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1、 1.1 1.1 实数实数一一 .实数及其性质实数及其性质二二.绝对值与不等式绝对值与不等式第1页/共102页 一一 .实实数及其性数及其性质质：1.回回顾顾中学中关于有理数和无理数的定中学中关于有理数和无理数的定义义.若若规规定定：1.1 实数则有限十进小数都能表示成无限循环小数。实数对正整数对负有限小数（包括负整数）对负有限小数（包括负整数）y,y,先将先将-y-y表示成无限小数，表示成无限小数，再在无限小数前加负号如再在无限小数前加负号如:-8=-7.999:-8=-7.999第2页/共102页说明:对于负实数x,y,若有-x=-y与-x -y,则分别称x=y与x x)2.两个实数的大小
2、关系 .)2,1(,2,1,.90,90),2,1(,.,.110000210210 xyyxx，yyxbalkbalbay；x，yxkbaba，kba，babbbbyaaaaxllkkkkkkkknn或分别记为小于或大于则称而使得或存在非负整数若记为相等与则称若有为整数为非负整数其中 给定两个非负实数LLLLLLL 1)定义1 第3页/共102页说明:自然规定任何非负实数大于任何负实数.第4页/共102页定义2 设 为实数x的n位不足近似，而有理数 称为x的n位过剩近似，n=0,1,2,.为非负实数.称有理数2)通过有限小数比较大小的等价条件第5页/共102页 对于负实数其n位不足近似和n位
3、过剩近似分别规定为 和 注意：对任何实数x,有,第6页/共102页命题1 设v实数的性质 1.实数集R对加,减,乘,除(除数不为0)四则运算是封闭的.即任意两个实数和,差,积,商(除数不为0)仍然是实数.2.实数集是有序的.即任意两个实数a,b必满足下述三个关系之一:a b.为两个实数，则第7页/共102页v实数的性质 3.实数集的大小关系具有传递性.即若a b,b c,则有ac.5.实数集R具有稠密性.即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数,且既有有理数,也有无理数.6.实数集R与数轴上的点具有一一对应关系.即任一实数都对应数轴上唯一的一点,反之,数轴上的每一点也都唯一的代表一个实数.,0
4、,.4 b na n a b R b a,使得 则存在正整数 若 即对任何 实数具有阿基米德性 第8页/共102页例1 证明 例2 证明 .:,yrxr，yx满足存在有理数证明为实数设.,)(21.,yrxyyrxx，ryxryxn，yxnnnnnn即得且有为有理数则令使得故存在非负整数由于.,:,babaRba则有若对任何正数证明设ee.,.bababababa,从而必有矛盾这与假设为正数且则令有则根据实数的有序性假若结论不成立用反证法eeee第9页/共102页a0-a二二.绝对值绝对值与不等式与不等式从数从数轴轴上看上看的的绝对值绝对值就是到原点的距离：就是到原点的距离：绝对值定义：第10
5、页/共102页绝对值的一些主要性质第11页/共102页性性质质4（三角不等式）的（三角不等式）的证证明：明：第12页/共102页几个重要不等式:均值不等式:对 记 (算术平均值)(几何平均值)(调和平均值)第13页/共102页有平均值不等式:等号当且仅当 时成立.Bernoulli 不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)有不等式当 且,且 时,有严格不等式 证 由 且 第14页/共102页 利用二项展开式得到的不等式:对 由二项展开式 有 上式右端任何一项.第15页/共102页作业作业p4 ,3,4,6,7第16页/共102页1.2 数集确界原理 一、区间与邻域 二、上确界、下确界第17页/共
6、102页一、区间与邻域1.1.集合集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.有限集无限集第18页/共102页数集分类:N-自然数集Z-整数集Q-有理数集R-实数集数集间的关系:例如不含任何元素的集合称为空集.例如,规定规定空集为任何集合的子集.第19页/共102页2.2.区间区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,称为闭区间,第20页/共102页称为半开区间,称为半开区间,有限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.第21页/共102页3.3.邻域邻域:第22页/共102页二 有界
