6 多自由度体系的微振动.ppt

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1、6 多自由度体系的微振动多自由度体系的微振动内容：内容：振动概述振动概述 两个自由度保守系的自由振动两个自由度保守系的自由振动 n个自由度保守系的自由振动个自由度保守系的自由振动 简正坐标和简正振动简正坐标和简正振动 重点：重点：两个自由度的自由振动两个自由度的自由振动 简正坐标简正坐标 难点：难点：多自由度的自由振动多自由度的自由振动难点：难点：多自由度的自由振动多自由度的自由振动 振动现象在宏观的工程技术中和微观领域（如固体物理中的晶格、光学振动现象在宏观的工程技术中和微观领域（如固体物理中的晶格、光学中的分子振动光谱等）中普遍存在。本章讨论多自由度体系微振动的一般处中的分子振动光谱等）中

2、普遍存在。本章讨论多自由度体系微振动的一般处理方法和微振动在物理上的应用。理方法和微振动在物理上的应用。6.1 振动概述振动概述 （1）振动的分类振动的分类 按体系的能量变化情况可把振动分为自由振动（机械能守恒）、阻尼振按体系的能量变化情况可把振动分为自由振动（机械能守恒）、阻尼振动（机械能不断转化为热能）和强迫振动（不断从外界获得能量）三类，其动（机械能不断转化为热能）和强迫振动（不断从外界获得能量）三类，其运动微分方程是同一种类型的。运动微分方程是同一种类型的。按体系的自由度划分，振动分为单自由度振动、有限多自由度振动和无限自由按体系的自由度划分，振动分为单自由度振动、有限多自由度振动和无

3、限自由度振动三类。度振动三类。按微分方程的类型，振动分为线性振动和非线性振动两类。按微分方程的类型，振动分为线性振动和非线性振动两类。（2）线性振动概念）线性振动概念 凡力学体系在平衡位置附近作微振动（振幅很小），只考虑一级（最低凡力学体系在平衡位置附近作微振动（振幅很小），只考虑一级（最低级）近似时，其运动微分方程为线性方程，这种振动都属于线性振动。级）近似时，其运动微分方程为线性方程，这种振动都属于线性振动。（3）力学体系平衡位置的性质）力学体系平衡位置的性质 平衡位置的三种情况：如图平衡位置的三种情况：如图6.1所示所示 （a）稳定平衡稳定平衡 如果在某一位置，保守系的势能有严格的极小值

4、，则此位置是体系的稳如果在某一位置，保守系的势能有严格的极小值，则此位置是体系的稳定平衡位置定平衡位置保守系平衡位置稳定性拉格朗日定理，即保守系平衡位置稳定性拉格朗日定理，即 （自由度（自由度为为1）（6.1）（6.2）（b）不稳定平衡不稳定平衡 势能在平衡位置取极大值时为不稳定平衡。势能在平衡位置取极大值时为不稳定平衡。（c）随遇平衡随遇平衡 势能在平衡位置为常数时为随遇平衡。势能在平衡位置为常数时为随遇平衡。6.2 两个自由度保守系的自由振动两个自由度保守系的自由振动 （1）拉格朗日方程）拉格朗日方程 设设体系的两个广体系的两个广义义坐坐标为标为、，则则体系的拉格朗日方程体系的拉格朗日方程

5、为为 （6.1）对于平衡位置附近的微振动、体系的约束是稳定的，动能必为广义速度的二对于平衡位置附近的微振动、体系的约束是稳定的，动能必为广义速度的二次齐次式，即次齐次式，即（6.2）其中其中是广是广义义坐坐标标的函数，且的函数，且 势能仅是广义坐标的函数势能仅是广义坐标的函数为为了了简简化和近似，广化和近似，广义义坐坐标标零点取平衡位置上，将零点取平衡位置上，将和和T T中的中的在平衡位置用泰勒在平衡位置用泰勒级级数展开数展开 （6.3）（6.4）（6.36.3）式中的（）式中的（*）是）是 三次以上的三次以上的项项。如果保留到最低。如果保留到最低阶阶的非零小量，的非零小量，（6.36.3）式

