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1、行列式的定义和性质第1页，共50页，编辑于2022年，星期二第第一一章章 行列式行列式 行列式是线性代数的一个重要组成行列式是线性代数的一个重要组成部分部分.它是研究矩阵、线性方程组、它是研究矩阵、线性方程组、特征多项式的重要工具特征多项式的重要工具.本章介绍了本章介绍了n n 阶行列式的定义、性质及计算方法，阶行列式的定义、性质及计算方法，最后给出了它的一个简单应用最后给出了它的一个简单应用克克莱姆法则莱姆法则.第2页，共50页，编辑于2022年，星期二第一节第一节 行列式的定义行列式的定义用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组一、二阶行列式的引入一、二阶行列式的引入第3页，共50
2、页，编辑于2022年，星期二方程组的解为方程组的解为由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定.第4页，共50页，编辑于2022年，星期二 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表表即即第5页，共50页，编辑于2022年，星期二则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式.第6页，共50页，编辑于2022年，星期二例例1 1解解第7页，共50页，编辑于2022年，星期二 我们想当然的会考虑，通过行列式把我们想当然的会考虑，通过行列式把n n元线性方程组的元线性方程组的解表示
3、出来解表示出来.二、二、n n阶行列式的定义阶行列式的定义第8页，共50页，编辑于2022年，星期二在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作记作叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式例如例如定义定义1 第9页，共50页，编辑于2022年，星期二第10页，共50页，编辑于2022年，星期二定义定义2 则有注：注：因上式中使用了行列式的第一列元素，故上式也因上式中使用了行列式的第一列元素，故上式也称为称为D依第一列的展开式依第一列的展开式.第11页，共50页，编辑于
4、2022年，星期二例例1 计算下列行列式计算下列行列式第12页，共50页，编辑于2022年，星期二解解:这是一个这是一个n阶行列式阶行列式,按第一列展开得按第一列展开得第13页，共50页，编辑于2022年，星期二定理定理1.11.1 行列式等于它的任一列的各元素与其对行列式等于它的任一列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即应的代数余子式乘积之和，即注：注：若行列式中某一列只有一个非零元素，则该行列式等若行列式中某一列只有一个非零元素，则该行列式等于该元素乘以它的代数余子式于该元素乘以它的代数余子式第14页，共50页，编辑于2022年，星期二例例2：计算下列行列式计算下列行列式提示提示：按第
5、一列展开即可：按第一列展开即可.第15页，共50页，编辑于2022年，星期二例例3第16页，共50页，编辑于2022年，星期二下三角行列式下三角行列式重要结论重要结论上、下三角形行列式都等于主对角线上元素的乘积。上、下三角形行列式都等于主对角线上元素的乘积。第17页，共50页，编辑于2022年，星期二第二节第二节 行列式的性质与计算行列式的性质与计算性质性质性质性质1 1 1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.行列式行列式 称为行列式称为行列式 的的转置行列式转置行列式.记记一、行列式的性质一、行列式的性质第18页，共50页，编辑于2022年，星期二性质性质1 1的意义
6、的意义何在呀？何在呀？行列式的行与列地位平等，因而后面行列式的行与列地位平等，因而后面对行成立的性质，对列也成立。对行成立的性质，对列也成立。推论推论 行列式等于它的任一行的各元素与其对应的代数余行列式等于它的任一行的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即子式乘积之和，即例：例：第19页，共50页，编辑于2022年，星期二性质性质2 2 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数等于用数 乘此行列式乘此行列式.推论推论推论推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面可以提到行列
7、式符号的外面性质性质2 2中中k k0 0的情的情况况?第20页，共50页，编辑于2022年，星期二性质性质性质性质3 3 3 3 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号.推论推论1 1 如果行列式有两行（列）完全相同，则如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零此行列式为零.例如例如推论推论2 2 行列式任一行（列）的所有元素与另一行（列）行列式任一行（列）的所有元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零对应元素的代数余子式乘积之和等于零.第21页，共50页，编辑于2022年，星期二推论推论3行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式中如果有两行
8、（列）元素成比例，则此行列式为零行列式为零证明证明第22页，共50页，编辑于2022年，星期二注：行列式的重要展开定理注：行列式的重要展开定理定理定理1.2第23页，共50页，编辑于2022年，星期二例例1 计算行列式计算行列式解解方法一：按第一行展开，得方法一：按第一行展开，得方法二方法二:按第二行展开按第二行展开,得得第24页，共50页，编辑于2022年，星期二例例2 2第25页，共50页，编辑于2022年，星期二例例3 3第26页，共50页，编辑于2022年，星期二性质性质4 4若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.则则D等于下列两个行列式之和
9、：等于下列两个行列式之和：例如例如第27页，共50页，编辑于2022年，星期二思考题思考题:若若第28页，共50页，编辑于2022年，星期二例例4 4第29页，共50页，编辑于2022年，星期二解解第30页，共50页，编辑于2022年，星期二第31页，共50页，编辑于2022年，星期二性质性质5把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行列式不对应的元素上去，行列式不变变例如例如第32页，共50页，编辑于2022年，星期二例例二、行列式的计算二、行列式的计算计算行列式常用方法：利用运算计算行列式常用方法：
10、利用运算把行列式把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值化为上三角形行列式，从而算得行列式的值第33页，共50页，编辑于2022年，星期二解解第34页，共50页，编辑于2022年，星期二第35页，共50页，编辑于2022年，星期二第36页，共50页，编辑于2022年，星期二第37页，共50页，编辑于2022年，星期二第38页，共50页，编辑于2022年，星期二例例2 2 计算计算 阶行列式阶行列式解解将第将第 都加到第一列得都加到第一列得当每一行（列）元素之和当每一行（列）元素之和都相等时，这是经常采用都相等时，这是经常采用的方法的方法.第39页，共50页，编辑于2022年，星期二第40
11、页，共50页，编辑于2022年，星期二 上（下）三角行列式等于主对角线上元素的上（下）三角行列式等于主对角线上元素的乘积，因此计算行列式常利用行列式的性质，乘积，因此计算行列式常利用行列式的性质，把把行列式化成上（下）三角行列式行列式化成上（下）三角行列式。这是计算行列式最基本这是计算行列式最基本的方法必须掌握的方法必须掌握第41页，共50页，编辑于2022年，星期二 例例3 计算行列式计算行列式的值的值,其中其中解解 降阶法第42页，共50页，编辑于2022年，星期二 证证用数学归纳法用数学归纳法例例4 证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式称为称为n阶范德蒙阶范德蒙
12、德德行列式行列式P41 7第43页，共50页，编辑于2022年，星期二第44页，共50页，编辑于2022年，星期二 n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式范德蒙德行列式是一类重要的行列式，结果要记住哦第45页，共50页，编辑于2022年，星期二 1.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具的计算化为低阶行列式计算的重要工具.三、小结三、小结第46页，共50页，编辑于2022年，星期二计算行列式常用方法计算行列式常用方法:(1)降阶法降阶法:利用行列式的性质利用行列式的性质,将它的某一行将它的某一行(列列)元素尽可元素尽可能多地化为能多地化为0,然后按该行然后按该行(列列)展开展开(2)化为上化为上(下下)三角形行列式三角形行列式,直接给出结果直接给出结果(3)拆项法拆项法 第47页，共50页，编辑于2022年，星期二思考题思考题求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和称为“箭”型行列式.1、第48页，共50页，编辑于2022年，星期二2、计算行列式计算行列式的值，其中的值，其中第49页，共50页，编辑于2022年，星期二思考题解答思考题解答解解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第50页，共50页，编辑于2022年，星期二