自动控制理论时域分析幻灯片.ppt

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1、自动控制理论时域分析自动控制理论时域分析第1页，共116页，编辑于2022年，星期二3-1 引引 言言 分分分分析析析析和和和和设设设设计计计计控控控控制制制制系系系系统统统统的的的的首首首首要要要要任任任任务务务务是是是是建建建建立立立立系系系系统统统统的的的的数数数数学学学学模模模模型型型型。一一一一旦旦旦旦获获获获得得得得合合合合理理理理的的的的数数数数学学学学模模模模型型型型，就就就就可可可可以以以以采采采采用用用用不不不不同同同同的的的的分析方法来分析系统的性能。分析方法来分析系统的性能。分析方法来分析系统的性能。分析方法来分析系统的性能。经典控制理论中常用的工程方法有经典控制理论中

2、常用的工程方法有经典控制理论中常用的工程方法有经典控制理论中常用的工程方法有 时域分析法时域分析法 根轨迹法根轨迹法 频率特性法频率特性法频率特性法频率特性法分析内容分析内容分析内容分析内容v v 瞬态性能瞬态性能瞬态性能瞬态性能v v 稳态性能稳态性能稳态性能稳态性能v v 稳定性稳定性第2页，共116页，编辑于2022年，星期二 时时域域分分析析法法在在时时间间域域内内研研究究系系统统在在典典型型输输入入信信号号的的作作用用下下，其其输输出出响响应应随随时时间间变变化化规规律律的的方方法法。对对于于任任何何一一个个稳稳定定的的控控制制系系统统，输输出出响响应应含含有有瞬瞬态态分分量量和和稳

3、稳态分量。态分量。n n 瞬瞬态态分分量量 由由于于输输入入和和初初始始条条件件引引起起的的，随随时时间间的的推推移移而而趋趋向向消消失失的的响响应应部部分分，它它提提供供了了系系统统在在过过度度过过程中的各项动态性能的信息。程中的各项动态性能的信息。稳稳态态分分量量 是是是是过过过过渡渡渡渡过过过过程程程程结结结结束束束束后后后后,系系系系统统统统达达达达到到到到平平平平衡衡衡衡状状状状态态态态，其其其其输输输输入入入入输输输输出出出出间间间间的的的的关关关关系系系系不不不不再再再再变变变变化化化化的的的的响响响响应应应应部部部部分分分分，它它它它反反反反映映映映了了了了系系系系统统统统的稳

4、态性能或误差。的稳态性能或误差。的稳态性能或误差。的稳态性能或误差。时时时时域域域域分分分分析析析析法法法法的的的的物物物物理理理理概概概概念念念念清清清清晰晰晰晰，准准准准确确确确度度度度较较较较高高高高，在在在在已已已已知知知知系系系系统统统统结结结结构构构构和和和和参参参参数数数数并并并并建建建建立立立立了了了了系系系系统统统统的的的的微微微微分分分分方方方方程程程程后后后后，使使使使用用用用时时时时域域域域分分分分析析析析法法法法比比比比较较较较方方方方便便便便。不不不不过过过过若若若若用用用用它它它它来来来来设设设设计计计计和和和和校校校校正正正正系系系系统统统统，根根根根据据据据系

5、系系系统统统统性性性性能能能能指指指指标标标标的的的的要要要要求求求求来来来来选选选选定定定定系系系系统统统统的的的的结结结结构构构构和和和和参参参参数数数数，却却却却存存存存在一定的困难。在一定的困难。在一定的困难。在一定的困难。第3页，共116页，编辑于2022年，星期二为为为为了了了了研研研研究究究究控控控控制制制制系系系系统统统统的的的的输输输输出出出出响响响响应应应应，必必必必须须须须了了了了解解解解输输输输入入入入信信信信号号号号的的的的变变变变化化化化形形形形式式式式。在在在在工工工工程程程程实实实实际际际际中中中中，有有有有些些些些系系系系统统统统的的的的输输入入信信号号是是已

6、已知知的的（如如恒恒值值系系统统），但但对对有有些些控控制制系系统统来来说说，常常常常不不能能准准确确地地知知道道其其输输入入量量是是如如何何变变化化的的（如如随随动动系系统统）。因因此此，为为了了方方便便系系统统的的分分析析和和设设计计，使使各各种种控控制制系系统统有有一一个个进进行行比比较较的的基基础础，需需要要选选择择一一些些典典型型试试验验信信号号作作为为系系统统的的输输入入，然然后后比比较较各各种种系系统统对对这这些些输输入入信信号号的的响响应应。常常用用的的试试验验信信号号是是阶阶阶阶跃跃跃跃函函函函数数数数、斜斜斜斜坡坡坡坡函函函函数数数数、抛抛抛抛物物物物线线线线函函函函数数数