6、可）式可简简化化为为 （6.5）式中式中，是常数。，是常数。思考：（思考：（6.36.3）式中）式中为为何可略去（何可略去（*）项项和取和取，？动动能能T T的表式中也只要保留到二的表式中也只要保留到二级级小量，故小量，故 只取零只取零级级近似即可。近似即可。式中式中也都是常数。也都是常数。将（将（6.5）和（）和（6.6）代入（）代入（6.1）得）得 （6.7）或或（6.86.8）上式为两个自由度保守系的自由振动微分方程，是一个二阶常系数线性齐次上式为两个自由度保守系的自由振动微分方程，是一个二阶常系数线性齐次微分方程组。微分方程组。（2）微分方程的解）微分方程的解.频率方程（久期方程）频率

7、方程（久期方程）用常规方法求解。设（用常规方法求解。设（6.7）式的解为）式的解为 （6.96.9）将（将（6.9）式代入（）式代入（6.7）得）得 （6.106.10）或或 （6.11）由（由（6.10）知：）知：，由此得，由此得 ，对应于体系的平衡状态，对应于体系的平衡状态，不是不是 所需要的解。要使（所需要的解。要使（6.10）中的）中的 有异于零的解，方程的系数行列有异于零的解，方程的系数行列式必须为式必须为 零，因零，因，得，得，（6.12）为为和和（方程（方程6.12）称为频率方程（或久期方程）。可以证明它恒有两个正的实根。）称为频率方程（或久期方程）。可以证明它恒有两个正的实根。

8、设设，根据，根据线线性方程的原理，性方程的原理，经过计经过计算得方程（算得方程（6.7）的通解）的通解为为 （6.13）式中四个常数式中四个常数 由初始条件由初始条件 决定。决定。若两个正根相等（正等根）：若两个正根相等（正等根）：，则通解为，则通解为（6.14）例例1 两个相同的单摆耦合成双单摆。求体系微振动的运动规律。两个相同的单摆耦合成双单摆。求体系微振动的运动规律。解：解：自由度为自由度为2 2，取，取和和为为广广义义坐坐标，则标，则 （1）将（将（1）代入拉格朗日方程得）代入拉格朗日方程得 （2）令（令（2）式的特解为）式的特解为 （3）将（将（3）代入（）代入（2）得）得（4）要使

9、上式的要使上式的有不恒有不恒为为零的解，必零的解，必须须（5）由（由（5）得）得（6）将（将（6）代入（）代入（4）中的任一式得振幅比值）中的任一式得振幅比值（7）（8）这里这里 为方程（为方程（4）的根，于是两个特解即可确定，两个特）的根，于是两个特解即可确定，两个特解的解的 线性叠加即得通解线性叠加即得通解 常数常数 由初始条件决定。由初始条件决定。例例2 试求如图试求如图6.3所示的两个耦合振子的振动频率。所示的两个耦合振子的振动频率。解：解：自由度为自由度为2，以位移，以位移为广义坐标，则为广义坐标，则 （1）将（将（1）代入拉格朗日方程得）代入拉格朗日方程得（2）（3）引进两个新的坐

10、标引进两个新的坐标 分别将（分别将（2）和（）和（3）相加减，得）相加减，得由此得由此得和和振振动动模式的模式的频频率分率分别为别为 和和 6.3 n个自由度保守体系的自由振动个自由度保守体系的自由振动 （1）拉格朗日方程）拉格朗日方程 将体系的动能和势能在平衡位置展开成泰勒级数保留到二级小量，得将体系的动能和势能在平衡位置展开成泰勒级数保留到二级小量，得 （6.15）代入拉格朗方程，得代入拉格朗方程，得 （6.16）（2）振动规律（拉格朗方程的通解）振动规律（拉格朗方程的通解）令（令（6.16）的特解为）的特解为（6.17）（6.17）代入（）代入（6.16）式：）式：（6.18）要使上式有

