理有，即，又，为三角形的内角，或，或故是等腰三角形或直角三角形法三（角化边）：，利用正弦定理，得，再将，代入上式，得，即，或，或，故是等腰三角形或直角三角形【评注】（1）要判断三角形的形状，必须深入研究边与边的长短关系：是否两边相等？是否三边
6、相等？是否符合勾股定理？还要研究角与角的大小关系：是否两个角相等？是否三个角相等？有无直角或钝角？（2）解题的方法是：从条件出发，利用正、余弦定理等进行代换、转化、化简、运算，找出边与边的关系或角与角的关系，从而作出正确判断（3）一般有两种转化方向：要么转化为边，要么转化为角（4）判断三角形形状时，用边做、用角做均可一般地，题目中给的是角，就用角做；给的是边，就用边做，边、角之间的转换可灵活运用正弦定理或余弦定理（5）或，不要丢解【例4】中，求证：【解析】证明：由正弦定理可得，同理可得，左边右边第二讲 解三角形综合运用解三角形可以和其他知识综合起来进行考查，比如与三角恒等变换结合，与平面几何图
7、形结合，与向量结合等解三角形的应用中经常用到函数与方程思想，“知三求一”指的是在解三角形中若知道3个量就可以求解三角形中任一量，但当三角形中不能直接得到3个量时，那么我们需要通过相关三角形（由公共边，公共角，相邻等）建立更多的等量关系，并且尽可能减少未知数解法突破：在高考试题中，考查三角形中有关边、角、面积的问题一般有如下三种形式：形式1（三角恒等变换问题）：此类问题的题设一般都是边角混合的式子，应综合运用正、余弦定理，三角形内角和定理以及三角恒等变换的知识进行边角互化而正弦定理和余弦定理是沟通三角形的边角关系的重要工具，是实现三角形边角互化的重要桥梁和纽带，若已知等式中左右都有边，一般利用正
8、弦定理将边的关系转化为角的关系；若已知等式两边都有角的正弦，也可利用正弦定理将角的关系转化为边的关系；否则可考虑用余弦定理形式2（平面几何图形问题）：画出图形，将题设已知、未知量显示于图形中，建立已知、未知关系，利用三角知识求解此类问题需结合图形，并根据题设条件合理选取正、余弦定理，将边、角进行互化，并要注意三角形内角和定理的应用如果题设是四边形，则需根据题意将其分割成几个三角形，再利用正弦定理、余弦定理及三角形面积公式求解，反复使用正弦定理、余弦定理突破四边形问题的关键；如果题设是关于解三角形的实际应用问题（如测量问题、航海问题等），则需将实际问题中的要素归入到一个或几个相互关联的三角形中，
9、再合理运用正、余弦定理正确求解，并注意检查结果是否具有实际意义形式3（平面向量问题）：此类问题是将向量作为一种“包装”试题的工具，只要利用平面向量有关知识（尤其是线性运算、数量积、平行、垂直及它们的坐标表示）将向量问题转化为三角函数问题，再按“形式1”或“形式2”求解即可此外，还需理解以下三点：（1）解三角形要具备三个条件，且其中至少有一个与边有关系；（2）正弦定理可用来解决如下问题：知两角一边，求其他边或角；知两边及一对角，求另一对角（知小角求大角两解，知大角求小角一解）及其他边或角；（3）余弦定理可用来解决如下问题：知三边，求角；知两边及夹角，求第三边；知两边及一对角，求第三边（当三角形内
10、角为特殊角时，还可以使用正弦定理求出第二个角后，利用三角形内角和定理求得第三个角，然后再次使用正弦定理求出第三边）考点1 解三角形与三角恒等变换结合运用正、余弦定理，三角形内角和定理以及三角恒等变换的知识进行边角互化【例5】（2011山东文17）在中，内角，的对边分别为，已知（1）求的值；（2）若，的周长为5，求的长【解析】（1）因为，所以，即：，所以，即，所以；（2）由（1）可知，解可得，；所以【例6】（2017新课标理17）的内角，的对边分别为，已知的面积为（1）求；（2）若，求的周长【解析】（1）由三角形的面积公式可得，由正弦定理可得，；（2），周长【评注】面积公式用均可【例7】（202
11、1新高考18）在中，角，所对的边长为，（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【解析】（1），根据正弦定理可得，在中，运用余弦定理可得，（2），为钝角三角形时，角必为钝角，三角形的任意两边之和大于第三边，即，即，为正整数，【例8】（2012新课标理17）已知，分别为三个内角，的对边，（1）求；（2）若，的面积为，求，【解析】（1）由正弦定理得：，即，即，；（2）若，的面积，再利用余弦定理可得：，结合求得考点2 解三角形与平面几何图形结合画出图形，将题设已知、未知量显示于图形中，建立已知、未知关系，利用三角知识求解【例9】在如图所示的四边形
12、中，已知，设，点到的距离为（1）求（用表示）；（2）求的最大值【解析】（1）由已知得：，（1分）如图所示，过点作，垂足为点在中，由正弦定理可得：，（3分），（4分）又，且，（6分）（2）法一：在中，（7分）（8分）（10分），（11分）当时，取到最大值（12分）法二：在中，在中，由正弦定理可得：，解得在中，由正弦定理可得：，当，即时，取最大值【例10】（2013新课标理17）如图，在中，为内一点，（1）若，求；（2）若，求【解析】（1）在中，在中，由余弦定理得（2）设，在中，在中，由正弦定理得，即，化为【例11】（2014北京理15）如图，在中，点在边上，且，（1）求；（2）求，的长【解析】（
