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1、自动控制理论第三章 线性时域1第1页，共135页，编辑于2022年，星期二一一.控制系统的分析方法控制系统的分析方法 分析控制系统的分析控制系统的第一步是建立模型第一步是建立模型，建立系建立系统的数学模型后，统的数学模型后，第二步第二步 分析控制性能分析控制性能，就是就是采用各种分析方法对系统的性能进行分析。采用各种分析方法对系统的性能进行分析。分析分析方法主要有方法主要有时域分析法时域分析法，频域分析法频域分析法，根轨迹法根轨迹法等。等。每种方法，各有千秋。均有他们的适用范围每种方法，各有千秋。均有他们的适用范围和对象。和对象。本章先讨论时域法。本章先讨论时域法。3.1 3.1 绪绪 言言2
2、第2页，共135页，编辑于2022年，星期二控制系统的控制系统的时域分析时域分析对系统外施一给对系统外施一给定输入信号，通过研究系统的时间响应来分析定输入信号，通过研究系统的时间响应来分析系统的性能。系统的性能。系统系统时间（时域）响应时间（时域）响应控制系统在某一控制系统在某一个输入信号作用下，其输出随时间变化的函数，个输入信号作用下，其输出随时间变化的函数，是描述系统的微分方程的解。是描述系统的微分方程的解。3第3页，共135页，编辑于2022年，星期二 二二.线性系统的时域分析法内容线性系统的时域分析法内容线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法典型输入信号典型输入信号线性定常系统的时域
3、响应线性定常系统的时域响应控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析线性系统的稳态误差计算线性系统的稳态误差计算一、二阶暂态响应性能指标一、二阶暂态响应性能指标高阶系统暂态响应分析高阶系统暂态响应分析4第4页，共135页，编辑于2022年，星期二实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，而是随机的。很难用实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，而是随机的。很难用解析的方法表示。只有在一些特殊的情况下是预先知道的，可以用解析的方法表示。只有在一些特殊的情况下是预先知道的，可以用解析的方法或者曲线表示。例如，切削机床的自动控制的例子。解析的方法或者曲线表示。例如，切削机床的自动控制的例子。3.2 3.
4、2 典型输入信号典型输入信号 Typicaltestsignals在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能要有评判、比较的依在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能要有评判、比较的依据。这个依据也许可以通过对这些系统加上各种输入信号，比较它们据。这个依据也许可以通过对这些系统加上各种输入信号，比较它们对特定的输入信号的响应来建立。对特定的输入信号的响应来建立。许多设计准则就建立在这些信号的基础上，或者建立在系统对初始许多设计准则就建立在这些信号的基础上，或者建立在系统对初始条件变化（无任何试验信号）的基础上，因为系统对典型试验信号条件变化（无任何试验信号）的基础上，因为系统对典型试验信号的
5、响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间，存在着一定的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间，存在着一定的关系，所以采用试验信号即典型输入信号来评价系统性能是合理的关系，所以采用试验信号即典型输入信号来评价系统性能是合理的。的。5第5页，共135页，编辑于2022年，星期二作作为典型的外部典型的外部输入信号，其具入信号，其具备的基本特点是：的基本特点是：在在实际工作工作现场或或实验室中，室中，这种外作用信号容易种外作用信号容易产生。生。在在典典型型的的外外部部信信号号作作用用下下，系系统的的响响应能能够反反映映出出该控控制制系系统在在实际工工作中的确定性能。作中的确定性能。选择的外部
