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1、专题12 解三角形中的周长、面积和其他元素的最值或范围问题-临考冲刺2023届高考数学重要考点与题型终极满分攻略专题12 解三角形中的周长、面积和其他元素的最值或范围问题目录类型一：求三角形的周长1类型二：三角形周长范围或最值2类型三：求三角形的面积3类型四：三角形面积的范围或最值3类型五：其他元素的范围或最值4满分策略：1.正弦定理+角的范围2.余弦定理+基本不等式类型一：求三角形的周长典型例题：在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2acosB+b=2c.(1)求角A;(2)若D为BC边的中点,且AD=13,AC=2,求ABC的周长.【答案】(1)A=3(2)8+27试题分
2、析：(1)由正弦定理将边化角,然后利用内角和定理将sinC转化成sinA+B即可求解;(2)分别在两个三角形中用余弦定理即可求解出各边长,从而求出周长.详细解答：（1）在ABC中因为2acosB+b=2c,由正弦定理得2sinAcosB+sinB=2sinC,所以2sinAcosB+sinB=2sin(A+B)=2sinAcosB+2sinBcosA,即sinB=2sinBcosA,又因为A,B0,sinB0,所以cosA=12,所以A=3.（2）取AB边的中点E,连接DE,则DE/AC，且DE=12AC=1,AED=23，在ADE中,由余弦定理得:AD2=AE2+DE2-2AEDEcos23
3、=13,解得AE=3,所以AB=6.在ABC中,由余弦定理得:BC=AB2+AC2-2ABACcosA=62+22-26212=27所以ABC的周长为8+27.题型专练：1（2023内蒙古赤峰统考二模）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知ccosB+bcosC=2acosA，a=2，ABC的面积为3，则ABC的周长是（）A4B6C8D182（2023春江苏镇江高一江苏省扬中高级中学校联考期中）在ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C所对的边，若(3b-c)cosA-acosC=0.(1)求cosA；(2)若a=23，且ABC的面积SABC=32，求BABC的值；(3)若b
4、=3，且sinBsinC=23，求ABC的周长.3（2023黑龙江大庆统考三模）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知3b=a3cosC-sinC.(1)求A；(2)若a=8，ABC的内切圆半径为3，求ABC的周长.4（湖南省永州市2023届高三三模数学试题）在ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c 且ccosA+3csinA=a+b.(1)求C的值；(2)若AB边上的点M满足BM=2MA，c=3，CM=7，求ABC的周长.5（2023春河北衡水高三衡水市第二中学期末）记ABC的内角A,B,C的对边分别为a、b、c.设3b=c+3a.(1)若A=6，求B；(2)若c=1，c
5、osC=15求ABC的周长.6（2023江西南昌校联考模拟预测）在3absinC=4ABAC；a3sinB+4cosB=4c，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，_.(1)求sinA的值；(2)若ABC的面积为2，a=4，求ABC的周长.注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.类型二：三角形周长范围或最值典型例题：已知ABC的面积为S，角A,B,C所对的边为a,b,c点O为ABC的内心，b=23且S=34(a2+c2-b2)(1)求B的大小；(2)求AOC的周长的取值范围【答案】(1)B=3(2)43,4+23试题分析：
6、（1）利用三角形的面积公式及余弦定理，结合同角三角函数的商数关系及三角函数的特殊值，注意角的范围即可求解；（2）根据（1）的结论及三角形内心的定义，利用正弦定理及两角差的正弦公式，结合辅助角公式及角范围的变化，再利用正弦函数的性质即可求解详细解答： （1）因为S=34(a2+c2-b2)=12acsinB，所以342accosB=12acsinB，即3cosB=sinB，可得tanB=3，因为B(0,)，所以B=3（2）设AOC周长为l，OAC=，如图所示，由（1）知B=3，所以0BAC23，可得00，故cosB+1=3sinB，所以3sinB-cosB=2sin(B-6)=1，则sin(B-