13、1）在中，则（2）在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，即【例12】（2014湖南理18）如图，在平面四边形中，（1）求的值；（2）若，求的长【解析】（1）（2），由正弦定理知，【例13】（2001全国文19改编）如图，已知圆内接四边形的边长分别为，（1）求角的度数；（2）求四边形的面积及外接圆半径（3）四边形内接于圆的条件去除，如右图所示，当四边形的面积最大时，求对角线的长【解析】（1）如图，连接，由题设及余弦定理得在中，在中，由可得：，又四边形内接于圆，则又，所以：，化简可得：，又，所以，（2）在中，可得：，可得由正弦定理可得四边形的外接圆半径（3）设四边形的面积为，则，可得：，可得：，
14、可得：，平方后相加，可得：，即：，又，当时，有最大值，即有最大值此时，代入，可得：，又，可得：，在中，可得：，可得【例14】（2015四川理19）如图，、为平面四边形的四个内角（1）证明：；（2）若，求的值【解析】证明：（1）等式成立（2）由，得，由（1）可知：，连接，在中，有，在中，有，所以，则：于是，连接，同理可得：，于是所以【例15】（2015新课标理17）中，是上的点，平分，面积是面积的2倍（1）求；（2）若，求和的长【解析】（1）如图，过作于，平分，在中，在中，；（2）由（1）知，过作于，作于，平分，令，则，由余弦定理可得：，的长为，的长为1【例16】凸四边形中，其中、为定点，、为动
15、点，满足（1）写出与的关系式；（2）设和的面积分别为和，求的最大值，以及此时凸四边形的面积【解析】（1）在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，即；（2）根据题意得：，当时，有最大值，此时考点3 解三角形与平面向量结合利用平面向量的数量积，将向量转化为数量，即转化为三角函数关系，再利用三角恒等变换知识求解【例17】（2015陕西理17）的内角，所对的边分别为，向量与平行（1）求；（2）若，求的面积【解析】（1）因为向量与平行，所以，由正弦定理可知：，因为，所以，可得；（2），由余弦定理可得：，可得，解得，的面积为：【例18】（2014辽宁理17）在中，内角、的对边分别为，且，已知，求：（1
16、）和的值；（2）的值【解析】（1），即，由余弦定理得：，即，联立得：，；（2）在中，由正弦定理得：，为锐角，则【例19】中，、分别是三内角、的对边，若解答下列问题：（1）求证：；（2）求的值；（3）若，求的面积【解析】证明：（1）因，故，即由正弦定理，得，故，因为，故，故（2）因，故，由余弦定理得，即；又由（1）得，故，故（3）由得，即，故，因，故，故是正三角形，故面积【例20】如图，在中，点在线段上，且，（1）求的长；（2）求的面积【解析】（1）法一：因为，所以在中，设，则由余弦定理，可得，在和中，由余弦定理，可得，因为，所以，所以由，可得，即法二：由，得点在线段上，且，由三点共线定理，得，
17、两边平方得，又，化简整理得，解得法三：过点作交于点，在中，由余弦定理得，其中，化简整理得，解得，则（同理，也可作的平行线求解） （2）由（1）得的面积为，所以的面积为第三讲 解三角形中周长、面积等与范围有关的问题（最值问题）已知三角形的一边和它的对角，可以求三角形周长、面积或一些表达式的最值，解决这类问题通常有两种方法，一种是根据正弦定理，一种是根据余弦定理如：在中，已知，求周长和面积的最值：方法一（正弦定理+辅助角公式）：由正弦定理得，可得，则，然后利用辅助角公式，结合角度的取值范围（三角函数的有界性），可以求解方法二（余弦定理+基本不等式）：由余弦定理得，得出一个关于，的等式，然后根据基本
18、不等式、二次函数等可以求解方法三（解析几何法）：由外接圆，阿波罗尼斯圆，椭圆，双曲线等曲线的几何性质去求解三角形面积公式在中，分别为角，的对边，分别是三角形外接圆、内切圆的半径，则：1，分别表示边上的高234此结论为三角形面积的向量式，其中，5（海伦公式）其中半周长证明：在中，由余弦定理得，则，所以，6（，分别是三角形外接圆、内切圆的半径）789四边形面积公式1平行四边形面积公式（是平行四边形边上的高）；（是相邻两边所成的角）；向量形式：，其中，2任意四边形面积公式（，是对角线长，是对角线夹角）简证：设四边形的对角线（）与（）相交于点，则考点1 或者的取值范围【例21】（2015湖南理19）设
