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1、行列式的应用第1页，共22页，编辑于2022年，星期二一、求解线性方程组一、求解线性方程组 定理定理（Cramer法则法则）如果线性方程组如果线性方程组 的系数行列式的系数行列式 第2页，共22页，编辑于2022年，星期二那么该方程组有唯一解那么该方程组有唯一解 其中其中 Dj 是把是把 D的第的第 j 列换为常数项后得到的行列式，列换为常数项后得到的行列式，即即第3页，共22页，编辑于2022年，星期二第4页，共22页，编辑于2022年，星期二推论推论 若齐次线性方程组若齐次线性方程组 有非零解，则它的系数行列式有非零解，则它的系数行列式 。第5页，共22页，编辑于2022年，星期二例例 已
2、知齐次线性方程组已知齐次线性方程组 有非零解，求有非零解，求 a。解解 因为有非零解，所以由推论得：所给齐次方因为有非零解，所以由推论得：所给齐次方程组的系数行列式等于零，即程组的系数行列式等于零，即 第6页，共22页，编辑于2022年，星期二于是于是 或或 。例例 对于方程组对于方程组 讨论当讨论当a取何值时，它有唯一解？无穷多解？无解？取何值时，它有唯一解？无穷多解？无解？第7页，共22页，编辑于2022年，星期二解解 易得所给方程组的系数行列式易得所给方程组的系数行列式 情况一情况一 且且 因因 ，故方程组有唯一解。，故方程组有唯一解。情况二情况二第8页，共22页，编辑于2022年，星期
3、二因因故对应阶梯形方程组有矛盾方程，此时方程组无解。故对应阶梯形方程组有矛盾方程，此时方程组无解。情况三情况三 因因 第9页，共22页，编辑于2022年，星期二故对应阶梯形方程组无矛盾方程，且方程个数小于未故对应阶梯形方程组无矛盾方程，且方程个数小于未知数个数，此时方程组有无穷多个解。知数个数，此时方程组有无穷多个解。二、方阵可逆的条件二、方阵可逆的条件 定义定义 设设 是是n阶方阵，阶方阵，是元素是元素 的代数余子式的代数余子式 ，则称，则称n阶方阵阶方阵 为为A的的伴随矩阵伴随矩阵，记为，记为 。第10页，共22页，编辑于2022年，星期二第11页，共22页，编辑于2022年，星期二例例
4、已知已知 则则 性质性质 设设A是方阵，则是方阵，则 第12页，共22页，编辑于2022年，星期二 定理定理 方阵方阵A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是 ，且当，且当 A可逆时可逆时 其中其中 为为 A的伴随矩阵。的伴随矩阵。三、矩阵的秩三、矩阵的秩 定理定理 设设A为为n阶方阵，则阶方阵，则 A满秩的充分必要条件是满秩的充分必要条件是 第13页，共22页，编辑于2022年，星期二 定义定义 任取矩阵任取矩阵 的的k个行个行(第第 行行)和和 k个列个列(第第 列列)第14页，共22页，编辑于2022年，星期二这些行、列的交叉点上的这些行、列的交叉点上的 个元素按原来顺序排列成个元素按
5、原来顺序排列成的的k阶行列式阶行列式 称为称为A 的一个的一个k阶阶子式子式；特别地，当；特别地，当 时，称时，称M 为为 A的一个的一个k阶阶主子式主子式；其中，当；其中，当 时，称时，称M 为为 A的一个的一个k阶阶顺序主子式顺序主子式。第15页，共22页，编辑于2022年，星期二 定理定理 设矩阵设矩阵 ，则，则 秩秩(A)=r 的充要的充要条件是条件是 A有一个有一个 r 阶子式不等于零，且所有阶子式不等于零，且所有r+1阶子阶子式（若有的话）全等于零。式（若有的话）全等于零。例例 设四阶方阵设四阶方阵A 的秩为的秩为2，求伴随矩阵，求伴随矩阵 的秩。的秩。解解 因为因为 A的秩为的秩
6、为2，故，故A存在不等于零的存在不等于零的2阶子式，阶子式，但全部但全部3阶和阶和4阶子式均等于零。阶子式均等于零。又又 A的每个的每个3阶子式都是阶子式都是 A的某一元素的余子式，的某一元素的余子式，所以所以 A的所有元素的代数余子式均为零。的所有元素的代数余子式均为零。于是，于是，即即 的秩为零。的秩为零。第16页，共22页，编辑于2022年，星期二 小结：小结：（1）熟练计算二阶、三阶行列式；熟练计算二阶、三阶行列式；（2）会计算四阶行列式；会计算四阶行列式；（3）会计算简单的会计算简单的n阶行列式；阶行列式；（4）会使用会使用Cramer法则；法则；（5）掌握行列式与矩阵的关系。掌握行
7、列式与矩阵的关系。第17页，共22页，编辑于2022年，星期二例例 已知已知4阶方阵阶方阵 可逆，求下列齐次线性方程组可逆，求下列齐次线性方程组 的一般解。的一般解。第18页，共22页，编辑于2022年，星期二 解解 设设 分别表示元素分别表示元素 的代数余子式的代数余子式 。令令 ，代，代入方程组。由行列式的性质得，入方程组。由行列式的性质得，恰为方程组的一个解。恰为方程组的一个解。因因 A可逆，故可逆，故 所以所以 不全为零，即不全为零，即 是上述齐次方程组的一个非零解。是上述齐次方程组的一个非零解。第19页，共22页，编辑于2022年，星期二 因此，所求一因此，所求一解为解为 ，这里，这
8、里k是任意常数。是任意常数。由此得所由此得所给齐次方程组的基础解系只含一个解，于是，非零解给齐次方程组的基础解系只含一个解，于是，非零解 就是一个基础解系。就是一个基础解系。所给方程组的系数矩阵所给方程组的系数矩阵 的每个的每个3阶子式都是矩阵阶子式都是矩阵 A的第一行某一元素的余子的第一行某一元素的余子式，而已得式，而已得 不全为零，故矩阵不全为零，故矩阵B至少至少有一个有一个3阶子式不等于零，所以阶子式不等于零，所以 B的秩为的秩为3。第20页，共22页，编辑于2022年，星期二例例 设设A 为为n阶方阵，且阶方阵，且 秩秩(A)=n 1，则，则 秩秩(A*)=1 证明证明 因因 秩秩(A
9、)=n1，故，故 A不满秩，所以不满秩，所以|A|=0。由此得由此得 由由 秩秩(A)+秩秩(A*)n 得得 秩秩(A*)n 秩秩(A)=n (n 1)=1 第21页，共22页，编辑于2022年，星期二 又因又因 秩秩(A)=n1，故，故 A至少有一个至少有一个n 1阶子式阶子式不等于零。而不等于零。而 A的每个的每个 n 1阶子式都是阶子式都是 A的某一元的某一元素的余子式，所以素的余子式，所以 A至少有一个元素的代数余子式至少有一个元素的代数余子式不等于零，由此可知不等于零，由此可知 。所以又有。所以又有 秩秩(A*)1综上所述，即得综上所述，即得 秩秩(A*)=1。第22页，共22页，编辑于2022年，星期二