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1、1.2 等差数列的性质等差数列的性质复习回顾：复习回顾：1.等差数列的定义：2.通项公式：1.在等差数列在等差数列an中，中，ana1(n1)d=nd+(a1d)可以看出，当公差可以看出，当公差d=0时，该数列是常数列时，该数列是常数列.即常数列是等差数列的特殊形式，公差为即常数列是等差数列的特殊形式，公差为0.当公差当公差d0时，时，an是关于是关于n的的一次式一次式.四：四：性质一：性质一：公差的几何意义公差的几何意义 2.由于等差数列的通项公式可以表示为由于等差数列的通项公式可以表示为an=an+b，因此从图象上看，表示这个数列的各点均在一条直因此从图象上看，表示这个数列的各点均在一条直
2、线上。线上。当当a0时，各点均在一次函数时，各点均在一次函数y=ax+b的图的图象上；象上；当当a=0时，各点均在函数时，各点均在函数y=b的图象上。的图象上。思考：思考：在哪条直线上？在哪条直线上？讨论：讨论：这个数列的公差与这条直线有什么关系？这个数列的公差与这条直线有什么关系？有什么意义？有什么意义？这个数列的公差等于这条直线的这个数列的公差等于这条直线的斜率斜率，这就是，这就是公差的几何意义。公差的几何意义。1.do2.d03.d=0已知两项为什么可以求通项公式，用几何意义解析：思考思考.等差中项等差中项的定义的定义如果三个数如果三个数x，A，y组成等差数列，那么组成等差数列，那么A叫
3、做叫做x和和y的等差中项。的等差中项。如果如果A是是x和和y的等差中项，则的等差中项，则注：注：（）在等差数列中，从第（）在等差数列中，从第2项起，每一项项起，每一项(有穷有穷数列的末项除外数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项。都是它的前一项与后一项的等差中项。（）若（）若m+n=2p,则则am+an=2ap性质性质 二二例例2梯子共有梯子共有5级，从上往下数第级，从上往下数第1级宽级宽35厘米，第厘米，第5级宽级宽43厘米，且各级的宽度依次厘米，且各级的宽度依次组成等差数列组成等差数列an，求第，求第2，3，4级的宽度。级的宽度。解法解法1：由题意，：由题意，a1=35，a5=4
4、3，由等差数列，由等差数列通项公式，通项公式，因此得因此得a2=37，a3=39，a4=41.得公差得公差解法解法2：此数列共：此数列共5项，项，a3是是a1与与a5的等差中项，的等差中项，因此因此 又因为又因为a2是是a1与与a3的等差中项，的等差中项，a4是是a3与与a5的等差中项，所以的等差中项，所以 答：梯子的第答：梯子的第2，3，4级的宽度分别是级的宽度分别是37cm，39cm，41cm.例例3.（1）在等差数列）在等差数列an中，若中，若mnpq，求证：求证：amanapaq.（2）在等差数列）在等差数列an中，若中，若a3a4a5a6a7=450，求，求a2a8.解解：（：（2）
5、a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5，5a5=450，a5=90,a2+a8=290=180.性质性质 三三跟踪练习在等差数列在等差数列an中中(1)已知已知 a6+a9+a12+a15=20，求，求a1+a20；(2)已知已知 a3+a11=10，求，求 a6+a7+a8.例：已知个数成等差数列和为，平方和为，求这个数变式：成等差数列的四个数之和为，第个数与第个数之积，求这四个数1、等差数列的概念等差数列的概念。必须从第必须从第2项起后项减去前项，并且差是项起后项减去前项，并且差是 同同 一常数。一常数。象例象例1中（中（1）、（）、（2）小题只能说它们从第）小题只能说它们从第2项起、
6、项起、从第从第3项起是等差数列，而它们本身不是。项起是等差数列，而它们本身不是。2、等差数列的通项公式、等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d 知道其中三知道其中三 个个（或两个）字母变量，可用列方程（或方程组）的方法，求余（或两个）字母变量，可用列方程（或方程组）的方法，求余下的一个（或两个）变量。下的一个（或两个）变量。四、小结四、小结本节课主要学习了以下知识：本节课主要学习了以下知识：在学习中还要注意提高观察、归纳、猜想、在学习中还要注意提高观察、归纳、猜想、推理等数学能力。推理等数学能力。上面的命题中的等式两边有上面的命题中的等式两边有 相相 同同 数数 目目 的项，如的项，如a1+a2=a3 成立吗？成立吗？【说明说明】3.更一般的情形，更一般的情形，an=，d=小结小结（知识巩固）（知识巩固）1.an为等差数列为等差数列 2.a、b、c成等差数列成等差数列 an+1-an=dan+1=an+dan=a1+(n-1)dan=kn +b（k、b为常数）为常数）am+(n-m)db为为a、c 的等差中项的等差中项AA2b=a+c4.在等差数列在等差数列an中，由中，由 m+n=p+q am+an=ap+aq注意：注意：上面的命题的逆命题上面的命题的逆命题 是不一定成立是不一定成立 的；的；5.在等差数列在等差数列an中中a1+an a2+an-1 a3+an-2 =