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1、电容的计算1本讲稿第一页，共四十三页两板间的电势差两板间的电势差各层电介质中的电场强度不同各层电介质中的电场强度不同A B2本讲稿第二页，共四十三页电容为电容为u相当于两个电容器的串联相当于两个电容器的串联3本讲稿第三页，共四十三页另一种情况另一种情况由于极板为等势体由于极板为等势体各层电介质中的电场强度相同各层电介质中的电场强度相同A B4本讲稿第四页，共四十三页A B5本讲稿第五页，共四十三页两板间的电势差两板间的电势差u相当于两个电容器的并联相当于两个电容器的并联6本讲稿第六页，共四十三页例例：如图，两块相距为：如图，两块相距为d，面积均为，面积均为S的薄金属板的薄金属板A、B构成的空气
2、平构成的空气平板电容器被屏蔽在一金属盒板电容器被屏蔽在一金属盒K内，金属盒上下两壁与内，金属盒上下两壁与A、B分别相距分别相距d/2，求求：(1)被屏蔽后电容器的电容变为原来的几倍？被屏蔽后电容器的电容变为原来的几倍？(2)若电容器的一个引脚不若电容器的一个引脚不慎与金属盒相碰，问此时的电容又为原来的几倍？慎与金属盒相碰，问此时的电容又为原来的几倍？解解：原来无金属盒时：原来无金属盒时(1)被屏蔽后，被屏蔽后，AK、BK分别又形成电容分别又形成电容器，二者串联后与器，二者串联后与AB并联并联7本讲稿第七页，共四十三页(2)设引脚设引脚B与金属盒相连，相与金属盒相连，相当于当于C3被接通，被接通
3、，C3=0K8本讲稿第八页，共四十三页例例：两个相距两个相距很远很远的导体球，半径分别为的导体球，半径分别为a、b(a)，每球各，每球各带有电荷带有电荷q，现用一根细长导线将两球联接，静电平衡后，现用一根细长导线将两球联接，静电平衡后忽略导线中所带电荷，忽略导线中所带电荷，求求:(1)电荷迁移方向及最终电荷迁移方向及最终两球上两球上的的电荷量，电荷量，(2)该导体组的电容。该导体组的电容。ab解解：(1)设联接后两球的电量最终分设联接后两球的电量最终分别变为别变为q1、q2，则由电荷守恒，则由电荷守恒9本讲稿第九页，共四十三页现两球相距很远，可看作两孤立导体球，忽略其电场的相互作用，现两球相距
4、很远，可看作两孤立导体球，忽略其电场的相互作用，认为两球的电荷各自均匀分布在其球面上。认为两球的电荷各自均匀分布在其球面上。两球电势分别为两球电势分别为其中其中l为两球心距离为两球心距离10本讲稿第十页，共四十三页联接联接两球等势两球等势Ua=Ub，即，即ab面密度面密度电荷由小球电荷由小球b大球大球a11本讲稿第十一页，共四十三页或由联接前的电势高低来判断电荷的流向或由联接前的电势高低来判断电荷的流向由电荷守恒由电荷守恒联接前大球电势联接前大球电势显然显然小球电势小球电势由高电势的小球由高电势的小球b流向低电势的大球流向低电势的大球a得得12本讲稿第十二页，共四十三页(2)两球的总电量为两球
5、的总电量为2q，电势均为，电势均为ab13本讲稿第十三页，共四十三页也可将此导体组看作是两个孤立导体球的也可将此导体组看作是两个孤立导体球的并联并联，或是外球壳在无限远处的两个球形电容器的并联。或是外球壳在无限远处的两个球形电容器的并联。对对(1)也可利用孤立导体球电容公式来求电荷分布也可利用孤立导体球电容公式来求电荷分布14本讲稿第十四页，共四十三页R铜球铜球 r例：例：半径为半径为R，带电为，带电为Q的黄铜球浮在相对电容率为的黄铜球浮在相对电容率为 r的大油槽中，如图，的大油槽中，如图，球的一半浸在油中，而上半部分在空气中，球的一半浸在油中，而上半部分在空气中，求：求：(1)球的上、下表面
6、各有多少电荷，球的上、下表面各有多少电荷，(2)在下半球面附近在下半球面附近介质上介质上的极化电荷，的极化电荷，(3)此球的电容？此球的电容？分析：分析：若没有浸在油中，电荷若没有浸在油中，电荷Q应该均匀分应该均匀分布在球面上，但铜球现一半浸在油中，其上布在球面上，但铜球现一半浸在油中，其上电荷已不是均匀分布。电荷已不是均匀分布。由于介质的极化，下半球面附近会产生极化电荷由于介质的极化，下半球面附近会产生极化电荷q，这些电荷将在，这些电荷将在导体内部产生电场。为保证导体内导体内部产生电场。为保证导体内E=0，可如此考虑：，可如此考虑：15本讲稿第十五页，共四十三页假设上半球面又带了假设上半球面