7、数、脉脉脉脉冲冲冲冲函函函函数数数数及及及及正正正正弦弦弦弦函函函函数数数数。这这这这些些些些函函函函数数数数都都都都是是是是简简简简单单单单的的的的时时时时间间间间函函函函数数数数，并并并并且且且且易易易易于于于于通通通通过过过过实实实实验验验验产产产产生生生生，便便便便于于于于数学分析和试验研究。数学分析和试验研究。数学分析和试验研究。数学分析和试验研究。第4页，共116页，编辑于2022年，星期二 如果控制系统的实际输入大部分是随时间逐渐增加如果控制系统的实际输入大部分是随时间逐渐增加如果控制系统的实际输入大部分是随时间逐渐增加如果控制系统的实际输入大部分是随时间逐渐增加的信号，则选用斜

8、坡函数较合适；如果作用到系统的输的信号，则选用斜坡函数较合适；如果作用到系统的输的信号，则选用斜坡函数较合适；如果作用到系统的输的信号，则选用斜坡函数较合适；如果作用到系统的输入信号大多具有突变性质时，则选用阶跃函数较合适。入信号大多具有突变性质时，则选用阶跃函数较合适。入信号大多具有突变性质时，则选用阶跃函数较合适。入信号大多具有突变性质时，则选用阶跃函数较合适。需要注意的是，不管采用何种典型输入型号，对同一系需要注意的是，不管采用何种典型输入型号，对同一系需要注意的是，不管采用何种典型输入型号，对同一系需要注意的是，不管采用何种典型输入型号，对同一系统来说，其过渡过程所反应出的系统特性应是

9、统一的。统来说，其过渡过程所反应出的系统特性应是统一的。统来说，其过渡过程所反应出的系统特性应是统一的。统来说，其过渡过程所反应出的系统特性应是统一的。这样，便有可能在同一基础上去比较各种控制系统的性这样，便有可能在同一基础上去比较各种控制系统的性这样，便有可能在同一基础上去比较各种控制系统的性这样，便有可能在同一基础上去比较各种控制系统的性能。此外，在选取试验信号时，除应尽可能简单，以便能。此外，在选取试验信号时，除应尽可能简单，以便能。此外，在选取试验信号时，除应尽可能简单，以便能。此外，在选取试验信号时，除应尽可能简单，以便于分析处理外，还应选择那些能使系统工作在最不利的于分析处理外，还

10、应选择那些能使系统工作在最不利的于分析处理外，还应选择那些能使系统工作在最不利的于分析处理外，还应选择那些能使系统工作在最不利的情况下的输入信号作为典型实验信号。情况下的输入信号作为典型实验信号。情况下的输入信号作为典型实验信号。情况下的输入信号作为典型实验信号。本本章章主主要要讨讨论论控控制制系系统统在在阶阶跃跃函函数数等等输输入入信信号号作用下的输出响应。作用下的输出响应。第5页，共116页，编辑于2022年，星期二h(t)t时间时间tr上上升升峰值时间峰值时间tpAB超调量超调量%=AB100%动态性能指标定义1h(t)t调节时间调节时间tsh(t)t时间时间tr上上升升峰值时间峰值时间

11、tpAB超调量超调量%=AB100%调节时间调节时间ts第6页，共116页，编辑于2022年，星期二3-2 一阶系统的时域响应一阶系统的时域响应 由由由由一一一一阶阶阶阶微微微微分分分分方方方方程程程程描描描描述述述述的的的的系系系系统统统统称称称称为为为为一一一一阶阶阶阶系系系系统统统统,典典型型闭闭环环控控制制一一阶阶系系统统如如图图3-23-2所所所所示示示示.其其其其中中中中 是是是是积积积积分分分分环环环环节节节节，T T为为它的时间常数。它的时间常数。图图3-2一阶系统的结构图一阶系统的结构图C(s)-R(s)第7页，共116页，编辑于2022年，星期二系统的传递函数为系统的传递函

12、数为可见，典型的一阶系统是一个惯性环节，而可见，典型的一阶系统是一个惯性环节，而T T T T也也是闭环系统的惯性时间常数。是闭环系统的惯性时间常数。系统输入、输出之间的关系为系统输入、输出之间的关系为系统输入、输出之间的关系为系统输入、输出之间的关系为 对应的微分方程为对应的微分方程为对应的微分方程为对应的微分方程为（3 33 3第8页，共116页，编辑于2022年，星期二 在零初始条件下，利用拉氏反变换或直接求解微分方程，可以求得一阶系统在典型输入信号作用下的输出响应。一、单位阶跃响应 设设系系统统的的输输入入为为单单位位阶阶跃跃函函数数r(t)r(t)=1(t)1(t),其拉氏变换为 ,

