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1、第七节 无穷小的比较第八节 函数的连续性与间断点第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性第十节 闭区间上连续函数的性质第1页/共55页第一节 映射与函数一、集合二、映射三、函数返回第2页/共55页 一、集合 集合与元素之间的关系aM：若x是集合的元素；1.1.集合概念(1)(1)集合：具有某种特定性质的事物的总体，集合的元素通常用A，B，S，T 等表示.元素:组成这个集合的事物 集合的元素通常用a，b，x，y等表示.集合分为有限集和无限集.a M:若x不是集合的元素.(2)集合的表示法列举法:将集合的元素一一列举出来,描述法:如:第3页/共55页N=全体自然数，Z=全体整数，Q=全体有理数，R
2、=全体实数.(3)常用的集合记号 如果 ，必有 ,则称A是B的子集，记为 不含任何元素的集合，则称为空集记为.是任何集合的 子集.(4)集合的关系集合:集合A内排除0的集.集合:集合B内排除0与负数的集.若 ，且 ,则称A是B的真子集,记为 .若 ，且 ,则称A与B相等,记为 .第4页/共55页2、集合的运算是二个集合，定义设A、B(A与B的并集)(A与B的交集)(A与B的差集)设I表示我们研究某个问题的全体,则其他集合A都是I的子集,称I为全集或基本集.A的余集或补集记为:例如:在实数集R中则有第5页/共55页设A、B、C为任意三个集合，则有下列法则成立：（1）交换律（2）结合律（3）分配律
3、（4）对偶律以上这些法则都可以根据集合相等的定义验证.第6页/共55页证明:两个集合的并集的余集等于它们的余集的交集.证明:且且反之,且注:在以后的证明中,“”表示“推出”(或“蕴含”),“”表示“等价”.且于是第7页/共55页直积或笛卡儿乘积例如：为xOy面上全体点的集合，记为第8页/共55页3 3、区间和邻域设a,bR,且a b,开区间闭区间半开区间和称a,b为区间的端点，称ba为这些区间的长度.以上这些区间都称为有限区间.第9页/共55页无限区间用数轴可以表示区间,区间常用I表示.引进记号：+（读作正无穷大）(读作负无穷大）（读作无穷大）第10页/共55页(2)(2)点a的去心邻域：注
4、若不强调的大小，点a的去心邻域记为U(a)邻域点a的左邻域:开区间(a-,-,a)点a的右邻域:开区间(a,a+)+)(1)(1)设是任一正数，称开区间(a-,-,a+)+)为点a的邻域，记为U(a,),)，即点a称为该邻域的中心，称为该邻域的半径.a返回第11页/共55页二、映射1、映射的概念定义 设X、Y是二个非空集合，如果存在一个法则 ,使得对X中每个元素x,按法则 ,在Y中有唯一确定的元素 y与之对应,则称 为从X到Y的映射,记为 其中y称为元素x(在映射 下)的像,记作 ,即 ,元素x称为元素y(在映射 下)的一个原像;集合X称为映射 的定义域,记作 ,即X中所有元素的像所组成的集合
5、称为映射 的值域,记作 或 ,即第12页/共55页注意:(1)一个映射必须具备以下三个要素:集合X,即定义域集合Y,即值域的范围:对应法则使对每个 有唯一确定的 与之对应.(2)对每个 ,元素x的像y是唯一的;对每个 ,元素y的原像不一定是唯一的;映射 的值域 是Y的一个子集,即 ,不一定 .第13页/共55页例1 设 ,对每个 ,.显然,是一个映射,的定义域 ,值域 它是R的一个真子集.对于 中的元素y,除y=0外,它的原像不是唯一的.如y=4的原像就有x=2和x=-2两个.例2 设对每个 ,有唯一确定的 与之对应.显然,是一个映射,的定义域 ,值域Oxy-11这个映射表示将平面上一个圆心在
6、原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间-1,1上.第14页/共55页例3 设对每个 ,这 是一个映射,其定义域 ,值域 为X到Y上的映射（或满射）：为X到Y上的单射：是从集合X到集合Y的映射，若都是X中某元素的像.即Y中任一元素y若对X中任意两个不同元素它们的像为一一映射（或双射）：若映射 既是单射，又是满射.如:例1 既非单射,又非满射;例2 不是单射,是满射;例3 既是单射,又是满射,因此是一一映射.第15页/共55页映射又称为算子.根据集合X、Y的不同情形,在不同的数学分支中,映射又有不同的惯用名称.如:从非空集合X到数集Y的映射又称为X上的泛函.从非空集合X到它自身的映射又称为X上的变换
7、.从实数集(或其子集)X到实数集Y的映射称为定义在X上的函数.第16页/共55页2.逆映射与复合映射是X到Y上的单射,设即于是,可以定义一个从到X的新映射g,对每个规定这x满足这个映射g称为f 的逆映射,记作其定义域值域注意:只有单射才存在逆映射.例1,2,3中,只有例3有逆映射:第17页/共55页设有两个映射其中则可以确定一个从X 到Z 的映射,称为复合映射,记作即注意:映射g 和f 构成复合映射的条件:两者也不同时有意义.第18页/共55页例4 设有映射对每个映射对每个返回第19页/共55页三、函数1.1.函数概念因变量自变量定义 设数集 ，则称映射 为定义D上的函数，通常简记为 D称为定
8、义域,记作 ,即 .对每个 ,按对应法则 f ,总有唯一确定的值y与之对应,这个值称为函数f 在x处的函数值,记作f(x),即y=f(x).函数值f(x)的全体所构成的集合称为函数f 的值域,记作或 f(D),即第20页/共55页函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在R内.函数的两要素:定义域 与对应法则f.如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的.约定:定义域是自变量所能取的使算式有(实际)意义的一切实数值.如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数例如:第21页/共55页对于多值函数,往往