7、又带了同为同为q的自由电荷，它们与下半球面的极化电的自由电荷，它们与下半球面的极化电荷荷q应该都在各自半球面上均匀分布，以使导体内应该都在各自半球面上均匀分布，以使导体内E=0，为保证电荷守恒，还应再给导体球追加为保证电荷守恒，还应再给导体球追加-q的自由电荷，这些电荷也应的自由电荷，这些电荷也应该均匀分布在整个球面上。该均匀分布在整个球面上。综上，上半球面综上，上半球面均匀均匀分布了分布了(Q-q)/2+q的自由电荷，下半球面的自由电荷，下半球面均均匀匀分布了分布了(Q-q)/2的自由电荷和的自由电荷和 q的极化电荷。的极化电荷。16本讲稿第十六页，共四十三页解：解：设导体球上半表面带电设导
8、体球上半表面带电Q1，下半表面带电，下半表面带电Q2，则有，则有R铜球铜球 r这些这些自由自由电荷在各自半球面上均匀分布电荷在各自半球面上均匀分布17本讲稿第十七页，共四十三页在上、下半球表面附近任一点，各做柱形高斯面，由于场强垂直于导体在上、下半球表面附近任一点，各做柱形高斯面，由于场强垂直于导体表面，利用高斯定理得：表面，利用高斯定理得：两半球表面场强各自分别相等，且为辐射状分布两半球表面场强各自分别相等，且为辐射状分布由静电场的边界条件可知由静电场的边界条件可知即即18本讲稿第十八页，共四十三页R铜球铜球 r19本讲稿第十九页，共四十三页将此铜球看作两个电量将此铜球看作两个电量不同的不同
9、的孤立导体球各取孤立导体球各取一半一半，并联并联而成而成上半球的电容：上半球的电容：下半球的电容：下半球的电容：此铜球的电容：此铜球的电容：由于两半球并联后电势相同由于两半球并联后电势相同另由电荷守恒另由电荷守恒联立可得：联立可得：20本讲稿第二十页，共四十三页 电场能量电场能量孤立导体球的电容孤立导体球的电容例：例：孤立导体球，带电量孤立导体球，带电量Q，半径，半径R，求：求：电场能量。电场能量。RQr电场分布电场分布21本讲稿第二十一页，共四十三页导体等势导体等势电场能量密度电场能量密度22本讲稿第二十二页，共四十三页例：例：一平行板空气电容器，极板面积为一平行板空气电容器，极板面积为S，
10、极板间距为，极板间距为d，(1)充电至两极板充电至两极板分别带电为分别带电为+q和和-q后，断开电源，再把两板慢慢后，断开电源，再把两板慢慢拉开拉开至间距为至间距为2d，(2)若保持与电源连接以维持电压为若保持与电源连接以维持电压为U，再把两极板慢慢拉至，再把两极板慢慢拉至2d，求：求：两种过程两种过程中外力克服电场力所做的功？中外力克服电场力所做的功？解：解：(1)断开电源后，移动过程中极板上的断开电源后，移动过程中极板上的电荷量将保持不变电荷量将保持不变从而板间的场强从而板间的场强也将保持不变也将保持不变一个极板受到另一个极板的电场的吸引力一个极板受到另一个极板的电场的吸引力23本讲稿第二
11、十三页，共四十三页板间的电场能量密度也不变板间的电场能量密度也不变间距从间距从d到到2d，电场力做负功，电场力做负功，而外力的功而外力的功而电场能量的增量而电场能量的增量24本讲稿第二十四页，共四十三页(2)保持电源连接，移动过程中极板间的保持电源连接，移动过程中极板间的电压将保持不变电压将保持不变而间距从而间距从d到到2d，电容减半，电容减半则电场能量的改变量为则电场能量的改变量为拉开极板的过程中拉开极板的过程中外力做负功？外力做负功？在此过程中除在此过程中除外力做正功外，由于极板上电荷量的变化，还有电源外力做正功外，由于极板上电荷量的变化，还有电源在做负功在做负功(对电源做功对电源做功)，
12、从而导致了电场能量的减少。，从而导致了电场能量的减少。25本讲稿第二十五页，共四十三页过程中过程中极板上电量的改变量为极板上电量的改变量为把电容器极板上的电荷搬回到电源上，电源做负功：把电容器极板上的电荷搬回到电源上，电源做负功：外力做功为外力做功为26本讲稿第二十六页，共四十三页例：例：一平行板电容器，极板面积为一平行板电容器，极板面积为S，极板间距为，极板间距为d，求：求：电容器能量的变化？电容器能量的变化？u充电后断开电源，保持其充电后断开电源，保持其电量电量q不变不变，将一块厚为将一块厚为b(d)的的金属板金属板平行插入，平行插入，Sdb解：解：插入金属板前插入金属板前插入金属板后，可
