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1、空间距离的向量求法空间距离的向量求法1.用向量求点到平面的距离用向量求点到平面的距离定义：定义：一点到它在一个平面内的正射影一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做点到平面的距离。即过这个的距离叫做点到平面的距离。即过这个点到平面垂线段的长度。点到平面垂线段的长度。一般方法：一般方法：利用定义先利用定义先作出过这个点作出过这个点P到平面的到平面的垂线段垂线段PO，再求垂线段，再求垂线段PO的长度。的长度。PO 点到平面的距离公式点到平面的距离公式PA如图，设如图，设P P是平面是平面外一点，外一点，点点P P到到的距离为的距离为d,d,作作POPO于于O,AO,A是是内任一点内任一点,n是平面是
2、平面的法向量，则的法向量，则Od例例1.1.已知正方形已知正方形ABCDABCD的边长为的边长为4 4，CGCG平面平面ABCDABCD，CG=2,ECG=2,E、F F分别是分别是ABAB、ADAD的中点，求点的中点，求点B B到平面到平面GEFGEF的的距离。距离。DABCGFE解：解：如图所示建立空间直角坐标系如图所示建立空间直角坐标系,则则xyz2.用向量求直线与平面的距离用向量求直线与平面的距离定义：定义：直线上任一点到与它平行的平面的距离，直线上任一点到与它平行的平面的距离，叫做这条直线到平面的距离。叫做这条直线到平面的距离。由以上定义可知由以上定义可知,直直线与平面的距离线与平面
3、的距离,本质上本质上是点到平面的的距离是点到平面的的距离,所所以，计算公式还是：以，计算公式还是：PdAO3.3.用向量求两个平行平面的距离用向量求两个平行平面的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平 面的公垂线。公垂线夹在平行平面间的部分，叫做面的公垂线。公垂线夹在平行平面间的部分，叫做这两个平面的公垂线段。这两个平面的公垂线段。两个平行平面的公垂线段都相等，公垂线段长小两个平行平面的公垂线段都相等，公垂线段长小于或等于任一条夹在这两平行平面间的线段长。于或等于任一条夹在这两平行平面间的线段长。两个平行平面的公垂线段的长度，两个平行平面的公垂
4、线段的长度，叫做两个平行平面的距离。叫做两个平行平面的距离。求两平行平面的距离，其实求两平行平面的距离，其实就是求点到平面的距离。所以就是求点到平面的距离。所以计算公式还是计算公式还是:所以计算公式还是所以计算公式还是:dAOP如图如图,正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为2 2，E,F,M,NE,F,M,N分别为分别为A A1 1B B1 1,A,A1 1D D1 1,B,B1 1C C1 1,C,C1 1D D1 1 的中点的中点.(1)(1)求证：平面求证：平面AEF平面平面BDMN;(2)求平面求平面AEF和平面和平面BDMN的
5、距离的距离.xyzO例例2.4.4.用向量求异面直线的距离用向量求异面直线的距离和两条异面直线都垂直相交的直线，叫做两条异和两条异面直线都垂直相交的直线，叫做两条异面直线的公垂线。面直线的公垂线。两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做这两条异面直线的公垂线段。叫做这两条异面直线的公垂线段。两条异面直线的公垂线的长度，两条异面直线的公垂线的长度，叫做两条异面直线的距离叫做两条异面直线的距离 异面直线的距离公式异面直线的距离公式如图，设如图，设CDCD是异面直线是异面直线a,b的公的公垂线段垂线段,P,P是直线是直线a上任意一点上任意一点,A,A是
6、直线是直线b上任意一点上任意一点,两条两条异面直线的异面直线的距离为距离为d,n n是与异是与异面直线面直线a,b都垂直的都垂直的向量，则向量，则dAP CD例例3.已知正方体已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为的棱长为1，求异面直线求异面直线DA1与与AC的距离。的距离。ABDCA1B1C1D1x xy yz z解：如图建立空间直角坐标系解：如图建立空间直角坐标系,则则A(1,0,0)例例4.4.如图如图,已知一个结晶体的形状为平行六面已知一个结晶体的形状为平行六面ABCD-ABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1,其中其中,以顶点为端点的三条棱长都相等以顶点为端点
7、的三条棱长都相等,且它们且它们彼此的夹角都是彼此的夹角都是60600 0,那么那么,以这个顶点为端点的晶体的以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？对角线的长与棱长有什么关系？教P106 思考SBCDA解：解：如图所示建立空间直角坐标系如图所示建立空间直角坐标系,则则C(1,1,0),C(1,1,0),xyz如图建立直角坐标系如图建立直角坐标系,则则B(2,2,0),B(2,2,0),练习练习2.2.已知正方体已知正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为2,M,N2,M,N分分别是别是BCBC和和CDCD的中点的中点,求直线求直线BD
8、BD与平面与平面C C1 1MNMN的距离的距离.x xy yz z解解:BD/BD/平面平面C C1 1MN,MN,只需求点只需求点B B与与平面平面C C1 1MNMN的距离，的距离，ABCDMNxyz练习练习3.3.在长方体在长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中AB=4,AD=3,AAAB=4,AD=3,AA1 1=2,M,N=2,M,N分别为分别为CD,BBCD,BB1 1的中点的中点,求异面直线求异面直线MNMN与与A A1 1B B的距离的距离.小结：小结：点与面，面与面，线与线距离的点与面，面与面，线与线距离的 统一计算公式是：统一计算公式是：作业：作业：P P112 112 A A组组5,9 B5,9 B组组1 1