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1、3.3.2对称问题对称问题有关知识：有关知识：1、直线互相垂直的条件：、直线互相垂直的条件：_2、P1(x1，y1)、P2(x 2，y2)的中点坐标为的中点坐标为 _3、点、点(x o，yo)在直线在直线 Ax+By+C=0 上的上的条件是条件是 _若斜率存在，若斜率存在，k1k2=1Axo+Byo+C=0对对称称问问题题中心对称问题中心对称问题点关于点的对称点关于点的对称线关于点的对称线关于点的对称轴对称问题轴对称问题点关于线的对称点关于线的对称线关于线的对称线关于线的对称轴对称轴对称中心对称中心对称有一条对称轴有一条对称轴:直线直线有一个对称中心有一个对称中心:点点定定义义沿轴翻转沿轴翻转
2、180绕中心旋转绕中心旋转180翻转后重合翻转后重合旋转后重合旋转后重合性性质质1、两个图形是全等形、两个图形是全等形2、对称轴是对应点连、对称轴是对应点连线的垂直平分线线的垂直平分线3、对称直线相交，交点、对称直线相交，交点在对称轴上在对称轴上1、两个图形是全等形、两个图形是全等形2、对称点连线都经过、对称点连线都经过对称中心，并且被对称对称中心，并且被对称中心平分。中心平分。例例1.已知点已知点A(5,8)，B(-4，1)，试求，试求A点点 关于关于B点的对称点点的对称点C的坐标。的坐标。知识运用与解题研究知识运用与解题研究一、点关于点对称一、点关于点对称解题要点解题要点：中点公式的运用：
3、中点公式的运用ACBxyOC(-13，-6)-4=5+x 21=8+y 2解解:设设C(x,y)则则得得x=-13y=-6 一般用中点坐标公式解决这种对称一般用中点坐标公式解决这种对称问题问题.例例2.已知点已知点A的坐标为的坐标为(-4,4)，直线，直线l l 的方的方 程为程为3x+y-2=0,求点求点A关于直线关于直线l l 的的 对称点对称点A的坐标。的坐标。二、点关于直线对称二、点关于直线对称解题要点解题要点：k kAA=-1 AA中点在中点在l l 上上 AAYXO-3y-4x-(-4)=-13-4+x 2+4+y 2-2=0(x，y)(2，6)解：设解：设 A（x,y)则则（L为
4、对称轴）为对称轴）例例3.求直线求直线l l 1 1:3x-y-4=0关于点关于点P(2,-1)对称的对称的 直线直线l l 2 2的方程。的方程。三、直线关于点对称三、直线关于点对称解题要点解题要点：法一：法一：l l 2 2上的任意一点的上的任意一点的对称点在对称点在l l 1 1上上;法二法二：l1l2 点斜式或对称两点式点斜式或对称两点式 法三：法三：l l 1 1/l/l 2 2且且P到两直线等距。到两直线等距。解解：设：设A(x，y)为为l2上任意一点上任意一点 则则A关于关于P的对称点的对称点A在在l1上上3(4-x)-(-2-y)-4=0即直线即直线l 2的方程为的方程为3x-
5、y-10=0 Al2l1YXOPA 例例4.试求直线试求直线l l1:x-y-2=0关于直线关于直线 l l2:3x-y+3=0对称的直线对称的直线l l 的方程。的方程。四、直线关于直线对称四、直线关于直线对称l1l2lx-y-2=03x-y+3=0P l：7x+y+6=0yXO解：解：P(，)-12-52得得在在 上任取一点上任取一点Q(2,0),求其关于求其关于 的对称点的对称点Q(x,y)l1 l2 Q(2,0),Q(x,y)3y-0 x-2=-13y+0 2+3=0则则X+22求出求出Q点坐标后，两点式求点坐标后，两点式求l方程。方程。四、直线关于直线对称四、直线关于直线对称 l1l
