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1、第一部分:基础回顾:一空间角的概念1、异面直线所成角的定义 直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，分别引直线 ，我们把直线 和 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。异面直线所成角的范围是 。2直线和平面所成角的定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个 平面所成的角；特别地，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0角。由定义知，直线与平面所成的角0，第1页/共18页二.坐标夹角公式数量积:1若，则：夹角公式：2若,则：，第2页/共18页ala三.平面的法向量第3页/共18页2.2.如何求平面的法向
2、量?ABCDxyA1B1C1D1z如图.在棱长为1的正方体中，(1)求平面的法向量(2)求平面ABCD的法向量.求法:常设 为平面的一个法向量，利用 平面内两个已知不共线向量垂直，得出 之间的关系，进而求出平面的法向量。注意：在求平面法向量过程中，若根据已知条件 很容易找出平面的法向量时，就无需列方 程组求了。第4页/共18页异面直线所成角的范围：思考：思考：结论结论:应用一：用两向量夹角公式求线线角应用一：用两向量夹角公式求线线角提炼注意异面直线夹角的范围与两向量夹角范围的区别第5页/共18页应用二：用平面的法向量求线面角应用二：用平面的法向量求线面角第6页/共18页第二部分例题分析1 1：
3、如右图，直三棱柱A1B1C1ABC中，BCA=90，点D1、F1 分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，求BD1与AF1所成的角的大小.A1C1F1B1D1ABCxyz解：如图建立空间直角坐标系，取BC=CA=CC1=1 所以直线BD1与AF1所成的角为arccos注：由向量知识知两条异面直线所成的角，与这两条直线的两个方向向量的夹角有如下关系（其中 分别是直线 上的向量）第7页/共18页例2:如图，在长方体AC1中，棱AB=BC=3，棱BB1=4，点E是CC1的中点。求：ED与平面A1B1C所成角的大小.B1BA1D1C1CDEA解：如图，建立空间直角坐标系，xyz由题意知：
4、设平面A1B1C的法向量为 =（x，y，z）则 令z=3，则 =（0，4，3），第8页/共18页即 ED与平面A1B1C所成角的大小为arcsin B1BA1D1C1CDEAxyz注：如图，设平面的法向量为 ，直线AO与平面所成的角为 ；oASin =|cos|=第9页/共18页OABCS如图，已知：直角梯形OABC中，OA BC，AOC=90，SO 面OABC，且 OS=OC=BC=1，OA=2。求：(1)异面直线SA和OB所成的角;(2)OS与面SAB所成角.第三部分限时第三部分限时练习第10页/共18页如图，已知：直角梯形OABC中，OA BC，AOC=90，SO 面OABC，且 OS=
5、OC=BC=1，OA=2。求：(1)异面直线SA和OB所成的角;(2)OS与面SAB所成角.OABCSxyz所以直线SA与OB所成角大小为第11页/共18页OABCS第四部分第四部分变式训练如图，已知：直角梯形OABC中，OA BC，AOC=90，SO 面OABC，且 OS=OC=BC=1，OA=2。问：(1)在直线SC上是否存在点D,使得异面直线SA和OD所成的角为 ;(2)在直线SC上是否存在点D,使得直线OD与面SAB所成角为 .xyzR第12页/共18页 例3：在例2中，求:二面角B1A1CC1的大小。解：如图，建立空间直角坐标系，xyz由题意知：又所求二面角为的补角，故二面角B1A1
6、CC1的大小为arccos B1BA1D1C1CDEA例2:如图，在长方体AC1中，棱AB=BC=3，棱BB1=4，点E是CC1的中点。求：ED与平面A1B1C所成角的大小.第13页/共18页cos=如图1中，cos=图2中,cos=cos=评注：用向量法求二面角的大小：如图1，设平面 的法向量分别是则求二面角 的大小可以转化为求的夹角或其补角。图1图2第14页/共18页课堂小结求异面直线所成角的公式：其中 是异面直线 上的方向向量。求线面角大小的公式：其中 是平面的法向量。用向量法求空间角回避了在空间图形中寻找线线角、线面角、二面 角的平面角这一难点。体现了向量思想在立体几何中的重要地位，更 体现了“借数言形”的数学思想。注意建立坐标系后各个点的坐标要写对，计算要准确。布置作业 全品 P101 第64讲A组第15页/共18页第16页/共18页祝同学们祝同学们:衷心感谢各位领导、同行的光临指导随州市二中随州市二中 走着走着走着走着第17页/共18页感谢您的观看！第18页/共18页