19、的内角、的对边分别为、，且为钝角（1）证明：；（2）求的取值范围【解析】（1）由和正弦定理可得，即，又为钝角，；（2）由（1）知，由二次函数可知，的取值范围为【例22】（2010辽宁理17）在中，分别为内角，的对边，且（1）求的大小；（2）求的最大值【解析】（1）设，则，方程两边同乘以，整理得，由余弦定理得，故，；（2）由（1）得：，故当时，取得最大值1【例23】已知的内角、的对边分别为、，且，成等差数列（1）求证：；（2）设，求的最大值；（3）若，求周长的最大值；（4）若，求的面积的最大值【解析】（1）法一（正弦定理）：由题意得，利用正弦定理化简得：，又，则，所以，所以，而，所以，从而当，即
20、时，取得最小值，所以，再由正弦定理得，；法二（余弦定理）：由题意得，由余弦定理有，即，所以，所以（当且仅当时等号成立），所以，即；法三（分析法）：要证，只需证，即证，而由余弦定理有，只需证，即证，而不等式显然成立，当且仅当时等号成立，故原不等式成立；（2）法一：由（1）知，而，所以，于是当，即时，取得最大值为1，此时的最大值为；法二：因为（当且仅当时等号成立），再结合正弦定理得（当且仅当时等号成立），即的最大值为；（3），由正弦定理得：，即，即，周长为，即，则周长的最大值为6（4），由余弦定理可得：（当且仅当成立），的面积考点2 周长的取值范围【例24】（2011新课标理16）在中，则的最大值
21、为 【解析】法一：设，由余弦定理有，所以，设，代入上式得，故，当时，此时，符合题意，因此最大值为；法二：因为，所以，由正弦定理，有，所以，所以，（其中，所以的最大值为故答案为：【例25】锐角的内角，所对的边分别为，向量与平行（1）求角；（2）若，求周长的取值范围【解析】（1）因为：，所以：，由正弦定理，得：，又因为：，从而可得：，由于：，所以：（2）因为：由正弦定理知，可得：三角形周长，又因为：，所以：，因为：为锐角三角形，所以：，所以：【例26】在中，、所对的边分别是、，且满足（1）求的大小；（2）若，求周长的取值范围【解析】（1）由余弦定理得：，即，代入已知等式得：，即，则；（2），由余弦
22、定理得：，即，再由得到：，则周长的范围为【例27】（2020新课标理17）中，（1）求；（2）若，求周长的最大值【解析】（1）设的内角，所对的边分别为，因为，由正弦定理可得，即为，由余弦定理可得，由，可得；（2）法一：由题意可得，又，可设，由正弦定理可得，可得，则周长为，当，即时，的周长取得最大值法二：，又，由，则（当且仅当时，“”成立），则周长的最大值为法三：根据正弦定理，得，故周长的最大值为考点3 面积的取值范围【例28】（2019新课标理18）的内角、的对边分别为，已知（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围【解析】法一：（1），即为，可得，若，可得，不成立，由，可得；（2）
23、若为锐角三角形，且，由余弦定理可得，由三角形为锐角三角形，可得且，且，解得，可得面积法二：（1）由题意及正弦定理得，因为，所以，由，可得，故，因为，所以，因此；（2）由题设及（1）知的面积为，由正弦定理得，由于为锐角三角形，故，由（1）知，所以，故，从而，因此面积的取值范围是【例29】（2013新课标理17）在内角、的对边分别为，已知（1）求；（2）若，求面积的最大值【解析】（1）由已知及正弦定理得：，即，为三角形的内角，；（2），由已知及余弦定理得：，整理得：，当且仅当时，等号成立，则面积的最大值为【例30】在中，角、所对的边分别为，（1）求角的大小；（2）如果，求 的面积及的最小值【解析】
24、（1）由正弦定理得：，即，（4分），（6分）（2），即，从而，（8分）（10分），即的最小值为2（12分）【例31】已知的面积且，求面积的最大值【解析】由余弦定理得，则，因为，所以，即，则，所以，则，因为，所以的面积，当且仅当时取等号，此时面积的最大值是【例32】在内角，的对边分别为，已知（1）求；（2）若，求面积的最大值（3）若，求周长的取值范围【解析】（1）在中，化为：，可得：，（2），由余弦定理可得：，当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立面积的最大值为（3）由（1）知，由正弦定理可得：，即有，解得：，可得：，的周长【例33】在中，三边，所对应的角分别是，已知，成等比数列（1）若，求角的
25、值；（2）若外接圆的面积为，求面积的取值范围【解析】（1）由题意得，（2分），成等比数列，由正弦定理有，（3分），得，即，（5分）由知，不是最大边，（6分）（2）外接圆的面积为，的外接圆的半径，（7分）由余弦定理，得，又，当且仅当时取等号，为的内角，（9分）由正弦定理，得，（10分）的面积，（11分），（12分）【评注】由“余弦定理+基本不等式”来求解角的范围【例34】（2015山东理16）设（1）求的单调区间；（2）在锐角中，角，的对边分别为，若，求面积的最大值【解析】（1）由题意可知，由，可解得：，；由，可解得：，；所以的单调递增区间是，；单调递减区间是：，；（2）由，可得，由题意知为锐角