7、6)=12，由-6B-60的焦点为F，且F与圆M:x2+y+32=1上点的距离的最小值为3.(1)求p；(2)若点P在圆M上，PA，PB是抛物线C的两条切线，A,B是切点，求三角形PAB面积的最大值.23（2023贵州黔东南凯里一中校考三模）已知直线y=kx+1与抛物线C：x2=8y交于A，B两点，分别过A，B两点作C的切线，两条切线的交点为D(1)证明点D在一条定直线上；(2)过点D作y轴的平行线交C于点E，求ADE面积的最小值24（四川省遂宁市2023届高三三诊考试数学（理）试题）在ABC中，角A,B,C所对的边分别a,b,c，且bcosA+acosB=2ccosA(1)求角A的值；(2)
8、已知D在边BC上，且BD=3DC,AD=3，求ABC的面积的最大值25（2023山东日照山东省日照实验高级中学校考模拟预测）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3asinB=2bcos2B+C2(1)求角A的大小；(2)若BC边上的中线AD=1，求ABC面积的最大值26（2023河北张家口统考一模）在ABC中，2cos2A+8sin2A2=1(1)求A；(2)如图，D为平面ABC上ABC外一点，且CD=1，BD=3，若AC=AB，求四边形ABDC面积的最大值27（2023河南新乡统考二模）如图，在ABC中，D，E在BC上，BD=2，DE=EC=1，BAD=CAE(1)求sinAC
9、BsinABC的值；(2)求ABC面积的取值范围类型五：其他元素的范围或最值典型例题：已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA+3sinA=b+ac(1)求角C；(2)设BC的中点为D，且AD=3，求a+2b的取值范围【答案】(1)C=3(2)23,43试题分析：（1）已知等式，由正弦定理和两角和的正弦公式化简，可求角C；（2）设CAD=，由正弦定理，把a+2b表示成的三角函数，利用三角函数的性质求取值范围.详细解答：（1）ABC中，cosA+3sinA=b+ac，由正弦定理得cosA+3sinA=sinB+sinAsinC所以sinCcosA+3sinAsinC=sinB
10、+sinA，即sinCcosA+3sinAsinC=sinA+C+sinA=sinAcosC+sinCcosA+sinA，所以3sinAsinC=sinAcosC+sinA；又A0,，则sinA0，所以3sinC-cosC=1，则有sinC-6=12，又因为C0,，则C-6=6，即C=3；（2）设CAD=，则ACD中，由C=3可知0,23，由正弦定理及AD=3可得CDsin=ACsin23-=ADsin3=2，所以CD=2sin，AC=2sin23-，所以a+2b=4sin+4sin23-=6sin+23cos=43sin+6，由0,23可知，+66,56，sin+612,1，所以a+2b23
11、,43即a+2b的取值范围23,43.题型专练：28（2023河北校联考二模）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b=7，且a+bc=sinA-sinCsinA-sinB.(1)求ABC的外接圆半径R；(2)求ABC内切圆半径r的取值范围.29（2023山东菏泽统考二模）记ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知ABC的外接圆半径R=22，且tanB+tanC=2sinAcosC.(1)求B和b的值；(2)求AC边上高的最大值.30（2023山东校联考二模）已知ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G是ABC的重心，且AGBG=0.(1)若GAB=6，求tan
12、GAC的值；(2)求cosACB的取值范围.31（2023全国学军中学校联考二模）设xR，函数fx=cosx+0,-20的最小正周期为，且fx图象向左平移6后得到的函数为偶函数.(1)求fx解析式，并通过列表描点在给定坐标系中作出函数fx在0,上的图象；(2)在锐角ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，若2a-bcosB=ccosC，求fB的值域. 32（2023云南红河统考二模）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2sinB=sinA+sinC(1)证明：0B3；(2)求sinBcos2B的最大值33（2023湖北荆门市龙泉中学校联考二模）已知在ABC中，角A、B、C
