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1、线性代数阶行列式的性质线性代数阶行列式的性质第1页，共19页，编辑于2022年，星期一为行列式为行列式的的转置行列式转置行列式（Transpose）。行列式与它的转置行列式相等。行列式与它的转置行列式相等。不难用不难用归纳法归纳法去证明，证明过程略。去证明，证明过程略。称行列式称行列式 性质性质1性质性质1说明，行列式中行和列的地位是对称的。说明，行列式中行和列的地位是对称的。第2页，共19页，编辑于2022年，星期一互换第互换第i i行与行与j j行（行（）得）得 设行列式设行列式证证互换行列式中两行互换行列式中两行(列列)，行列式值变号。，行列式值变号。性质性质2第3页，共19页，编辑于2
2、022年，星期一1 1）当当 n=2 n=2 时时显然显然2）假设对阶数为）假设对阶数为n-1的行列式，结论成立，下证的行列式，结论成立，下证对对n（3）阶行列式命题结论也成立。）阶行列式命题结论也成立。下面用下面用数学归纳法数学归纳法证明：证明：第4页，共19页，编辑于2022年，星期一位置互换外，其余各行均相同。位置互换外，其余各行均相同。并将行列式并将行列式 与与 都按第都按第 k k 行展开，行展开，由由第一节定理第一节定理1 1的结论，得到的结论，得到 取定一个取定一个k k（k k i i，j j），），注意到行列式注意到行列式中除去第中除去第i i行与第行与第j j行的行的与与
3、第5页，共19页，编辑于2022年，星期一第第 k k行元素的行元素的余子式余子式 ，都是都是n-1n-1阶行列式阶行列式第6页，共19页，编辑于2022年，星期一余各行都相同。由归纳法假设知余各行都相同。由归纳法假设知 对对成立，成立，从而由前面的两个展开式可从而由前面的两个展开式可知知对对n n阶行列式也成立。阶行列式也成立。综上，命题得证。综上，命题得证。如果行列式中有两行（列）元素对应相如果行列式中有两行（列）元素对应相等，则此行列式为零。等，则此行列式为零。推论推论1而且而且,，除去两行的元素互换外，其除去两行的元素互换外，其第7页，共19页，编辑于2022年，星期一行列式中的某一行
4、行列式中的某一行(列列)中所有的元素都乘以同中所有的元素都乘以同一数一数k，等于用数，等于用数k乘此行列式，乘此行列式，证证 等式两边分别按第等式两边分别按第 i i 行展开即得。行展开即得。性质性质3即即第8页，共19页，编辑于2022年，星期一 行列式中某一行（列）中所有元素的公行列式中某一行（列）中所有元素的公因数，可以提取到行列式符号的前面。因数，可以提取到行列式符号的前面。如果行列式中某行（列）的元素全为零，如果行列式中某行（列）的元素全为零，则此行列式为零。则此行列式为零。如果一个行列式的两行（列）元素对应如果一个行列式的两行（列）元素对应成比例，则此行列式为零。成比例，则此行列式
5、为零。推论推论2 2推论推论3 3推论推论4第9页，共19页，编辑于2022年，星期一如如果果行行列列式式中中某某行行(列列)的的各各元元素素都都是是两两数数之之和和，则这个行列式等于两个行列式之和。则这个行列式等于两个行列式之和。与性质与性质3的证明类似，将等式左边的行列式的证明类似，将等式左边的行列式按第按第 i行展开即可。行展开即可。这个性质一般称之为这个性质一般称之为行列式分解行列式分解。证证性质性质4即即设该行为第i行第10页，共19页，编辑于2022年，星期一把把行行列列式式的的某某一一行行(列列)的的元元素素的的k(kR)倍倍加到另一行加到另一行(列列)上去，行列式的值不变。上去
6、，行列式的值不变。证证由推论由推论4和性质和性质4即可证得。即可证得。性质性质5 即即K第11页，共19页，编辑于2022年，星期一行行列列式式的的某某一一行行(列列)的的元元素素与与另另一一行行(列列)对对应元素的代数余子式乘积之和应元素的代数余子式乘积之和等于零，等于零，即即性质性质6第12页，共19页，编辑于2022年，星期一或第13页，共19页，编辑于2022年，星期一作行列式作行列式首先由性质首先由性质2的推论可知，当的推论可知，当时时,。则有则有 再再将它将它按第按第 j行展开行展开,证证(把把 原原 行行 列列 式式 中中 的的 第第j行行 元元 素素 也也 换换 为为 与与第第
7、i行相同的元素行相同的元素)第14页，共19页，编辑于2022年，星期一从而从而 命题得证。命题得证。本章本章第一节中定理第一节中定理1 1 与上述与上述 性质性质6 6 的结论可的结论可以合并为统一的一个式子：以合并为统一的一个式子：第15页，共19页，编辑于2022年，星期一其中其中上上述述结结论论非非常常重重要要，它它是是证证明明许许多多其其它它命命题题的的基基础。对行列式的础。对行列式的列列来说也有同样的性质。来说也有同样的性质。常称之为常称之为 函数函数（Kronecker Delta）第16页，共19页，编辑于2022年，星期一二、小结二、小结行列式的行列式的六个六个性质性质行列式性质的行列式性质的四个四个推论推论第17页，共19页，编辑于2022年，星期一三、思考题三、思考题已知已知4阶行列式阶行列式试求其试求其第二行第二行元素元素的代数余子式之和，即的代数余子式之和，即技巧性题技巧性题第18页，共19页，编辑于2022年，星期一思考题解答：思考题解答：由由性质性质6可知：用行列式的可知：用行列式的第一行第一行元素元素与与第二第二行行元素的代数余子式元素的代数余子式作乘积，其和为作乘积，其和为第19页，共19页，编辑于2022年，星期一