6、作用信号其数学表达式的外部作用信号其数学表达式简单，便于，便于进行理行理论计算。算。常常用用的的典典型型输入入信信号号有有阶跃函函数数、斜斜坡坡函函数数、抛抛物物线函函数数、脉脉冲函数冲函数和和正弦函数。正弦函数。系系统数学模型由系数学模型由系统本身的本身的结构和参数决定，构和参数决定，输出响出响应除除与数学模型有关外，与数学模型有关外，还与系与系统的初始状的初始状态和和输入信号的形式有入信号的形式有关。关。在在实际的使用中，控制系的使用中，控制系统的的输入信号是多种多入信号是多种多样的。的。为便于便于分析和分析和设计，常采用典型的，常采用典型的输入信号入信号数学数学处理系理系统化，推知复化，
7、推知复杂输入下的系入下的系统性能。性能。6第6页，共135页，编辑于2022年，星期二 单位位阶跃函数的函数的拉氏变换拉氏变换为：通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一个统一的通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。这一章仅讨论系统这一章仅讨论系统对非周期信号的响应，也就是时域响应。对非周期信号的响应，也就是时域响应。（对正弦试验信号将在（对正弦试验信号将在第五章频域分析法、第六章校正方法中讨论）第五章频域分析法、第六章校正方法中讨论）定定义为为：式中式中A 为常量。常量。A=1的的阶
8、跃函数称函数称为单位阶跃函数，记为1（t）如如图图3-1所示。所示。一、阶跃函数一、阶跃函数7第7页，共135页，编辑于2022年，星期二 定定义：式中式中A为常量。当常量。当A=1时,称称为单位斜坡位斜坡函数函数,记为t1（t），如），如图3-2所示。所示。它等于它等于对单位位阶跃函数函数对时间的的积分。分。即即斜坡函数对时间的导数就是阶跃函数。斜坡函数对时间的导数就是阶跃函数。单位斜坡函数的拉氏位斜坡函数的拉氏变换为 R(S)=Lr(t)=1/s2 (3-4)如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，则斜坡时间函数如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，则斜坡时间函数是比较合适的。所
9、以是比较合适的。所以在分析随动系统时常用斜坡函数和加速度函在分析随动系统时常用斜坡函数和加速度函数。数。二、斜坡函数二、斜坡函数8第8页，共135页，编辑于2022年，星期二 定定义为：式中式中A为常量。常量。当当A=1时，称，称为单位位抛物抛物线函数函数，记为 如如图3-3所示。所示。它等于它等于单位斜坡函数位斜坡函数对时间的的积分。分。即单位抛物线函数对即单位抛物线函数对时间的导数就是单位斜坡函数。时间的导数就是单位斜坡函数。其拉氏其拉氏变换为：三、抛物线函数三、抛物线函数9第9页，共135页，编辑于2022年，星期二定定义为：脉冲函数如脉冲函数如图3-4所示所示,令令0,则称称为单位脉冲
10、函数位脉冲函数,记为（t）,见图3-4（b）,有有单位脉冲函数的位脉冲函数的拉氏拉氏变换为：单位脉冲函数是单位阶跃函数对时间的导数单位脉冲函数是单位阶跃函数对时间的导数四、脉冲函数四、脉冲函数10第10页，共135页，编辑于2022年，星期二 定定义为：式中式中,A为振幅；振幅；为角角频率。率。用用频率率不不同同的的正正弦弦函函数数作作为输入入信信号号，可可求求得系得系统此此时的的稳态响响应，在，在频率法中广泛使用。率法中广泛使用。五、正弦函数五、正弦函数11第11页，共135页，编辑于2022年，星期二 如系如系统的的输入入为r（t），），输出出为c（t），），则用以下常微分方程描用以下常微
11、分方程描述其运述其运动行行为:由由:可得可得式中式中 SiG(S)的极点；的极点；SkR(S)的极点。的极点。一一.线性定常系统的时域响应线性定常系统的时域响应3.3 控制系统的时域性能指标控制系统的时域性能指标12第12页，共135页，编辑于2022年，星期二如果如果Si和和Sk都是互异极点，都是互异极点，则系系统的零状的零状态响响应为式中式中Ak，Bk常数常数。由于由于si只是只是 G（s）的极点）的极点，所以式（所以式（3-14）等号右）等号右侧第一第一项与与输入无关，即入无关，即为系系统零状零状态响响应中的中的暂态响响应分量。分量。sk只与外只与外部部输入入r（t）有关）有关，所以式（
12、所以式（3-14）等号右）等号右侧第二第二项即即为系系统零零状状态响响应中的中的稳态响响应分量。分量。可从可从暂态响响应和和稳态响响应中求取系中求取系统的性能指的性能指标。13第13页，共135页，编辑于2022年，星期二1.瞬时响应和稳态响应瞬时响应和稳态响应 Transient Response&Steady_state Response 在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应可分解为响应可分解为瞬态响应（暂态响应、暂态分量）和（暂态响应、暂态分量）和稳态响应（稳态分量）（稳态分量）二二.动态过程和稳态过程动态过程和稳态过程瞬态响应 指