13、则输出的拉氏变换为则输出的拉氏变换为 第9页，共116页，编辑于2022年，星期二对上式进行拉氏反变换，求得单位阶跃响应为对上式进行拉氏反变换，求得单位阶跃响应为 上式表明，当初始条件为零时，一阶系统单位阶跃响应的变化曲线是一条单调上升的指数曲线,式中的1 1为稳态分量，为瞬态分量，当t时时 ，瞬态，瞬态分量衰减为零。在整个工作时间内，系统的响应都不会分量衰减为零。在整个工作时间内，系统的响应都不会超过起稳态值。由于该响应曲线具有非振荡特征，故也超过起稳态值。由于该响应曲线具有非振荡特征，故也称为非周期响应。一阶系统的单位阶跃响应曲线如图称为非周期响应。一阶系统的单位阶跃响应曲线如图3-23-

14、2所示。所示。第10页，共116页，编辑于2022年，星期二图图3-23-2中指数响应曲线的初中指数响应曲线的初始（始（t=0时）斜率为 .因此，如果系统保持初始响应的变化速度不变，则当t=Tt=T时，输出量就能达到稳态值。实际上，响应曲线的斜率是实际上，响应曲线的斜率是不断下降的，经过T时间后，输出量C C（T）从零上升到稳态值的63.2%。经过3T4T时，时，C（t t）将分别达到稳态值的95%95%98%98%。可见，时间常数。可见，时间常数T反应了系统的响应速度，T T越小，输出响应上升越快，响应过程的快越小，输出响应上升越快，响应过程的快速性也越好。速性也越好。斜率1C(t)0.95

15、T3T0.632图图3-2 3-2 一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应第11页，共116页，编辑于2022年，星期二由由式式（3-2）可可知知，只只有有当当t趋于无穷大时，响应的瞬态过程才能结束，在实际应用中，常以输出量达到稳态值的95%或或98%98%的时间作为系统的响应时间（即调节时间），这时输出量与稳态值之间的偏差为5%或或2%2%。系系统统单单位位阶阶跃跃响响应应曲曲线线可可用用实实验验的的方方法法确确定定，将将测测得得的的曲曲线线与与图图3-23-2的的曲曲线线作作比比较较，就就可可以以确确定定该该系系统统是是否否为为一一阶阶系系统统或或等等效效为为一一阶阶系系统统。此此外

16、外，用用实实验验的的方方法法测测定定一一阶阶系系统统的的输输出出响响应应由由零零值值开开始始到到达达稳稳态态值值的的63.2%63.2%所所需需的的时时间间，就可以确定系统的时间常数就可以确定系统的时间常数T。第12页，共116页，编辑于2022年，星期二 式中，式中，式中，式中，t-Tt-Tt-Tt-T为稳态分量，为稳态分量，为瞬态分量，当为瞬态分量，当tt时，时，瞬态分量衰减到零。一阶瞬态分量衰减到零。一阶系统的单位斜坡响应曲线系统的单位斜坡响应曲线如图如图如图如图3-33-33-33-3所示。所示。所示。所示。（t0）(3-3)T Tt tT TC(t)C(t)r(t)=tr(t)=to

17、 o图图3-3 3-3 一阶系统的单位斜坡响应一阶系统的单位斜坡响应二、单位斜坡响应二、单位斜坡响应二、单位斜坡响应二、单位斜坡响应 设系统的输入为单位斜坡函数设系统的输入为单位斜坡函数设系统的输入为单位斜坡函数设系统的输入为单位斜坡函数r(t)=tr(t)=tr(t)=tr(t)=t，其拉氏变换为其拉氏变换为其拉氏变换为其拉氏变换为 则输出的拉氏变换为则输出的拉氏变换为则输出的拉氏变换为则输出的拉氏变换为第13页，共116页，编辑于2022年，星期二显然，系统的响应从t=0时开始跟踪输入信号而单调时开始跟踪输入信号而单调上升，在达到稳态后，它与输入信号同速增长，但它们上升，在达到稳态后，它与

18、输入信号同速增长，但它们之间存在跟随误差。即之间存在跟随误差。即且且可见，当可见，当t t趋于无穷大时，误差趋近于T T，因此系统在进入稳态以后，在任一时刻，输出量c(t)c(t)将小于输入量r(t)一个T T的值，时间常数的值，时间常数T T越小，系统跟踪斜坡越小，系统跟踪斜坡输入信号的稳态误差也越小。输入信号的稳态误差也越小。第14页，共116页，编辑于2022年，星期二对上式进行拉氏变换，求得单位脉冲响应为由此可见，系统的单位脉冲响应就是系统闭环传递函数的拉氏变换。一阶系统的单的拉氏变换。一阶系统的单位脉冲响应曲线如图3-4所示。所示。（t0）(3-4)0.3680.368C(t)C(t

19、)3 3T T斜率斜率C(t)C(t)T T2 2T Tt t图图3-4 3-4 一阶系统的脉冲响应一阶系统的脉冲响应三、单位脉冲响应三、单位脉冲响应 设系统的输入为单位脉冲函数设系统的输入为单位脉冲函数r(t)=r(t)=(t),t),其拉氏变换为其拉氏变换为R(s)=1,则输出响应的拉氏变换为则输出响应的拉氏变换为第15页，共116页，编辑于2022年，星期二 一一阶阶系系统统的的单单位位脉脉冲冲响响应应是是单单调调下下降降的的指指数数曲曲线线，曲曲线线的的初初始始斜斜率率为为 ，输输出出量量的的初初始始值值为为 。当当 t趋于时，输出量c c()()趋于零，所以它不存在稳态分量在实际中一