7、集确界原理1 有（无）界数集:定义(上、下有界,有界)数集S有上界数集S无上界数集S有下界数集S无下界数集S有界数集S无界第23页/共102页闭区间 、开区间 为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 也是有界数集.,等都是无界数集,集合 也是无界数集.第24页/共102页例例1 证证明明集合集合 是无界数集是无界数集.,存在存在 由无界集定由无界集定义义，E 为为无界集。无界集。证明：对任意第25页/共102页2 确界:第26页/共102页第27页/共102页例2 则 则例3 设S和A是非空数集，且有 则有 .第28页/共102页例4 设A和B是非空数集.若对 和 都有 则有 证 y 是A的上界
8、,是B的下界,第29页/共102页例4 设 A,B为非空数集,满足:证明数集 A有上确界,数集B有下确界,且证:故有确界原理知,数集A有上确界,数集B有下确界.是数集A的一个上界,而由上确界的定义知由假设,数集B中任一数 都是数集A的上界,A中任一数 都是B的下界,是数集A的最小上界,故有 而此式又表明数 是数集B的一个下界,故由下确界的定义证得 第30页/共102页例例5 5 为为非空数集非空数集,试证试证明明:证证 有有或或 由由和和分分别别是是的下界的下界,有有或或即即 是数集是数集的下界的下界,.和第31页/共102页 又又的下界就是的下界就是的下界的下界,是是的下界的下界,是的下界的
9、下界,同理有同理有.于是有综上,有第32页/共102页例例5 5 为为非空数集非空数集,试证试证明明:证证 有有或或 由由和和分分别别是是的下界的下界,有有或或即即 是数集是数集的下界的下界,.和第33页/共102页命题3 3：设数集有上（下）确界，则这上，且，则不妨设有对，使，矛盾。（下）确界必是唯一的。证：设第34页/共102页 3.数集与确界的关系:确界不一定属于原集合.以例1为例做解释.4.确界与最值的关系:设 E为数集.E 的最值必属于E,但确界未必,确界是一种临界点.非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值.若 存在,必有 对下确界有类似的结论.第35页/共102页
10、5 确界原理 定理1 (确界原理).设 E 为非空数集，若E有上界，则E必有上确界；若E有下界，则E必有下确界。第36页/共102页非空，有上界：，(1).若中有最大数，则即为上确界；中无最大数，用下述方法产生实数的一个分划；，其余的实数归入下类，则是实数的一个分划。证明 设.(2).若的一切上界归入上类 。其次，由于不是的最大数，所以它不是的上界，即。这说明中任一元素都属于下类；A,B不空.首先取第37页/共102页 A、B不漏性由A、B定义即可看出；A、B不乱.设，因a不是E的上界，使得，而E内每一元素属于A，所以.由的证明可见无最大数.所以 是实数的一个分划.由戴德金定理，知上类B必有最
11、小数，记作c.由 知，即得.这表明c是的一个上界.若b是E的一个上界，则，由此得，所以c是上界中最小的，由上确界定义，为集合的上确界，记作 第38页/共102页下证:非空的有下界的集合必有下确界。事实上，设集合 有下界b，则非空集合 有上界-b，利用集合 上确界的存在性，即可得出集合E的下确界存在。定理1解决了非空有上(下)界集合的上(下)确界存在性问题，我们可以利用上确界的存在性，得出我们所研究的某一类量（如弧长）的存在性。若全序集中任一非空有上界的集合必有上确界，我们称该全序集是完备的。定理1刻划了实数集是完备的。第39页/共102页设A,B为非空有限数集,.证明:例6 证:故得 所以 综
12、上,即证得第40页/共102页例7 证明实数空间满足阿基米德原理.证明 假设结论不成立，即 第41页/共102页4.小结 P9:1,2,3,4,5.(1)区间和邻域的概念;(2)确界原理.第42页/共102页1.3 函数的一般概念一.映射二.函数的概念三.几个特殊的函数举例四.复合函数五.反函数六.初等函数第43页/共102页一 映射 1 映射 定义 设X,Y是两个给定的集合，若按照某种规则f,使得集合X中的每一个元素x，都可以找到集合Y中唯一确定的元素y与之对应，则这个对应规则f是集合X到集合Y的一个映射，记为 f:X Y X y=f(x).其中y称为在映射f之下x的象，x称为在映射f之下y