6、2lPyXO Q(2,0),Q(x,y)解题要点解题要点：（1）若两直线相交，先求交点）若两直线相交，先求交点P,再在再在 上取一点上取一点Q求其对称点得另一点求其对称点得另一点Q,两点式求两点式求l方程方程l1求求 关于关于 的对称直线的对称直线l的方程的方程l1l2思考：是否有其它方法求思考：是否有其它方法求l？例例4.试求直线试求直线l1:x-y+2=0关于直线关于直线 l2:x-y+1=0 对称的直线对称的直线l 的方程。的方程。四、直线关于直线对称四、直线关于直线对称l2l1l解：设解：设l方程为方程为x-y+m=0则则 上任意取一点上任意取一点P(0,2),求求P关于关于l2的对称
7、点的对称点P,则则P一定在一定在l上。上。l1将将P带入带入l，解方程求，解方程求mxoy思考：若思考：若l l1/l l2,如何求如何求l l1 关于关于l l2的对称直线方程？的对称直线方程？四、直线关于直线对称四、直线关于直线对称解题要点解题要点：(先判断两直线位置关系先判断两直线位置关系)（1）若两直线相交，先求交点）若两直线相交，先求交点P,再在再在 上取一点上取一点Q求其对称点得另一点求其对称点得另一点Q两点式求两点式求l方程方程l1求求 关于关于 的对称直线的对称直线l的方程的方程l1l2(2)若若 ，设，设l方程为方程为x-y+m=0l1l2则则 上任意取一点上任意取一点P(a
8、,b),求求P关于关于l2的对称点的对称点P,则则P一定在一定在l上。上。l1将将P带入带入l，解方程求，解方程求m请大家完成下例填空题请大家完成下例填空题1.点点 关于原点的对称点为关于原点的对称点为 ;2.点点 关于点关于点 的对称点为的对称点为 ;3.点点 关于关于x轴的对称点为轴的对称点为 ;4.点点 关于关于y轴的对称点为轴的对称点为 ;5.点点 关于关于y=x的对称点为的对称点为 ;6.点点 关于关于y=-x的对称点为的对称点为 ;7.点点 关于关于x=m的对称点为的对称点为 ;8.点点 关于关于y=n的对称点为的对称点为 ;(-a,-b)(2m-a,2n-b)(a,-b)(b,a
9、)(-b,-a)(2m-a,b)(-a,b)(a,2n-b)例题例题1：P与与P中点中点垂直垂直PP 例题例题1：结论：例题例题2:例题例题3:例题例题3:常用结论常用结论:1.直线关于原点的对称直线的方程为直线关于原点的对称直线的方程为:2.直线关于直线关于x轴的对称直线的方程为轴的对称直线的方程为:3.直线关于直线关于y轴的对称直线的方程为轴的对称直线的方程为:4.直线关于直线直线关于直线y=x的对称直线的方程为的对称直线的方程为:5.直线关于直线直线关于直线y=-x的对称直线的方程为的对称直线的方程为例题例题4：光线从光线从A（-1，8）射出，遇到）射出，遇到x轴轴反射，反射光线过反射，反射光线过B（5，4），求），求入射光线和反射光线的方程。入射光线和反射光线的方程。对称与最值1、两点在直线的异侧，在直线上求一点到这两点、两点在直线的异侧，在直线上求一点到这两点的距离之和最小？的距离之和最小？（两点在直线的异侧呢？）（两点在直线的异侧呢？）（两点在直线的同侧呢？）（两点在直线的同侧呢？）2、两点在直线的同侧，在直线上求一点到这、两点在直线的同侧，在直线上求一点到这两点的距离之差最大？两点的距离之差最大？例例5：已知已知L：y=x+9在在L上求一点上求一点P，使，使P点到（点到（-3，0）与（）与（3，0）距离之和最小，求）距离之和最小，求P点的坐标。点的坐标。