20、般认为在t=3T4T4T时过度过程结束，故系统过度过程的快速性取决于T T的值，T越小系统响应的快速性也越好。由上面的分析可见，一阶系统的特权性由参数T来来表表述述，响响应应时时间间为为（3-43-4）T T；在t=0时时，单单位位阶阶跃跃响响应应的的斜斜率率和和单单位位脉脉冲冲响响应应的的幅幅值值均均为为 ;单单位位斜斜坡坡响响应应的的稳稳态态误误差差为为T。T T值越小，系统响应的快速性越好，精度越高。按按照照脉脉冲冲函函数数，阶阶跃跃函函数数、斜斜坡坡函函数数的的顺顺序序，前前者者是是后后者的导数，者的导数，而后者是前者的积分。第16页，共116页，编辑于2022年，星期二比比较较一一阶

21、阶系系统统对对上上述述信信号号的的输输出出响响应应可可以以发发现现，脉脉冲冲响响应应、阶阶跃跃响响应应、斜斜坡坡响响应应之之间间也也存存在在同同样样的的对对应应关关系系。这这表表明明，系系统统对对某某种种输输入入信信号号导导数数的的响响应应，等等于于对对该该输输入入信信号号响响应应的的导导数数。反反之之，系系统统对对某某种种输输入入信信号号积积分分的的响响应应，等等于于系系统统对对该该输输入入信信号号响响应应的的积积分分。这这是是线线性性定定常常系系统统的的一一个个重重要要特特征征，它它不不仅仅适适用用于于一一阶阶线线性性定定常常系系统统，也也适适用用于于高高阶阶线线性性定定常常系系统统。因因

22、此此，在在后后面面的的分分析析中，我们将主要研究系统的单位阶跃响应。中，我们将主要研究系统的单位阶跃响应。第17页，共116页，编辑于2022年，星期二3-3 3-3 二阶系统的时域响应二阶系统的时域响应 由由二二阶阶微微分分方方程程描描述述的的系系统统称称为为二二阶阶系系统统。在在控控制制工工程程实实践践中中，二二阶阶系系统统应应用用极极为为广广泛泛，此此外外，许许多多高高阶阶系系统统在在一一定定的的条条件件下下可可以以近近似似为为二二阶阶系系统统来来研研究究，因因此此，详详细细讨讨论论和和分分析析二二阶阶系系统统的的特特征征具具有极为重要的实际意义。有极为重要的实际意义。C(t)C(t)R

23、(t)R(t)_ _C(t)C(t)图图3-5 3-5 二阶系统结构图二阶系统结构图（3 35 5）设一个二阶系统的结构图如图设一个二阶系统的结构图如图3-53-5所示。所示。系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为 其中其中其中其中K K为系统的开环放为系统的开环放为系统的开环放为系统的开环放大系数，大系数，T T为时间常数。为时间常数。为时间常数。为时间常数。第18页，共116页，编辑于2022年，星期二与式（3-5）相对应的微分方程为）相对应的微分方程为 可见，该系统是一个二阶系统。为了分析方便，将系统的传递函数改写成如下形式式中 ，称为无阻尼自然

24、振荡角频率，（简称为无阻尼自振频率），称为阻尼系数（或阻尼比）。(3-6)第19页，共116页，编辑于2022年，星期二系统的闭环特征方程为系统的闭环特征方程为系统的闭环特征方程为系统的闭环特征方程为 （3-73-73-73-7）它的两个根为它的两个根为它的两个根为它的两个根为 （3-83-83-83-8）二二二二阶阶阶阶系系系系统统统统特特特特征征征征根根根根（即即即即闭闭闭闭环环环环极极极极点点点点）的的的的形形形形式式式式随随随随着着着着阻阻阻阻尼尼尼尼比比比比 取取取取值值值值的的的的不不不不同而不同。同而不同。同而不同。同而不同。1.1.1.1.二阶系统的阶跃响应二阶系统的阶跃响应

25、设系统的输入为单位阶跃函数，则系统输出响应的拉氏设系统的输入为单位阶跃函数，则系统输出响应的拉氏变换表达式为变换表达式为 （3-93-93-93-9）对上式取拉氏反变换，即可求得二阶系统的单位阶跃响对上式取拉氏反变换，即可求得二阶系统的单位阶跃响应应 。第20页，共116页，编辑于2022年，星期二（一）（一）过阻尼（过阻尼（1）的情况）的情况 当当 1时，系统具有两个不相等的负实数极点，它们在S S平面上的位置如图3-6所示。此时，（所示。此时，（3-9）可写成 （3-10）j j0 0 s s图图3-6 3-6 过阻尼时极点分布过阻尼时极点分布第21页，共116页，编辑于2022年，星期二