13、的一个原象集合X称为映射的定义域，记为 而在映射之下，X中元素的象的全体称为映射的值域，记为 第44页/共102页 概括起来，构成一个映射必须具备下列三个基本要素：(1)集合X，即定义域 ；(2)集合Y，即限制值域的范围：（3）对应规则，使每一个 有唯一确定的y=f(x)与之对应 需要指出两点：(1)映射要求元素的象必须是唯一的 (2)映射并不要求逆象也具有唯一性 第45页/共102页2 一一对应 定义 设f是集合X到集合Y的一个映射，若f的逆象也具有唯一性，即对X中的任意两个不同元素 ，它们的象 与 也满足 ，则称f为单射；如果映射满足 ，则称f为满射；如果映射f既是单射，又是满射，则称f为
14、双射（又称 一一对应）第46页/共102页逆映射设是单射，则对任意它的逆象（即满足方程)是唯一确定的.对应关系构成了的一个映射,把它称为的逆映射，记为其定义域为第47页/共102页现设有如下两个映射和复合映射第48页/共102页 二二 函数概念函数概念 函数是整个高等数学中最基本的研究函数是整个高等数学中最基本的研究对对象象,可以可以说说数学分析就是研究函数的数学分析就是研究函数的.因此我因此我们对们对函数的概念以及常函数的概念以及常见见的一些函数的一些函数应应有一个清楚有一个清楚的的认识认识.第49页/共102页例例 圆内接正多边形的周长圆内接正多边形的周长圆内接正n 边形Or)第50页/共
15、102页 定义 给定 R，如果存在某种对应法则 ，使得对于X中任一元素 ，都有唯一确定的数 R与之对应，则称 是从 到R的一个函数，记作 R。函数在 点 的值记作 ，称为函数 的定义域，称为自变量，称为因变量。从概念上讲，（即对应法则）是函数，是函数值，两者是不同的。但它们是相互决定的，今后在大部分场合，不加区分。但有些场合，如微分和微分形式概念中，必需加以区分。第51页/共102页对应法则f函数的两要素函数的两要素:定义域与对应法则.自变量因变量约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.第52页/共102页定义定义:如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这
16、种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数第53页/共102页 表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解析法(公式法).用图形法表示函数是基于函数图形的概念,坐标平面上的 v函数的表示法第54页/共102页v单值函数与多值函数 在函数的定义中,对每个x D,对应的函数值y总是唯一的,这样定义的函数称为单值函数.如果给定一个对应法则,按这个法则,对每个x D,总有确定的y值与之对应,但这个y不总是唯一的,我们称这种法则确定了一个多值函数.例如,由方程x2y2r2确定的函数是一个多值函数:此多值函数附加条件“y0”后可得到一个单值分支 第55页/共102页 此函数称为绝对值函数,其定义域为D(,+)
17、,其值域为Rf 0,+).(2)(1)常值函数 yc.其定义域为D(,),其值域为Rf c.三几个特殊的函数举例第56页/共102页 (3)符号函数 其定义域为D(,+),其值域为Rf 1,0,1.第57页/共102页(4)取整函数 y=xx表示不超过 的最大整数阶梯曲线其定义域为D=(-,+),其值域为 =Z.第58页/共102页（5）“非负小数部分”函数它的定义域是第59页/共102页有理数点无理数点1xyo(6)狄利克雷函数其定义域为D=(-,+),其值域为 =0,1.第60页/共102页(7)取最值函数yxoxo第61页/共102页在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的
18、函数,称为分段函数.分分段段函函数数第62页/共102页例例1 1解解故第63页/共102页函数的四则运算 在函数的共同定义域内可以实行函数的加减法运算和乘法运算，,也可以实行除法运算 这时要特别小心，要除去的点。第64页/共102页四、复合函数四、复合函数 在实际问题中，有很多比较复杂的函数是由几个比较 简单的函数“叠置”而成的，如在简谐振动中位移y与时间 t 的函数关系就是由三角函数和线性函数“叠置”而成的，第65页/共102页 定义 设函数 定义域包含函数 的值域，则在 的定义域上可以用以下法则确定一个函数 ，称之为f与g的复合函数，记作 。我们总有 。这里“”运算是非交换的，一般的没有