13、系统从初始状态到最终状态的响应过程。由于指系统从初始状态到最终状态的响应过程。由于实际控制系统具有惯性、摩擦、阻尼等原因。实际控制系统具有惯性、摩擦、阻尼等原因。稳态响应 是指当是指当t趋近于无穷大时，系统的输出状态，表趋近于无穷大时，系统的输出状态，表征系统输出量最终复现输入量的程度。或者说在相应输入征系统输出量最终复现输入量的程度。或者说在相应输入作用下系统的暂态响应衰减到零之后的响应。作用下系统的暂态响应衰减到零之后的响应。14第14页，共135页，编辑于2022年，星期二AbsoluteStability,RelativeStability,Steady_stateError 在设计控
14、制系统时，我们能够根据元件的性能，估算出系统在设计控制系统时，我们能够根据元件的性能，估算出系统的动态特性。控制系统动态特性中，最重要的是的动态特性。控制系统动态特性中，最重要的是绝对稳定性绝对稳定性，即，即系统是稳定的，还是不稳定的（指系统是稳定的，还是不稳定的（指稳定的条件稳定的条件）。如果控制系统没有）。如果控制系统没有受到任何扰动或输入信号的作用，系统的输出量保持在某一状态受到任何扰动或输入信号的作用，系统的输出量保持在某一状态上，控制系统便处于平衡状态。如果线性定常控制系统受到扰动上，控制系统便处于平衡状态。如果线性定常控制系统受到扰动量的作用后，输出量最终又返回到它的平衡状态，那么
15、，这种系量的作用后，输出量最终又返回到它的平衡状态，那么，这种系统是稳定的。如果线性定常控制系统受到扰动量作用后，输出量统是稳定的。如果线性定常控制系统受到扰动量作用后，输出量显现为持续的振荡过程或输出量无限制的偏离其平衡状态，那么显现为持续的振荡过程或输出量无限制的偏离其平衡状态，那么系统便是不稳定的。系统便是不稳定的。2.绝对稳定性、相对稳定性和稳态误差绝对稳定性、相对稳定性和稳态误差15第15页，共135页，编辑于2022年，星期二 3.3.系统不稳定产生的后果，实际上，物理系统输出量只能增加到一定的系统不稳定产生的后果，实际上，物理系统输出量只能增加到一定的范围，此后或者受到机械制动装
16、置的限制，或者使系统遭到破坏，也可范围，此后或者受到机械制动装置的限制，或者使系统遭到破坏，也可能当输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，而使线性微分方程不能当输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，而使线性微分方程不再适用。再适用。非线性系统的稳定性在第七章讨论。非线性系统的稳定性在第七章讨论。4.4.相对稳定性相对稳定性：因为物理控制系统包含有一些贮能元件，所以当因为物理控制系统包含有一些贮能元件，所以当输入量作用于系统时，系统的输出量不能立即跟随输入量的输入量作用于系统时，系统的输出量不能立即跟随输入量的变化，而是在系统达到稳态之前，表现为瞬态响应过程。对变化，而是在系统达到稳态之前，
17、表现为瞬态响应过程。对于实际控制系统，在达到稳态以前，它的瞬态响应，常常表于实际控制系统，在达到稳态以前，它的瞬态响应，常常表现为现为阻尼振荡过程阻尼振荡过程称动态过程。称动态过程。相对稳定性相对稳定性是度量系统稳定是度量系统稳定的程度。如的程度。如M Mp p、t ts s、K Kg g、等。等。5.5.稳态误差稳态误差：如果在稳态时，系统的输出量与输入量不能完全吻合，：如果在稳态时，系统的输出量与输入量不能完全吻合，就认为系统有稳态误差。这个误差表示系统的准确度。就认为系统有稳态误差。这个误差表示系统的准确度。16第16页，共135页，编辑于2022年，星期二三三.动态性能指标：动态性能指
18、标：在分析控制系统时，我们既要研究系统的在分析控制系统时，我们既要研究系统的瞬态响应瞬态响应，如达到新，如达到新的稳定状态所需的时间，同时也要研究系统的的稳定状态所需的时间，同时也要研究系统的稳态特性稳态特性，以确定，以确定对输入信号跟踪的误差大小。对输入信号跟踪的误差大小。在许多实际情况中，控制系统所需要的性能指标，常以时域量值在许多实际情况中，控制系统所需要的性能指标，常以时域量值的形式给出。通常，控制系统的性能指标，指系统在初使条件为零的形式给出。通常，控制系统的性能指标，指系统在初使条件为零（静止状态，输出量和输入量的各阶导数为（静止状态，输出量和输入量的各阶导数为0 0），），对（单