26、式中 将将 、代入式（代入式（3-103-10），并进行拉氏反变换，得 （3-11)式(3-11)(3-11)表明，系统的单位阶跃响应由稳态分量和瞬态分量组成，其稳态分量为1，瞬态分量包含两个衰减指数项，随着t t增加，指数项衰减，响应曲线单调上升，其响应曲线如图3-73-7所示。所示。第22页，共116页，编辑于2022年，星期二当当 时，闭环极点时，闭环极点 比比 距虚轴远的多，故距虚轴远的多，故 比比衰减快的多。因此，可以忽略衰减快的多。因此，可以忽略对系统输出的影响，从而把二阶系统近似看作一阶系统来处理。在工程上，当 时，这种近似处理方法具有足够的准确度。通常，称通常，称阻尼比 时二阶

27、系统的运动状态为过阻尼状态。C(t)C(t)t to o1 1图图3-7 3-7 过阻尼响应过阻尼响应第23页，共116页，编辑于2022年，星期二 它们在S S平面上的位置如图3-83-8所示。此时，式（3-9）可写成）可写成 （3-123-12）s so o图图3-8 3-8 欠阻尼时的极点分布欠阻尼时的极点分布(二二)欠阻尼（欠阻尼（）的情况）的情况 当 时，系统具有一对共轭复数极点，且在S平面的左半部分，即平面的左半部分，即第24页，共116页，编辑于2022年，星期二将它们代入式（将它们代入式（3-123-12）并将式中的第二项分成两项得）并将式中的第二项分成两项得因为因为式中式中

28、，称为阻尼自振频率。，称为阻尼自振频率。根据式（根据式（2-442-44）求得）求得 ，第25页，共116页，编辑于2022年，星期二令令令令 ,，其中，其中 角如图角如图3-83-8所示。于是有所示。于是有所示。于是有所示。于是有 式中式中 系统的稳态响应为系统的稳态响应为1 1 1 1，瞬态分量，瞬态分量，瞬态分量，瞬态分量是一个随时间是一个随时间t t的增大而衰减的的增大而衰减的正弦振荡过程。振荡的角频率为正弦振荡过程。振荡的角频率为 它取决于阻尼比它取决于阻尼比它取决于阻尼比它取决于阻尼比 和无阻尼自和无阻尼自和无阻尼自和无阻尼自然然然然频频频频率率率率 。衰衰衰衰减减减减速速速速度度

29、度度取取取取决决决决于于于于 的的的的大大大大小小小小。此此此此时时时时系系系系统统统统工工工工作作作作在在在在欠阻尼状态。输出响应如图欠阻尼状态。输出响应如图欠阻尼状态。输出响应如图欠阻尼状态。输出响应如图3-93-93-93-9所示。所示。t tC(t)C(t)1 10 0图图图图3-93-9欠阻尼响应欠阻尼响应欠阻尼响应欠阻尼响应第26页，共116页，编辑于2022年，星期二（三）临界阻尼（）的情况 当 时，系统具有两个相等的负实数极点，如图3-10所示。此时有 将 代入式（3-15），并进行拉氏反变换，得o o s s图图3-10 3-10 临界阻尼时极点的分布临界阻尼时极点的分布（3

30、 31515）第27页，共116页，编辑于2022年，星期二 该式表明，当 时，系统的输出响应由零开始单调上升，最后达到稳态值1，其响应曲线如图，其响应曲线如图3-11所示。所示。是输出响应的单调和振荡过程的分界，通常称为临界阻尼状态。（四）无阻尼（）的情况 当当 时，系统具有一对共轭纯虚数极点时，系统具有一对共轭纯虚数极点 ,它它们们在在S S平面上的位置如图3-123-12（a a）所示。将 代入式（3-133-13）得 t t1 1o oC(t)C(t)图图3-11 3-11 临界阻尼响应临界阻尼响应第28页，共116页，编辑于2022年，星期二 可可见见，系系统统的的输输出出响响应应是

31、是无无阻阻尼尼的的等等幅幅振振荡荡过过程程，其其振振荡荡频频率率为为 。响响应应曲曲线线如如图图3 3 3 3 12121212（b b b b）所示。所示。所示。所示。综上所述，不难看出频率综上所述，不难看出频率 和和 的物理意义。的物理意义。图图图图3-123-12无阻尼时的极点分布和响应无阻尼时的极点分布和响应无阻尼时的极点分布和响应无阻尼时的极点分布和响应 s so o(a)(a)C(t)C(t)(b)b)1 1t to o第29页，共116页，编辑于2022年，星期二 当当 ,系系统统具具有有实实部部为为正正的的极极点点,输输输输出出出出响响响响应应应应是是是是发发发发散散散散的的的