19、 。但它是结合的：，故可定义 。第66页/共102页定义:注意注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;复合条件复合条件第67页/共102页复合函数的定义域复合条件在实际应用时常取形式内层函数的值域落在外层函数的定义域之内2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.第68页/共102页例1求并求定义域。例2（1）（2）A.B.C.D.第69页/共102页五 反函数 定义 设R是一函数，如果(或由)，则称f在上X是 1-1的。若若，则称f为满的。是满的 1-1 的，则称f为1-1对应。R是1-1 的意味着对固定y至多有一个解x，是1-1 的意味着 对，有且仅有一个解x。第70页/共
20、102页定义定义 设是1-1对应。,由唯一确定一个的反函数，记为 反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域 显然有 (恒等变换）(恒等变换)由这种对应法则所确定的函数称为第71页/共102页DWDW第72页/共102页 从方程角度看，函数和反函数没什么区别，作为函数，习惯上我们还是把反函数记为 ,这样它的图形与 的图形是关于对角线Y=x对称的。第73页/共102页 严格单调函数是1-1对应的，所以严格单调函数有反函数。但 1-1 对应的函数（有反函数）不一定是严格单调的，看下面例子它的反函数即为它自己。第74页/共102页 实际求反函数问题可分为二步进行：实际求反函数问题可分为二步进行：(
21、1).确定 的定义域和值域，考虑 1-1对应条件。固定，解方程 得出。(2).按习惯，自变量、因变量互换，得.第75页/共102页六六 初等函数初等函数、基本初等函数、基本初等函数（1）.幂函数第76页/共102页第77页/共102页（2）.指数函数第78页/共102页（3）.对数函数第79页/共102页周期为2p的周期函数有界函数|sin x|1特殊值：第80页/共102页周期为2p的周期函数有界函数|cos x|1特殊值：第81页/共102页周期为p的周期函数无界函数：渐进线：特殊值：第82页/共102页周期为p的周期函数无界函数：渐进线：特殊值：第83页/共102页正割函数余割函数第84
22、页/共102页(5)反三角函数的图象第85页/共102页 幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.第86页/共102页2.初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.例例1 1解解第87页/共102页综上所述第88页/共102页四、小结四、小结函数的分类:函函数数初初等等函函数数非初等函数非初等函数(分段函数分段函数,有无穷多项等函数有无穷多项等函数)代代数数函函数数超越函数超越函数有有理理函函数数无理函数无理函数有理整函数有理整函数(多项式函数多项式函数)有理分函数有理分函数(分式函数分式函数
23、)第89页/共102页小结 P9:1,2,4,5,7,8.(2)反函数;(1)复合函数;(3)函数的运算;(4)初等函数.第90页/共102页思考题思考题思考题解答思考题解答不能第91页/共102页1.4具有某些特性的函数二 单调函数三.奇函数和偶函数四.周期函数一.有界函数第92页/共102页M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX1有界函数:第93页/共102页 f(x)sin x在(,+)上是有界的:|sin x|1.所以函数无上界.有界函数举例 第94页/共102页例3第95页/共102页2单调函数:xyo第96页/共102页xyo第97页/共102页3奇函数和偶函数:偶函数yxox-x第98页/共102页奇函数yxox-x第99页/共102页 例4 设函数f(x)的定义域为(l,l),证明必存在(l,l)上的偶函数g(x)及奇函数h(x),使得f(x)g(x)h(x).提示:如果f(x)g(x)h(x),则f(x)g(x)h(x),于是 证 则 f(x)g(x)h(x),且第100页/共102页4周期函数:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.第101页/共102页感谢您的观看！第102页/共102页