19、位）阶跃对（单位）阶跃输入信号的瞬态响应输入信号的瞬态响应。实际控制系统的瞬态响应，在达到稳态以前，常常表现为阻尼振实际控制系统的瞬态响应，在达到稳态以前，常常表现为阻尼振荡过程，为了说明控制系统对单位阶跃输入信号的瞬态响应特性，荡过程，为了说明控制系统对单位阶跃输入信号的瞬态响应特性，通常采用下列一些性能指标。通常采用下列一些性能指标。17第17页，共135页，编辑于2022年，星期二 延迟时间延迟时间 td （DelayTime）响应曲线第一）响应曲线第一次达到稳态值的一半次达到稳态值的一半所需的时间。所需的时间。峰值时间峰值时间 tp（PeakTime）：响应曲线达到超调量的第一个峰值所
20、）：响应曲线达到超调量的第一个峰值所需要的时间。需要的时间。上升时间上升时间tr（RiseTime）响应曲线从稳）响应曲线从稳态值的态值的10%上升到上升到90%，所需的时间。上升时间，所需的时间。上升时间越短，响应速度越快。越短，响应速度越快。18第18页，共135页，编辑于2022年，星期二%评评价系价系统统的阻尼程度。的阻尼程度。tr或或tp评评价系价系统统的响的响应应速度；速度；ts同同时时反映响反映响应应速度和阻尼程度的速度和阻尼程度的综综合性指合性指标标。调节调节时间时间ts（SettlingTime）：响应曲线达到并永远保持在响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内，所需一个允
21、许误差范围内，所需的最短时间。用稳态值的百的最短时间。用稳态值的百分数表示（分数表示（通常取通常取5%或或2%）超调量超调量Mp p（MaximumOvershoot）指响指响应的输出超过对应输入的终应的输出超过对应输入的终值的最大偏移。常用最大超值的最大偏移。常用最大超调百分数表示：即调百分数表示：即 19第19页，共135页，编辑于2022年，星期二3.4 3.4 控制系统暂态响应控制系统暂态响应一、一阶一、一阶系统的时域分析系统的时域分析二、二阶系统的时域分析二、二阶系统的时域分析三、高阶系统的时域分析三、高阶系统的时域分析20第20页，共135页，编辑于2022年，星期二一、一阶系统的
22、时域响应一、一阶系统的时域响应一阶系统的方框图如右一阶系统的方框图如右系统的闭环传函为系统的闭环传函为 下面分别就不同的典型输入信号，分析系统在零下面分别就不同的典型输入信号，分析系统在零初始条件下的时域响应。初始条件下的时域响应。用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。这种系统实际上是一个非周期性的惯性环节。这种系统实际上是一个非周期性的惯性环节。21第21页，共135页，编辑于2022年，星期二22第22页，共135页，编辑于2022年，星期二单位阶跃响应单位阶跃响应（Unit-StepResponseofFirst-orderSystem）因为
23、单位阶跃函数的拉氏变换为：因为单位阶跃函数的拉氏变换为：一阶系统的单位阶跃响应是一条指数曲线，它的一阶系统的单位阶跃响应是一条指数曲线，它的特点是：特点是：23第23页，共135页，编辑于2022年，星期二（）在（）在t=0处，曲线的斜率为处，曲线的斜率为 （）（）t=时，曲线上升到稳态值的时，曲线上升到稳态值的63.2%；（）（）t=时，输出达稳态值的时，输出达稳态值的95%，t=可见一阶系统的时间常数反映了可见一阶系统的时间常数反映了系统的响应速度，响应快。系统的响应速度，响应快。当系统的输出达到稳态值的当系统的输出达到稳态值的95%或或98%时，我们认为系统时，我们认为系统已达到稳态，系
24、统达到稳态的时间称为系统的响应时间，对已达到稳态，系统达到稳态的时间称为系统的响应时间，对于一阶系统，响应时间为于一阶系统，响应时间为。由于由于c(t)的终值为的终值为1，因而系统阶跃输入时的稳态误差为零。，因而系统阶跃输入时的稳态误差为零。动态性能指标：动态性能指标：0.63224第24页，共135页，编辑于2022年，星期二单位斜坡响应单位斜坡响应(Unit-rampResponseoffirst-orderSystems)输出与输入的误差为输出与输入的误差为当时，越小，系统跟踪斜坡输入信号的稳态误差也越小越小，系统跟踪斜坡输入信号的稳态误差也越小25第25页，共135页，编辑于2022年