32、的，此时系统已无法正常工作。此时系统已无法正常工作。此时系统已无法正常工作。此时系统已无法正常工作。根根根根据据据据上上上上面面面面的的的的分分分分析析析析可可可可知知知知，在在在在不不不不同同同同的的的的阻阻阻阻尼尼尼尼比比比比时时时时，二二二二阶阶阶阶系系系系统统统统的的的的响响响响应应应应具具具具有有有有不不不不同同同同的的的的特特特特点点点点。因因因因此此此此阻阻阻阻尼尼尼尼比比比比 是是是是二二二二阶阶阶阶系系系系统统统统的的的的重重重重要要要要特特特特征征征征参参参参数数数数。若若若若选选选选取取取取 为为为为横横横横坐坐坐坐标标标标，可可可可以以以以作作作作出出出出不不不不同同同

33、同阻阻阻阻尼尼尼尼比比比比时时时时二阶系统单位阶跃响应曲二阶系统单位阶跃响应曲二阶系统单位阶跃响应曲二阶系统单位阶跃响应曲线线,无无无无 阻阻阻阻 尼尼尼尼 自自自自 然然然然 振振振振 荡荡荡荡 频频频频 率率率率，此此此此 时时时时 系系系系 统统统统 输输输输 出出出出 为为为为 等幅振荡等幅振荡等幅振荡等幅振荡 阻尼振荡频率。系统输出为衰减正弦振荡过程。阻尼振荡频率。系统输出为衰减正弦振荡过程。第30页，共116页，编辑于2022年，星期二如图如图3-13所示，此时曲线只和阻尼比所示，此时曲线只和阻尼比 有关。由图可见，有关。由图可见，越小，响应特性振荡得越厉害，随着越小，响应特性振荡

34、得越厉害，随着 增大到一定程度后，响应增大到一定程度后，响应特性变成单调上升的。从过特性变成单调上升的。从过渡过程持续的时间看，当系统无振荡时，以临界阻尼时统无振荡时，以临界阻尼时过渡过程的时间最短，此时，过渡过程的时间最短，此时，系统具有最快的响应速度。当系统在欠阻尼状态时，若当系统在欠阻尼状态时，若阻尼比阻尼比 在在0.40.40.80.8之间，之间，则系统的过度过程时间比临则系统的过度过程时间比临界阻尼时更短，而且此时的振荡特性也并不严重。界阻尼时更短，而且此时的振荡特性也并不严重。图图3-13 3-13 二阶系统的阶跃响应二阶系统的阶跃响应第31页，共116页，编辑于2022年，星期二

35、 一般希望二阶系统工作在 =0.40.80.8的欠阻尼状态下，的欠阻尼状态下，在工程实际中，通常选取在工程实际中，通常选取 作为设计系统的依据。作为设计系统的依据。2 2 2 2二阶系统瞬态性能指标二阶系统瞬态性能指标二阶系统瞬态性能指标二阶系统瞬态性能指标 在实际应用中，控制系统性能的好坏是通过系统的单在实际应用中，控制系统性能的好坏是通过系统的单位阶跃响应的特征量来表示的。为了定量地评价二阶系位阶跃响应的特征量来表示的。为了定量地评价二阶系统的控制质量，必须进一步分析统的控制质量，必须进一步分析 和 对系统单位阶跃响应的影响，并定义二阶系统单位阶跃响应的一些特征量作为评价系统的性能指标。除

36、除了了一一些些不不允允许许产产生生振振荡荡的的系系统统外外，通通常常希希望望二二阶阶系系统工作在统工作在 =0.4=0.40.8的欠阻尼状态下。第32页，共116页，编辑于2022年，星期二 此此时时，系系统统在在具具有有适适度度振振荡荡特特性性的的情情况况下下，能能有有较较短短的的过过渡渡过过程程时时间间，因因此此下下面面有有关关性性能能指指标标的的定定义义和和定定量量关关系系的的推推导导，主主要要是是针针对对二二阶阶系系统统的的欠欠阻阻尼尼工工作作状状态态进进行行的的。控控制制系系统统的的单单位位阶阶跃跃响响应应一一般般来来说说是是与与初初始始条条件件有有关关的的，为为了了便便于于比比较较

37、各各种种系系统统的的控控制制质质量量，通常假设系统的初始条件为零。通常假设系统的初始条件为零。系统在欠阻尼情况下的单位阶跃响应为系统在欠阻尼情况下的单位阶跃响应为 (3-18)(3-18)第33页，共116页，编辑于2022年，星期二对应的响应曲线如图3-143-14所示下面就根据式（3-183-18）和图和图3-143-14所示曲线来定所示曲线来定义系统的瞬态性能指标，同时讨论性能指标与特征量之间的关系。量之间的关系。1、上升时间 响应曲线从零开始上升，响应曲线从零开始上升，第一次到达稳态值所需的时间，称为上升时间。根据上述定义，当时，由式（3-18）可得超超调调量量C(t)C(t)上升时间