13、的对边分别是a、b、c，C=3(1)若BC边上的高等于33a，求cosA；(2)若CACB=2，求AB边上的中线CD长度的最小值34（2023山西统考二模）在锐角ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，cosC-33sinB=a2-c22ab，角A的平分线交BC于D，AD=332.(1)求A；(2)求ABC外接圆面积的最小值.35（2023广西玉林统考三模）在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cosB+bsinA=c(1)求角A的大小；(2)若a=2，ABC的面积为2-12，求b+c的值36（2023全国学军中学校联考模拟预测）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b
14、、c，且sin2C2sinAsinB.(1)求a+bc的最大值；(2)求证：在线段AB上恒存在点D，使得ADCD=CDBD.专题12 解三角形中的周长、面积和其他元素的最值或范围问题目录类型一：求三角形的周长1类型二：三角形周长范围或最值2类型三：求三角形的面积3类型四：三角形面积的范围或最值3类型五：其他元素的范围或最值4满分策略：1.正弦定理+角的范围2.余弦定理+基本不等式类型一：求三角形的周长典型例题：在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2acosB+b=2c.(1)求角A;(2)若D为BC边的中点,且AD=13,AC=2,求ABC的周长.【答案】(1)A=3(2)8
15、+27试题分析：(1)由正弦定理将边化角,然后利用内角和定理将sinC转化成sinA+B即可求解;(2)分别在两个三角形中用余弦定理即可求解出各边长,从而求出周长.详细解答：（1）在ABC中因为2acosB+b=2c,由正弦定理得2sinAcosB+sinB=2sinC,所以2sinAcosB+sinB=2sin(A+B)=2sinAcosB+2sinBcosA,即sinB=2sinBcosA,又因为A,B0,sinB0,所以cosA=12,所以A=3.（2）取AB边的中点E,连接DE,则DE/AC，且DE=12AC=1,AED=23，在ADE中,由余弦定理得:AD2=AE2+DE2-2AED
16、Ecos23=13,解得AE=3,所以AB=6.在ABC中,由余弦定理得:BC=AB2+AC2-2ABACcosA=62+22-26212=27所以ABC的周长为8+27.题型专练：1（2023内蒙古赤峰统考二模）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知ccosB+bcosC=2acosA，a=2，ABC的面积为3，则ABC的周长是（）A4B6C8D18【答案】B【分析】由正弦定理和和角公式得到cosA=12，得到A=3，由三角形面积公式得到bc=4，再利用余弦定理求出b+c=4，得到答案.【详解】ccosB+bcosC=2acosA，由正弦定理得，sinCcosB+sinBc
17、osC=2sinAcosA，又sinCcosB+sinBcosC=sinB+C=sinA，所以sinA=2sinAcosA，因为A0,，所以sinA0，故cosA=12，因为A0,，所以A=3，由三角形面积公式可得12bcsinA=34bc=3，故bc=4，由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=b+c2-2bc-a22bc=b+c2-8-48=12，解得b+c=4或-4（舍去），故三角形周长为4+2=6.故选：B2（2023春江苏镇江高一江苏省扬中高级中学校联考期中）在ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C所对的边，若(3b-c)cosA-acosC=0.(1)求cosA；(2)若a
18、=23，且ABC的面积SABC=32，求BABC的值；(3)若b=3，且sinBsinC=23，求ABC的周长.【答案】(1)13(2)62(3)6+23【分析】（1）由余弦定理统一为边，再由余弦定理求解即可；（2）由面积公式及余弦定理化简，解得b=c=3，由数量积公式计算即可得解；（3）根据三角恒等变换求出cosBcosC=13，再由两角差的余弦公式求出B=C，再由余弦定理求a即可得解.【详解】（1）(3b-c)cosA-acosC=0(3b-c)b2+c2-a22bc-aa2+b2-c22ab=0，b2+c2-a2=23bc，cosA=b2+c2-a22bc=23bc2bc=13.（2）由
19、cosA=13，可得sinA=223，SABC=12bcsinA=32，bc=9，a2=b2+c2-2bccosA，b2+c2=18，解得b=c=3，cosB=a2+c2-b22ac=33，sinB=1-13=63，BABC=acsinB=23363=62.（3）cosA=-cos(B+C)=sinBsinC-cosBcosC=13，sinBsinC=23，cosBcosC=13，cos(B-C)=sinBsinC+cosBcosC=23+13=1，由0B,0C知，-B-C,B-C=0，即b=c=3，由余弦定理，cosA=b2+c2-a22bc=13，解得a=23，a+b+c=6+23，即AB