25、，星期二单位脉冲响应(Unit-impulseresponseoffirst-ordersystems)也可直接由单位阶跃响应的求导得出上式结果一阶系统的特征可用一个参量时间常数来表示26第26页，共135页，编辑于2022年，星期二响应时间为（）响应时间为（）t=0时，单位阶跃响应的时，单位阶跃响应的变化率为变化率为t=0时，单位脉冲响应时，单位脉冲响应的幅值为的幅值为单位斜坡响应的稳态单位斜坡响应的稳态误差为误差为一阶系统的单位脉冲响应，单位一阶系统的单位脉冲响应，单位阶跃响应和斜坡响应可以看出，系统阶跃响应和斜坡响应可以看出，系统对某信号导数的响应，等于对该输入信号响应的导数对某信号导数
26、的响应，等于对该输入信号响应的导数反之，系统对某信号积分的响应，等于系统对该信号响反之，系统对某信号积分的响应，等于系统对该信号响应的积分。应的积分。这是线性定常系统不同于线性时变化系统和非线性系统这是线性定常系统不同于线性时变化系统和非线性系统的重要特性。的重要特性。27第27页，共135页，编辑于2022年，星期二 上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。表：表：一阶系统对典型输入信号的响应一阶系统对典型输入信号的响应4 一阶系统的单位加速度响
27、应28第28页，共135页，编辑于2022年，星期二表表1:1:一阶系统对典型输入信号的响应一阶系统对典型输入信号的响应输入信号时域输入信号频域输出响应传递函数11(t)t微分微分等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；数；系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。件确定。29第29页，共135页，编辑于2022年，星期二二、二阶系统的时域响应 二阶系统：凡以二阶微分方程作为运动
28、方程的控制系统。二阶系统：凡以二阶微分方程作为运动方程的控制系统。在分析和设计系统时，二阶系统的响应特性常被视为一种基准，虽然实际中的系统不尽在分析和设计系统时，二阶系统的响应特性常被视为一种基准，虽然实际中的系统不尽是二阶系统，但高阶系统常可以用二阶系统近似。因此对二阶系统的响应进行重点讨论。是二阶系统，但高阶系统常可以用二阶系统近似。因此对二阶系统的响应进行重点讨论。1.二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型30第30页，共135页，编辑于2022年，星期二二阶系统的时域响应令令则则 上式为典型二阶系统的上式为典型二阶系统的标准形式，相应的方块图如上图所示。标准形式，相应的方块图如上图所示。
29、其动态特性，可以用其动态特性，可以用 和和 加以描述。加以描述。阻尼比或衰减系数阻尼比或衰减系数 无阻尼自然振荡角频率无阻尼自然振荡角频率二阶系统的特征方程：二阶系统的特征方程：由系统的特征方程不难求出闭环系统的极点为：由系统的特征方程不难求出闭环系统的极点为：31第31页，共135页，编辑于2022年，星期二所以，二阶系统的极点分布为：两个正两个正实实部的特征根部的特征根,发发散散 ，闭环闭环极点极点为为共扼复共扼复数根，位于数根，位于左左半半S S平面，欠阻平面，欠阻尼系尼系统统，为为两个相等的根，两个相等的根，临临界阻尼系界阻尼系统统，两个不相等的，两个不相等的实实根，根，过过阻尼系阻尼
30、系统统，在在虚虚轴轴上，瞬上，瞬态态响响应变应变为为等幅振等幅振荡荡32第32页，共135页，编辑于2022年，星期二二阶系统的单位阶跃响应2二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应(Unit-StepResponseofSecond-OrderSystems)二阶系统的响应分三种情况讨论（）过阻尼（）的情况闭环极点为S1、S2是小于零的两个实根33第33页，共135页，编辑于2022年，星期二二阶系统的单位阶跃响应系统的单位阶跃响应可求得如下：按不同极点的情况求系数=134第34页，共135页，编辑于2022年，星期二二阶系统的单位阶跃响应求拉氏的反变换，得求拉氏的反变换，得可见，单位阶
31、跃响应有稳态分量和暂态分量两部分曲线，而可见，单位阶跃响应有稳态分量和暂态分量两部分曲线，而暂态分量包含两项衰减的指数项比较两项的衰减指数，当暂态分量包含两项衰减的指数项比较两项的衰减指数，当 时，后一项的衰减指数远大于前一项，就是后一项时，后一项的衰减指数远大于前一项，就是后一项衰减得很快，只在响应的初期有影响。所以对过阻尼二衰减得很快，只在响应的初期有影响。所以对过阻尼二阶系统，当阶系统，当 时，可以近似为一阶系统，将后一项忽略时，可以近似为一阶系统，将后一项忽略。得到近似传递函数：。得到近似传递函数：35第35页，共135页，编辑于2022年，星期二二阶系统的系统的响应 近似传函与原传函