26、，所以，由余弦定理，可得：，即，且当时等号成立因此，所以面积的最大值为【例35】（2013福建文21）如图，在等腰直角中，点在线段上，（1）若，求的长；（2）若点在线段上，且，问：当取何值时，的面积最小？并求出面积的最小值【解析】（1）在中，由余弦定理可得，解得的长为1或3；（2）设，在中，由正弦定理可得：，同理，故，因为，所以，所以当时，的最大值为1，此时，的面积最小，面积的最小值第四讲 解三角形实际应用问题1实际应用问题中有关的名称、术语：（1）仰角和俯角目标视线与水平线所成的夹角目标视线在水平线上方的角叫做仰角，目标视线在水平线下方的角叫做俯角（如图）（2）方位角（）从北方向线顺时针方向
27、旋转到目标方向线所成的最小正角，叫做方位角，方位角的范围是，如B点的方位角为（如图）（3）方向角（）正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北（南）偏东（西）多少度；方向角是方位角的另一个常用表示形式方向角的范围是北偏东，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向（如图）；北偏西，即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；南偏西等其他方向角类似（4）坡角与坡度坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图，角为坡角）；坡度：坡面的铅直高度与水平宽度之比（如图，为坡度），坡度又称为坡比2解三角形实际应用题的步骤应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤是：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图
28、；（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解；（4）检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解考点1 测量长度（距离）问题距离问题的解题思路：这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解注意：基线的选取要恰当准确；选取的三角形及正、余弦定理要恰当；选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解；若有未知量，则把未知
29、量放在另一确定的三角形中求解；确定用正弦定理还是余弦定理，如都可用，就选便于计算的定理【例36】（2009海南理17）为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和，间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；用文字和公式写出计算，间的距离的步骤【解析】方案一：需要测量的数据有：点到、点的俯角、；点到、点的俯角、；、的距离，如图所示：第一步：计算由正弦定理；第二步：计算由正弦定理；第三步：计算由余弦定理方案二：需要测量的数据有：点到、点的俯角、；点到、点的俯角、；、的距离（如图所示）第一步
30、：计算由正弦定理；第二步：计算由正弦定理；第三步：计算由余弦定理【例37】（2014四川文8）如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，此时气球的高度是，则河流的宽度等于ABCD【解析】如图，在中，又，在中，河流的宽度等于故选：【例38】（2011上海理6）在相距2千米的、两点处测量目标点，若，则、两点之间的距离为千米【解析】法一：由点向作垂线，垂足为，设，在中，（千米），答：、两点之间的距离为千米故答案为：法二（正弦定理）：，又相距2千米的、两点，解得，答：、两点之间的距离为千米故答案为：【例39】（2009辽宁理17）如图，、都在同一个与水平面垂直的平面内，、为两岛上的两座灯塔的
31、塔顶测量船于水面处测得点和点的仰角分别为，于水面处测得点和点的仰角均为，试探究图中，间距离与另外哪两点间距离相等，然后求，的距离（计算结果精确到，【解析】在中，所以又，故是底边的中垂线，所以，在中，可得，即，因此，故、的距离约为【例40】（2013江苏18）如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，（1）求索道的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为
32、使两位游客在处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【解析】（1）在中，因为，所以，从而由正弦定理，得答：索道的长为（2）假设乙出发分钟后，甲、乙两游客距离为，此时，甲行走了，乙距离处，所以由余弦定理得，因，即，答：当时，甲、乙两游客距离最短（3）由正弦定理，得，乙从出发时，甲已经走了，还需走才能到达设乙步行的速度为，由题意得，解得，答：为使两位游客在处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在范围内考点2 测量高度问题高度问题的解题思路：要理解仰角、俯角、坡度、坡角等概念；如果在求解空间长度问题时，需要研究在某一个平面内几何元素之间的关系，则需单独画出这一平面内的