9、只要附加一些条件,就可以将它化为单值函数,这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支.例如,在由方程给出的对应法则中,附加“”的条件,就可得到一个单值分支表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解析法（公式法）.定义:点集称为函数的图形.第22页/共55页常见的几种函数例5 函数y=2它的定义域值域它的图形是一条平行于x轴的直线.Oxyy=2例6 函数定义域 D=(=(,+),+),值域 =0,+).=0,+).这个函数称为绝对值函数.Oxy第23页/共55页1-1xyo例7 函数称为符号函数,定义域 D=(=(,+),+),值域 =1,0,=1,0,1.1.第24页/共55页 1 2 3 4
10、 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线x表示不超过 的最大整数例8 取整函数 y=x如-3.4=-4,-3.4=-4,1=1=1,1,定义域 D=(=(,+),+),值域 =Z Z.第25页/共55页例9 函数是一个分段函数.它的定义域 D=0,+).=0,+).如:yxO1第26页/共55页2.函数的几种特性(1)函数的有界性:oyxM-My=f(x)X有界M-MyxoX无界则称函数若有 成立，f(x)在X上有界.否则称为无界.(2)(2)有界与否是和X有关的.(1)(1)当一个函数有界时，它的界是不唯一的.注意:使(3)证明无界的方法:对于任意正数 M,总存
11、在第27页/共55页(2)函数的单调性:xyo及设函数f(x)的定义域为D,区间如果对于区间I上任意两点当 时,恒有则称函数f(x)在区间I上是单调增加的;第28页/共55页xyo及设函数f(x)的定义域为D,区间则称函数f(x)在区间I上是单调减少的;如果对于区间I上任意两点当 时,恒有第29页/共55页(3)函数的奇偶性:偶函数yxox-x设函数f(x)的定义域为D关于原点对称,对于有f(-x)=f(x)恒成立,则称f(x)为偶函数;偶函数的图形关于y轴对称.函数 y=cosx是偶函数.第30页/共55页奇函数yxox-x设函数f(x)的定义域为D关于原点对称,对于有f(-x)=-f(x)
12、恒成立,则称f(x)为奇函数.奇函数的图形关于原点对称.函数 y=sinx是偶函数.函数 y=sinx+cosx既非奇函数,又非偶函数.第31页/共55页(4)函数的周期性:函数sinx,cosx的周期是函数tanx的周期是（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.则称f(x)为周期函数,l 称为f(x)的周期.一有且恒成立,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个正数l,使得对于任第32页/共55页有理数点无理数点1xyo例10 狄利克雷函数它是一个周期函数,任何有理数都是它的周期,但它没有最小正周期.第33页/共55页3.3.反函数与复合函数反函数的定义:设函数是单射,则它存在逆函数称此映
13、射为函数f 的反函数.如:函数是单射,其反函数为若函数f(x)在D上是单调函数,则也是f(D)上的单调函数.DD)(xfy=函数第34页/共55页 直接函数与反函数的图形关于直线 对称.相对于反函数原来的函数y=f(x)称为直接函数.第35页/共55页复合函数定义:设函数 的定义域为函数u=g(x)在D上有定义,且则由下式确定的函数称为由函数u=g(x)和函数 构成的复合函数,它的定义域为D,变量u称为中间变量.函数g与函数f 构成的复合函数通常记为函数g与函数f 构成复合函数的条件是:函数g在D上的值域g(D)必须含在f 的定义域内,即第36页/共55页注意:1.不是任何两个函数都可以复合成
14、一个复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.如:如:第37页/共55页4.函数的运算设函数f(x),g(x)的定义域依次为则可以定义这两个函数的下列运算：和(差)积商第38页/共55页例11 设函数f(x)的定义域为(-l,l),证明必存在(-l,l)上的偶函数g(x)和奇函数h(x),使得证 先分析如下:假若这样的g(x)、h(x)存在,使得(1)且于是有(2)利用(1)、(2)式,就可作出g(x),h(x).作则证毕.第39页/共55页5.初等函数(1)幂函数(是常数)第40页/共55页(2)指数函数第41页/共55页(3)对数函数第42页/共55页(4)三角函数正弦函数
15、第43页/共55页余弦函数第44页/共55页正切函数第45页/共55页(5)反三角函数反正弦函数第46页/共55页反余弦函数第47页/共55页反正切函数幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.第48页/共55页(2)初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.奇函数.偶函数.双曲函数双曲正弦双曲余弦第49页/共55页奇函数,有界函数,双曲正切第50页/共55页双曲函数常用公式第51页/共55页反双曲函数反双曲正弦奇函数,在 内单调增加.第52页/共55页反双曲余弦第53页/共55页奇函数,返回第54页/共55页感谢您的观看！第55页/共55页