32、的初始值和终值保持不变。近似传函与原传函的初始值和终值保持不变。系统的调节时间为系统的调节时间为在工程上，当在工程上，当 时，使用上述近似关系已有足够的准确度时，使用上述近似关系已有足够的准确度了了此时系统的单位阶跃响应近似为具有时间常数为：此时系统的单位阶跃响应近似为具有时间常数为：的一阶系统的一阶系统或或36第36页，共135页，编辑于2022年，星期二（2）临界阻尼的情况临界阻尼的情况当时，闭环极点为：当时，闭环极点为：单位阶跃响应的拉氏变换为单位阶跃响应的拉氏变换为求其拉氏反变换，得此时二阶系统的单位阶跃响应为单调上升曲线。与过阻尼一样，此时二阶系统的单位阶跃响应为单调上升曲线。与过阻
33、尼一样，无超调，但它是这一类响应中最快的，调节时间为无超调，但它是这一类响应中最快的，调节时间为：二阶系统的系统的响应ts4.7(取取=5)37第37页，共135页，编辑于2022年，星期二二阶系统的系统的响应（3）欠阻尼的情况欠阻尼的情况系统的闭环极点为系统的闭环极点为是一对共轭复数极点，因为实部极点为负是一对共轭复数极点，因为实部极点为负所以位于左半平面。单位阶跃输入时，所以位于左半平面。单位阶跃输入时，输出的拉氏变换为：输出的拉氏变换为：38第38页，共135页，编辑于2022年，星期二二阶系统的系统的响应查拉氏变换表，可求得：查拉氏变换表，可求得：欠阻尼时，系统的阶跃响应欠阻尼时，系统
34、的阶跃响应 的第一项是稳态分量，的第一项是稳态分量，第二项是振幅按指数规律衰减的阻尼正弦振荡，其振荡频率第二项是振幅按指数规律衰减的阻尼正弦振荡，其振荡频率为为:称为阻尼自然振荡频率。称为阻尼自然振荡频率。阻尼角阻尼角39第39页，共135页，编辑于2022年，星期二时单位阶跃响应时单位阶跃响应40第40页，共135页，编辑于2022年，星期二是无阻尼等幅振荡，为系统的无阻尼自然频率。是无阻尼等幅振荡，为系统的无阻尼自然频率。这这是一条平均是一条平均值为值为1的正、余弦形式等幅振的正、余弦形式等幅振荡荡，其振，其振荡频荡频率率为为 由系统本身的结构参数确定由系统本身的结构参数确定 故称故称为为
35、无阻无阻尼振尼振荡频荡频率。率。41第41页，共135页，编辑于2022年，星期二二阶系统的系统的响应 二阶系统有两个参数二阶系统有两个参数 和和，阻尼比，阻尼比 是二阶是二阶系统的重要特征参数，不同阻尼比的二阶系统的阶跃响系统的重要特征参数，不同阻尼比的二阶系统的阶跃响应有很大区别。应有很大区别。取横坐标为，不同阻尼比取横坐标为，不同阻尼比 值下的二阶系统单位值下的二阶系统单位阶跃响应曲线族如图所示：阶跃响应曲线族如图所示：42第42页，共135页，编辑于2022年，星期二从图可见：从图可见：（）越小，振荡越厉害，当增大到以后，曲线（）越小，振荡越厉害，当增大到以后，曲线变为单调上升。变为单
36、调上升。（）（）之间时，欠阻尼系统比临界阻尼系之间时，欠阻尼系统比临界阻尼系统更快达到稳态值。统更快达到稳态值。（）在无振荡时，临界阻尼系统具有最快的响应。（）在无振荡时，临界阻尼系统具有最快的响应。（）过阻尼系统过渡过程时间长。（）过阻尼系统过渡过程时间长。43第43页，共135页，编辑于2022年，星期二不同不同 时典型二典型二阶系系统特征方程根、特征根在特征方程根、特征根在S平面上的位置及平面上的位置及单位位阶跃响响应曲曲线。44第44页，共135页，编辑于2022年，星期二3.二阶系统暂态响应的性能指标二阶系统暂态响应的性能指标 二阶系统的特征参量阻尼比和无阻尼自然振二阶系统的特征参量
37、阻尼比和无阻尼自然振荡角频率对系统的响应具有决定性的影响。荡角频率对系统的响应具有决定性的影响。现在针对欠阻尼的情况，讨论暂态响现在针对欠阻尼的情况，讨论暂态响应指标与特征参量的关系。应指标与特征参量的关系。欠阻尼时，二阶系统的单位阶跃响应为欠阻尼时，二阶系统的单位阶跃响应为（）（）45第45页，共135页，编辑于2022年，星期二（1）上升时间）上升时间在暂态过程中，第一次达到稳在暂态过程中，第一次达到稳态值的时间态值的时间在（）式中令在（）式中令c(t)=1，可得，可得46第46页，共135页，编辑于2022年，星期二因为上升时间是第一次达到稳态值的时间，故取因为上升时间是第一次达到稳态值