11、不为零的解的条件为要使上式有不为零的解的条件为（6.19）上式是关于上式是关于的的n次多次多项项式，有式，有n个根个根且都是正的且都是正的实实根。根。振幅比：振幅比：将将代入（代入（6.18）式，把）式，把看作已知的，然后已知看作已知的，然后已知对对（n-1）个个 求解，可得求解，可得（6.20）这这些些都是常数，共有都是常数，共有n（n-1）个。个。方程（方程（6.16）的一个特解为）的一个特解为（6.21）这些特解的线性叠加即为通解：这些特解的线性叠加即为通解：（6.22）个振幅个振幅 ,（6.20）式中提供了）式中提供了n（n-1）个已知的比个已知的比方程（方程（6.22）中共有）中共有

12、个振幅中独立的只有个振幅中独立的只有个，即个，即再加上再加上n个相角个相角，共有，共有2n个待定常数，可由初始条件决定。个待定常数，可由初始条件决定。值，因此，值，因此，6.4 简振坐标和简正振动简振坐标和简正振动 力学体系的广义坐标可有多种选取方式，广义坐标选取得当，拉格朗日方程很力学体系的广义坐标可有多种选取方式，广义坐标选取得当，拉格朗日方程很容易求解。容易求解。以双单摆为例。以双单摆为例。若若选选取取为为广广义义坐坐标标：和和 或或 （6.23）由此可得由此可得 （6.24）代入拉格朗日方程，得代入拉格朗日方程，得（6.25）显然通解为显然通解为（6.26）其中其中（6.27）和广和广

13、义义坐坐标标的平方和的形式的平方和的形式 因此，在处理线性振动问题如果所选取的广义坐标能使因此，在处理线性振动问题如果所选取的广义坐标能使T和和V同时成为广义速度同时成为广义速度 （6.28）则代入拉格朗方程得则代入拉格朗方程得 （6.29）其解即为其解即为 （6.30）选取这种能使选取这种能使T和和V同时表示为同时表示为 和和的平方和形式的广义坐标称为的平方和形式的广义坐标称为简正坐标。简正坐标。简正坐标描述了体系在振动过程中只以一个频率振动，其余频率的振动没有激简正坐标描述了体系在振动过程中只以一个频率振动，其余频率的振动没有激发，这种以单一频率的振动模式称为简正振动式本征振动。体系的任一

14、种振动状态，发，这种以单一频率的振动模式称为简正振动式本征振动。体系的任一种振动状态，则是各种简正振动的线性叠加。则是各种简正振动的线性叠加。6.5 解题指导解题指导 （1）习题类型基本解法）习题类型基本解法 本章习题的基本类型是已知体系所受的力及运动的某些条件，求体系本章习题的基本类型是已知体系所受的力及运动的某些条件，求体系振动振动 频率、周期和振动方程（规律）。频率、周期和振动方程（规律）。基本解法：基本解法：先应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程，然后解先应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程，然后解方程。方程。（2）范例）范例 弦的等分点上三个相同质点弦的等分点上三个相同质点m的振动（的振动（P.181例例）解解：弦的伸长量：弦的伸长量为为（1）弦的弹性势能和动能为弦的弹性势能和动能为 将将T、V代入拉格朗日方程得代入拉格朗日方程得设（设（2）式的特解为）式的特解为（3）（2）将（将（3）代（）代（2），并引入），并引入，得，得（5）式有不为零的解的条件是）式有不为零的解的条件是 （5）它的三个根为它的三个根为（6）（4）将（将（6）式中的）式中的分分别别代入（代入（4）式中的任意两式，可得振幅关系：）式中的任意两式，可得振幅关系：（7）（8）（9）则方程（则方程（2）的通解为）的通解为 （10）式中的式中的和和六个常数由初始条件决定。六个常数由初始条件决定。