20、C的周长为6+23.3（2023黑龙江大庆统考三模）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知3b=a3cosC-sinC.(1)求A；(2)若a=8，ABC的内切圆半径为3，求ABC的周长.【答案】(1)23(2)18【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出tanA的值，结合角A的取值范围可求得角A的值；（2）利用三角形的面积公式可得出b+c+8=12bc，结合余弦定理可求得b+c的值，即可求得ABC的周长.【详解】（1）解：因为3b=a3cosC-sinC，由正弦定理可得3sinB=sinA3cosC-sinC，因为A+B+C=，所以sinB=sinA+C=sin
21、AcosC+cosAsinC，代入式整理得3cosAsinC=-sinAsinC，又因为A、C0,，sinC0，则3cosA=-sinA0，所以3sinA=4cosA，又sin2A+cos2A=1，由A0,，sinA0，解得sinA=45.若选，由已知及正弦定理得3sinAsinB+4sinAcosB=4sinC，所以3sinAsinB+4sinAcosB=4sinA+B，所以3sinAsinB+4sinAcosB=4sinAcosB+4cosAsinB，所以3sinAsinB=4cosAsinB，又B0,，所以sinB0，所以3sinA=4cosA，又sin2A+cos2A=1，由A0,，s
22、inA0，解得sinA=45.（2）由ABC的面积为2，得12bcsinA=25bc=2，所以bc=5，由（1）可得cosA=1-sin2A=35，由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=b2+c2-1610=35，所以b2+c2=22，所以b+c=b2+2bc+c2=42，所以ABC的周长为a+b+c=4+42.类型二：三角形周长范围或最值典型例题：已知ABC的面积为S，角A,B,C所对的边为a,b,c点O为ABC的内心，b=23且S=34(a2+c2-b2)(1)求B的大小；(2)求AOC的周长的取值范围【答案】(1)B=3(2)43,4+23试题分析：（1）利用三角形的面积公式及余
23、弦定理，结合同角三角函数的商数关系及三角函数的特殊值，注意角的范围即可求解；（2）根据（1）的结论及三角形内心的定义，利用正弦定理及两角差的正弦公式，结合辅助角公式及角范围的变化，再利用正弦函数的性质即可求解详细解答： （1）因为S=34(a2+c2-b2)=12acsinB，所以342accosB=12acsinB，即3cosB=sinB，可得tanB=3，因为B(0,)，所以B=3（2）设AOC周长为l，OAC=，如图所示，由（1）知B=3，所以0BAC23，可得00，由正弦定理得到tsin2A-sin2B=sinA+BsinA-B，利用积化和差公式得到tsin2A-sin2B=sin2A
24、-sin2B，求出答案；法二：设4=at，t0，由正弦定理得到tsin2A-sin2B=sinA+BsinA-B，由三角恒等变换得到tsin2A-sin2B=sin2A-sin2B，求出答案；（2）由面积公式得到A=3，由正弦定理结合三角恒等变换得到b+c=8sinB+6，结合B的范围，求出最值.【详解】（1）法一：设4=at，t0，在ABC中，由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入已知化简得tsin2A-sin2B=sinCsinA-B，又在ABC中有：sinC=sinA+B，即tsin2A-sin2B=sinA+BsinA-B，sinA+BsinA-B=-1
25、2cos2A-cos2B=sin2A-sin2B，即tsin2A-sin2B=sin2A-sin2B，所以t=1，所以a=4.法二：设4=at，t0，在ABC中，由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入已知化简得tsin2A-sin2B=sinCsinA-B，又在ABC中有：sinC=sinA+B，即tsin2A-sin2B=sinA+BsinA-B，sinA+BsinA-B=sinAcosB+cosAsinBsinAcosB-cosAsinB=sin2Acos2B-cos2Asin2B=sin2A1-sin2B-1-sin2Asin2B=sin2A-sin2B，即tsin2A-sin2B=sin2A-sin2B，所以t=1，所以a=4.（2）在ABC中有S=12bcsinA，12bcsinA=3b2+c2-a24， sinA=3b