38、的时间，故取n=1,于是于是（2）峰值时间）峰值时间响应由零上升到第一个峰值所需响应由零上升到第一个峰值所需的时间的时间对（）求一阶系数，并令其为零，得对（）求一阶系数，并令其为零，得一定，响响应应速度越快速度越快47第47页，共135页，编辑于2022年，星期二移项并约去公因子后得移项并约去公因子后得到达第一个峰值时，从而得到达第一个峰值时，从而得48第48页，共135页，编辑于2022年，星期二（3）最大超调量最大超调量最大超调量发生在时刻，将最大超调量发生在时刻，将代入（）式，便得代入（）式，便得从上式可见，完全由决定，从上式可见，完全由决定，（%）=C（t）maxC（）C（）X 100
39、%49第49页，共135页，编辑于2022年，星期二（4）调整时间调整时间与稳态值之间的与稳态值之间的差值达到允许范围（取差值达到允许范围（取或）时的暂态过程时间或）时的暂态过程时间满足上式的值有多个，按定义，其中最大的值是满足上式的值有多个，按定义，其中最大的值是调整时间调整时间 为简单起见，采用近似的计算方法，认为指数项为简单起见，采用近似的计算方法，认为指数项衰减到衰减到0.05或或0.02时，暂态过程结束，因此忽略正弦时，暂态过程结束，因此忽略正弦函数的影响，得到函数的影响，得到50第50页，共135页，编辑于2022年，星期二由此可求得由此可求得(当当00.8)近似与成反比近似与成反
40、比在设计系统时，通常由要求的在设计系统时，通常由要求的决定，所以由所决定决定，所以由所决定 由图可见由图可见,当当 =0.68时时,为最小为最小.设计二阶系统时设计二阶系统时,一般取一般取 =0.707为最为最佳阻尼比佳阻尼比,此时不但此时不但 最小最小,而且而且 也不也不大大.最小值不应低于最小值不应低于0.551第51页，共135页，编辑于2022年，星期二结论：结论：（）根据值的大小可以间接判断一个二阶系统的暂态特（）根据值的大小可以间接判断一个二阶系统的暂态特性性a.，单位阶跃响应为单调曲线，没有超调和振荡，但调整时，单位阶跃响应为单调曲线，没有超调和振荡，但调整时间较长，系统反应迟缓
41、间较长，系统反应迟缓b.，响应为单调曲线，调整时间比的情况短，响应为单调曲线，调整时间比的情况短c.，输出为等幅振荡，系统不能稳定工作。，输出为等幅振荡，系统不能稳定工作。d.一般希望二阶系统工作在欠阻尼状态下，但不能一般希望二阶系统工作在欠阻尼状态下，但不能过小，否则大，短，为了限制超调量，应在过小，否则大，短，为了限制超调量，应在0.40.8之间，这时超调量将在之间，这时超调量将在25%2.5%之间之间 52第52页，共135页，编辑于2022年，星期二因为只和有关，常根据允许的来选择因为只和有关，常根据允许的来选择（）以闭环极点在平面上的位置可以大致估计和（）以闭环极点在平面上的位置可以
42、大致估计和的大小的大小a.与闭环极点到实轴的距离成反比与闭环极点到实轴的距离成反比b.可近似地认为与闭环极点到虚轴的距离成反可近似地认为与闭环极点到虚轴的距离成反比比c.在一定时，可通过改变来改变，越大，越短在一定时，可通过改变来改变，越大，越短53第53页，共135页，编辑于2022年，星期二例：已知单位反馈系统的开环传递函数为例：已知单位反馈系统的开环传递函数为确定系统的和，并求最大超调量和调整时间确定系统的和，并求最大超调量和调整时间解：因为解：因为可得可得54第54页，共135页，编辑于2022年，星期二例例:设控制系控制系统的方框的方框图如如3-26图所示，当有所示，当有单位位阶跃信
43、号作用于信号作用于系系统时，试求系求系统的的暂态性能指性能指标tr、tp、ts和和%。解解 求出系求出系统的的闭环传递函数函数为：55第55页，共135页，编辑于2022年，星期二例：例：如如3-27图所示的所示的单位反位反馈随随动系系统，K=16s-1,T=0.25s,试求：求：（1）特征参数）特征参数 和和 n；（；（2）计算算%和和ts;（3)若要求若要求%=16%，当，当T不不变时K应当取何当取何值？解解 （1）求出系）求出系统闭环传递函数函数为：因此有：因此有：(2)则56第56页，共135页，编辑于2022年，星期二（3）为使使%=16%，由式，由式得得=0.5,=0.5,当当T=
44、0.25T=0.25不不变时，因因则有则有或或57第57页，共135页，编辑于2022年，星期二课堂测验课堂测验 1.系统的结构图如图所示。系统的结构图如图所示。已知一阶环节的传递函数已知一阶环节的传递函数 。今欲采用加负反馈的今欲采用加负反馈的办法，将过渡过程时间办法，将过渡过程时间ts减小为原来的减小为原来的0.1倍，并保证总放大系数倍，并保证总放大系数不变。试确定参数不变。试确定参数k kh和和K K0的数值。的数值。K K0G(S)K KhR(S)C(S)-58第58页，共135页，编辑于2022年，星期二2.如图所示系统结构图与其单位阶跃响应如图所示系统结构图与其单位阶跃响应,试确定