33、几何图形；注意山或塔垂直于地平面或海平面，可将空间问题转化为平面问题解决易错点：图形中为空间关系，极易当做平面问题处理，从而致错；对仰角、俯角等概念理解不够深入，从而把握不准已知条件而致错【例41】（2021甲卷8）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一如图是三角高程测量法的一个示意图，现有，三点，且，在同一水平面上的投影，满足，由点测得点的仰角为，与的差为100；由点测得点的仰角为，则，两点到水平面的高度差约为A346B373C446D473【解析】过作于，过作于，则，则在中，在中，由正弦定理知，故选：【例4
34、2】（2021乙卷9）魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高如图，点，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”， 称为“表距”， 和都称为“表目距”， 与的差称为“表目距的差”，则海岛的高A表高B表高C表距D表距【解析】法一：，故，即，解得，故表高法二：因为，所以，所以，因为，所以，所以，又因为，所以，由题设中信息可得，表目距的差为，表高为，表距为，则上式可化为，表目距的差，所以，故选法三：如图所示，连接并延长交于点，故选：法四：连接并延长交于点，则，设，则，又，所以，因为，所以，所以，又易知，所以，所以海岛的高，故选【例43】（2
35、015湖北理13）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度【解析】设此山高，则，在中，根据正弦定理得，解得，故答案为：【例44】（2014新课标文16）如图，为测量山高，选择和另一座的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得，已知山高，则山高 【解析】中，中，由正弦定理可得，解得中，故答案为：150考点3 测量角度问题角度问题的解题方法：首先应明确方位角及方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，求角的大小时，先在三角形中求出其三角函数值；再根据题意正确画出
36、示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点【例45】（2010陕西理17）一艘从南京驶往重庆的客船“东方之星”在长江中游湖北监利水域遭遇龙卷风翻沉如图所示，是江面上位于东西方向相距千米的两个观测点现位于点北偏东，点北偏西的客船东方之星（点）发出求救信号，位于点南偏西且与点相距千米的点的救援船立即前往营救，其航行速度为30千米每小时，该救援船到达点需要多长时间？【解析】由题意知，在中，由正弦定理得：，又在中由余弦定理得：，救援船到达时间为（小时）答：该救援船到达点需要1小时【例46】（2008湖南理18）
37、在一个特定时段内，以点为中心的7海里以内海域被设为警戒水域点正北55海里处有一个雷达观测站某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点北偏东且与点相距海里的位置，经过40分钟又测得该船已行驶到点北偏东（其中，且与点相距海里的位置（1）求该船的行驶速度（单位：海里小时）；（2）若该船不改变航行方向继续行驶判断它是否会进入警戒水域，并说明理由【解析】（1）如图，由于，所以由余弦定理得所以船的行驶速度为（海里小时）（2）如图所示，设直线与的延长线相交于点在中，由余弦定理得，从而在中，由正弦定理得，由于，所以点位于点和点之间，且过点作于点，则为点到直线的距离在中，所以船会进入警戒水域 【例47】（2007山
38、东理20）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西的方向处，此时两船相距20海里当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？【解析】如图，连接，是等边三角形，在中，由余弦定理得，因此乙船的速度的大小为答：乙船每小时航行海里【例48】（2007海南理17）如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高【解析】在中，由正弦定理得所以在中，【例49】（2002全国华侨、港澳、台联考23）在高出海面的小岛处，看到正东方有一只船，俯角为，又看到正西方偏南的方向有另一只船，俯角为，求、两船的距离【解析】由题意画出图形如图所示，即、两船的距离为解三角形三角形形状的判定、周长面积最值、实际应用