38、上升时间峰值时间峰值时间调节时间调节时间误差带误差带稳态误差稳态误差o o1.1.0 0t t图图3-14 3-14 二阶系统瞬态性能指标二阶系统瞬态性能指标第34页，共116页，编辑于2022年，星期二即即即即所以所以 （k=0,1,2k=0,1,2）由于上升时间由于上升时间由于上升时间由于上升时间 是是是是C C C C（t t）第一次到达稳态值的时间，）第一次到达稳态值的时间，故取故取k=1k=1，所以，所以，所以，所以 由式由式(3-19)(3-19)(3-19)(3-19)可以看出，当可以看出，当 一定时，阻尼比一定时，阻尼比 越大，上越大，上升时间升时间 越长，当越长，当 一定时，

39、一定时，越大，越大，越小。越小。(3-(3-19)19)第35页，共116页，编辑于2022年，星期二由定义，将式（由定义，将式（由定义，将式（由定义，将式（3-183-183-183-18）对时间求导，并令其等于零，即）对时间求导，并令其等于零，即）对时间求导，并令其等于零，即）对时间求导，并令其等于零，即得得得得经变换可得经变换可得经变换可得经变换可得所以所以所以所以即即即即 （k=1,2k=1,2k=1,2k=1,2，）因为峰值时间因为峰值时间因为峰值时间因为峰值时间 是是是是C(t)C(t)C(t)C(t)到达第一个峰值的时间，故取到达第一个峰值的时间，故取到达第一个峰值的时间，故取到

40、达第一个峰值的时间，故取=1,=1,=1,=1,所以所以所以所以2 2 2 2、峰值时间、峰值时间、峰值时间、峰值时间 响应曲线响应曲线C C（t t）从零开始到达第一个峰值所需时从零开始到达第一个峰值所需时间，称为峰值时间。间，称为峰值时间。（3 32020）第36页，共116页，编辑于2022年，星期二可可见见，当当 一一定定时时，越越大大，越越小小，反反应应速速度度越越快快。当当 一一定定时时，越越小小，也也越越小小。由由于于 是是闭闭环环极极点点虚虚部部的的数数值值，越越大大，则则闭闭环环极极点点到到实实轴轴的的距距离离越越远远，因因此此，也也可可以以说说峰峰值值时时间间 与与闭闭环环

41、极极点点到到实实轴轴的的距距离离成成反比。反比。（3 32020）第37页，共116页，编辑于2022年，星期二3 3 3 3、超调量、超调量、超调量、超调量 在在在在响响响响应应应应过过过过程程程程中中中中，输输输输出出出出量量量量C C（t t）超超出出其其稳稳态态值值的的最最大大差差量与稳态值之比称为超调量。量与稳态值之比称为超调量。超调量可表示为超调量可表示为超调量可表示为超调量可表示为式中式中式中式中 为输出量的最大值，为输出量的最大值，为输出量的最大值，为输出量的最大值，为输出量的稳态值。将式为输出量的稳态值。将式为输出量的稳态值。将式为输出量的稳态值。将式（3-203-203-2

42、03-20）代入式（）代入式（）代入式（）代入式（3-183-183-183-18）求得输出量的最大值为）求得输出量的最大值为）求得输出量的最大值为）求得输出量的最大值为所以所以 第38页，共116页，编辑于2022年，星期二根据超调量的定义，并考虑到根据超调量的定义，并考虑到根据超调量的定义，并考虑到根据超调量的定义，并考虑到 ，求得，求得，求得，求得 该式表明，该式表明，只是只是 的函数，的函数，而与而与而与而与 无关，无关，无关，无关，越小越小越小越小 ,则则则则 越大。当二阶系统的阻尼比越大。当二阶系统的阻尼比越大。当二阶系统的阻尼比越大。当二阶系统的阻尼比 确定后，即可求得对应的确定

43、后，即可求得对应的确定后，即可求得对应的确定后，即可求得对应的超调量超调量超调量超调量 。反之，如果给。反之，如果给。反之，如果给。反之，如果给出了超调量的要求值，也可出了超调量的要求值，也可求得相应的阻尼比的数值。求得相应的阻尼比的数值。求得相应的阻尼比的数值。求得相应的阻尼比的数值。一般当一般当 时，相应时，相应的超调量的超调量的超调量的超调量 。与与与与 关系曲线如图关系曲线如图关系曲线如图关系曲线如图3-153-153-153-15所示。所示。（3-21）1001009090808070706060505040403030202010100 00.20.20.40.40.60.60.8

44、0.81.01.0图图图图3-153-15欠阻尼二阶系统欠阻尼二阶系统欠阻尼二阶系统欠阻尼二阶系统超调与阻尼比关系曲线超调与阻尼比关系曲线超调与阻尼比关系曲线超调与阻尼比关系曲线第39页，共116页，编辑于2022年，星期二 4 4 4 4、调节时间、调节时间响响响响应应应应曲曲曲曲线线线线到到到到达达达达并并并并停停停停留留留留在在在在稳稳稳稳态态态态值值值值的的的的 （或或或或 )误误差差范范围围内内所所需的最小时间称为调节时间（或过渡过程时间）。需的最小时间称为调节时间（或过渡过程时间）。根据调节时间的定义应有下式成立根据调节时间的定义应有下式成立 式中式中式中式中 （或（或（或（或0.