45、试确定k1、k2及及的值。的值。K2s(s+)k1R(S)C(S)t00.82.182.0c(t)-作业作业 P1133-5 3-7 3-10 3-11 59第59页，共135页，编辑于2022年，星期二4二阶系统的脉冲响应二阶系统的脉冲响应通过对单位阶跃响应求导可得到单位脉冲响应通过对单位阶跃响应求导可得到单位脉冲响应或或对系系统闭环传递函数直接函数直接进行拉氏反行拉氏反变换，得不同，得不同 值时二二阶系系统的的单位脉冲响位脉冲响应 60第60页，共135页，编辑于2022年，星期二结论：（1）如果脉冲响如果脉冲响应(t)不不改改变符号，符号，则系系统的的 1 1，即即为临界阻尼或界阻尼或过
46、阻尼；阻尼；（2）欠阻尼）欠阻尼时，响，响应曲曲线围绕零零值振振荡（3 3）单位脉冲响位脉冲响应曲曲线第第一次与一次与时间轴交点的交点的时间为峰峰值时间t tp p（4 4）单位脉冲响位脉冲响应曲曲线与与时间轴包包围的面的面积代数和代数和为1 1。61第61页，共135页，编辑于2022年，星期二(1)在典型二在典型二阶系系统的的闭环传递函数中增加一个函数中增加一个闭环零点，构成一零点，构成一类具有零具有零点的二点的二阶系系统。它的。它的阶跃响响应与典型二与典型二阶系系统明明显不同。此不同。此时系系统的的闭环传递函数函数为：写成零、极点形式写成零、极点形式时：设典型二典型二阶系系统的的单位位阶
47、跃响响应为c1(t)，c2(t)为增加零点引起的响增加零点引起的响应分量分量,则上述具有零点的二上述具有零点的二阶系系统单位位阶跃响响应c(t)与与c1(t)、c2(t)具有以下关系：具有以下关系：求拉氏反求拉氏反变换，得：，得：5.具有零点的二阶系统分析具有零点的二阶系统分析62第62页，共135页，编辑于2022年，星期二为定量定量说明引入的零点明引入的零点对典型二典型二阶系系统性能的影响，引入性能的影响，引入不同不同时的的单位位阶跃响响应曲曲线%与与的关系的关系63第63页，共135页，编辑于2022年，星期二几点结论：几点结论：当其它条件不当其它条件不变时，附加一个零点，将使，附加一个
48、零点，将使%增大，增大，tr和和tp减小减小;减小减小时，明，明显加大上述影响；加大上述影响；加大加大时，对系系统的影响的影响变小，增大到一定程度小，增大到一定程度时，可以，可以忽略忽略该零点的影响；零点的影响；采用在系采用在系统闭环外增加一外增加一阶微分微分环节的方法的方法实现附附加零点，加零点，该方法不改方法不改变原系原系统的的闭环极点。极点。64第64页，共135页，编辑于2022年，星期二（2）微分微分顺馈-另一另一类增加零点的方法增加零点的方法 本方法在增加一个本方法在增加一个闭环零点的同零点的同时，也改，也改变了原系了原系统的的阻尼系数。阻尼系数。方框图如下图所示：方框图如下图所示
49、：加入微分加入微分顺馈后系后系统的的闭环传递函数函数为：65第65页，共135页，编辑于2022年，星期二无阻尼振无阻尼振荡角角频率和阻尼比分率和阻尼比分别为：结论：附加附加这类零点可引起阻尼比零点可引起阻尼比 增大。可增大。可见，引入微，引入微分分顺馈后将使超后将使超调量量%减小，减小，调节时间也有所减小，也有所减小，因此使系因此使系统暂态性能得到改善。性能得到改善。66第66页，共135页，编辑于2022年，星期二三、高阶系统的时域响应凡是用高阶微分方程描述的系统，称为高阶系统。凡是用高阶微分方程描述的系统，称为高阶系统。高阶系统的闭环传函分母中高阶系统的闭环传函分母中s的最高幂次的最高幂
50、次n2.高阶系统闭环传函的一般形式为高阶系统闭环传函的一般形式为或或67第67页，共135页，编辑于2022年，星期二系统的单位阶跃响应系统的单位阶跃响应拉氏拉氏变换式式为：从上式可见，高阶系统的单位阶跃响应由稳态分量和从上式可见，高阶系统的单位阶跃响应由稳态分量和暂态分量两个部分组成。而暂态分量又是由一阶惯性环节暂态分量两个部分组成。而暂态分量又是由一阶惯性环节和二阶振荡环节的响应分量的合成和二阶振荡环节的响应分量的合成对上式上式进行拉氏反行拉氏反变换，得，得68第68页，共135页，编辑于2022年，星期二.高阶系统暂态响应各分量的衰减快慢由指数衰减系数决高阶系统暂态响应各分量的衰减快慢由