45、020.02）将式（）将式（3-183-183-183-18）及）及）及）及 代入上式得代入上式得代入上式得代入上式得 为为简简单单起起见见，可可以以采采用用近近似似的的计计算算方方法法，忽忽略略正正弦弦函函数数的的影影响响，认认为为指指数数项项衰衰减减到到0.050.05（或或或或0.020.020.020.02）时时时时，过过过过渡渡渡渡过程即进行完毕，于是得到过程即进行完毕，于是得到过程即进行完毕，于是得到过程即进行完毕，于是得到 第40页，共116页，编辑于2022年，星期二由此可求得由此可求得若取若取若取若取 ，则得，则得，则得，则得 若取若取 ，则得，则得 (3-22)(3-22)

46、(3-23)第41页，共116页，编辑于2022年，星期二在在 时，上面两式可分别近似为时，上面两式可分别近似为 和和该式表明，调节时间该式表明，调节时间该式表明，调节时间该式表明，调节时间 近似与近似与近似与近似与 成反比。由于成反比。由于成反比。由于成反比。由于 是闭环极点实部的数值，是闭环极点实部的数值，是闭环极点实部的数值，是闭环极点实部的数值，越大，则闭环极点到虚轴的越大，则闭环极点到虚轴的越大，则闭环极点到虚轴的越大，则闭环极点到虚轴的距离越远，因此，可以近似地认为调节时间距离越远，因此，可以近似地认为调节时间距离越远，因此，可以近似地认为调节时间距离越远，因此，可以近似地认为调节

47、时间 与闭环极点与闭环极点与闭环极点与闭环极点到虚轴的距离成反比。在设计系统时，到虚轴的距离成反比。在设计系统时，到虚轴的距离成反比。在设计系统时，到虚轴的距离成反比。在设计系统时，通常由要求的超通常由要求的超通常由要求的超通常由要求的超调量所决定，而调节时间调量所决定，而调节时间调量所决定，而调节时间调量所决定，而调节时间 则由自然振荡频率则由自然振荡频率则由自然振荡频率则由自然振荡频率 所决定。所决定。所决定。所决定。也就是说，在不改变超调量的条件下，通过改变也就是说，在不改变超调量的条件下，通过改变也就是说，在不改变超调量的条件下，通过改变也就是说，在不改变超调量的条件下，通过改变 的值

48、的值的值的值可以改变调节时间。可以改变调节时间。可以改变调节时间。可以改变调节时间。(3-24)第42页，共116页，编辑于2022年，星期二5 5 5 5振荡次数振荡次数N NN N 响应曲线在响应曲线在响应曲线在响应曲线在 0 0 0 0 时间内波动的次数称为振荡次时间内波动的次数称为振荡次数。数。根据定义，振荡次数根据定义，振荡次数 式中式中式中式中 称为系统的阻尼振荡周期。称为系统的阻尼振荡周期。称为系统的阻尼振荡周期。称为系统的阻尼振荡周期。若取若取若取若取 ，若取若取 ，振荡次数只与阻尼比振荡次数只与阻尼比振荡次数只与阻尼比振荡次数只与阻尼比 有关。阻尼比有关。阻尼比有关。阻尼比有

49、关。阻尼比 和无阻尼自振频率和无阻尼自振频率和无阻尼自振频率和无阻尼自振频率 是二阶系统两个重要特征参数，它们对系统的性能具有决是二阶系统两个重要特征参数，它们对系统的性能具有决是二阶系统两个重要特征参数，它们对系统的性能具有决是二阶系统两个重要特征参数，它们对系统的性能具有决定性的影响。当保持定性的影响。当保持定性的影响。当保持定性的影响。当保持 不变时，提高不变时，提高不变时，提高不变时，提高 可使可使可使可使 、下降，下降，下降，下降，从而提高系统的快速性，同时系统的快速性，同时保持从而提高系统的快速性，同时系统的快速性，同时保持从而提高系统的快速性，同时系统的快速性，同时保持从而提高系

50、统的快速性，同时系统的快速性，同时保持 和和和和N N不变。不变。第43页，共116页，编辑于2022年，星期二当保持当保持当保持当保持 不变时，增大不变时，增大不变时，增大不变时，增大 可使可使可使可使 和和和和 下降下降下降下降 ,但使但使 和和 上升，显然在系统的振荡性能和快速性上升，显然在系统的振荡性能和快速性之间是存在矛盾的，要使二阶系统具有满意的动态之间是存在矛盾的，要使二阶系统具有满意的动态性能，必须选取合适的阻尼比和无阻尼自振荡率。性能，必须选取合适的阻尼比和无阻尼自振荡率。通常可根据系统对超调量的限制要求选定通常可根据系统对超调量的限制要求选定 ，然后，然后在根据其它要求来确