13、看作两个电容器插入金属板后，可看作两个电容器串联串联而成而成电容器储能电容器储能+-+-27本讲稿第二十七页，共四十三页插入金属板，插入金属板，相当于把两板相当于把两板移近移近了了b电场能量减少，说明电场力做正功，外力做负功电场能量减少，说明电场力做正功，外力做负功，金属板被吸入，金属板被吸入电容器的边缘电场吸引金属板上产生的异号感应电荷所致电容器的边缘电场吸引金属板上产生的异号感应电荷所致28本讲稿第二十八页，共四十三页u若充电后保持其若充电后保持其电压电压U不变不变，又如何？，又如何？极板上电量将改变极板上电量将改变电源做正功：电源做正功：Sdb电容器能量的改变量电容器能量的改变量29本讲
14、稿第二十九页，共四十三页外力做负功：外力做负功：过程中，电源提供能量，一部分储存于电场，一部分对外做功过程中，电源提供能量，一部分储存于电场，一部分对外做功讨论：讨论：若金属板带电若金属板带电+Q，此电荷如何分布？，此电荷如何分布？30本讲稿第三十页，共四十三页例：例：一平行板空气电容器，极板长为一平行板空气电容器，极板长为a，宽为，宽为b，两板间距为，两板间距为d，u对其充电至两板带电为对其充电至两板带电为Q后，断开电源，后，断开电源，即保持即保持电量不变，电量不变，在两板间插入一块宽为在两板间插入一块宽为b，厚为，厚为d，相对电容率为，相对电容率为 r的均匀的均匀电介质电介质板，当板，当插
15、入距离为插入距离为x时，时，求：求：电容器的储能？电容器的储能？此板受的电场力？此板受的电场力？abd rx解：解：插入距离插入距离x时的电容，时的电容，相当于空气和介质两个平行板相当于空气和介质两个平行板电容器的电容器的并联并联：Q+Q31本讲稿第三十一页，共四十三页此时电容器的储能为此时电容器的储能为由保守力与势能关系由保守力与势能关系其中其中x以向右为正，以向右为正，x则则C吸入吸入32本讲稿第三十二页，共四十三页u若保持极板与若保持极板与电压恒为电压恒为U的电源相连，上述问题又如何？的电源相连，上述问题又如何？将电容器储能用将电容器储能用U表示为表示为是极板受到的力吗？排斥力？是极板受
16、到的力吗？排斥力？此种情况板上电量会变化，此种情况板上电量会变化，设板插入一段距离设板插入一段距离dx，则，则板上电荷在增加，电容器被充电板上电荷在增加，电容器被充电电源克服电场力做正功，电场对电源做负功电源克服电场力做正功，电场对电源做负功(并非只对介质板作用并非只对介质板作用)33本讲稿第三十三页，共四十三页增加了增加了dQ的电荷，电源做功为的电荷，电源做功为外力做功：外力做功：电容器储能的改变量为电容器储能的改变量为外力大小等于介质板受到的电场力外力大小等于介质板受到的电场力34本讲稿第三十四页，共四十三页 电流的计算电流的计算例：例：平板电容器，电容为平板电容器，电容为C，极板间介质的
17、电阻率为，极板间介质的电阻率为r r，相，相对电容率为对电容率为 r，求：求：该电容器两极间的电阻。该电容器两极间的电阻。解：解：根据电阻定律根据电阻定律其中其中Q0是电源刚撤去是电源刚撤去(t=0)时板上的电量时板上的电量例：例：上题中若将电容器与电源相连，使之带电，然后撤去电源。上题中若将电容器与电源相连，使之带电，然后撤去电源。由于电容器内存在漏电电流，极板上的电荷会逐渐减少，由于电容器内存在漏电电流，极板上的电荷会逐渐减少，求证：求证：极板上的电荷与时间的关系为：极板上的电荷与时间的关系为：35本讲稿第三十五页，共四十三页解：解：由电流连续性方程，漏电电流应等于单位时间极板上电由电流连
18、续性方程，漏电电流应等于单位时间极板上电荷的减少量荷的减少量I=-=-dQ/dt36本讲稿第三十六页，共四十三页例：例：如图，一半径为如图，一半径为a的球形电极与大地表面相接，半个球体埋的球形电极与大地表面相接，半个球体埋在地面下，电极本身的电阻可忽略，大地可看作电阻率为在地面下，电极本身的电阻可忽略，大地可看作电阻率为r r的均的均匀电介质，匀电介质，求：求：此电极的接地电阻？此电极的接地电阻？解解1：根据电阻定律，在大地中取半径为根据电阻定律，在大地中取半径为r，厚为，厚为dr的同心半球壳，其径向电阻为的同心半球壳，其径向电阻为ar37本讲稿第三十七页，共四十三页解解2：由前面例题知，大地
19、中的电场为由前面例题知，大地中的电场为其中其中Q2为下半球壳上的自由电荷为下半球壳上的自由电荷流过下半球壳的电流强度流过下半球壳的电流强度球壳的电势球壳的电势38本讲稿第三十八页，共四十三页例：例：如图，两边是如图，两边是电导率电导率s s导导很大的导体，中间两层是电导很大的导体，中间两层是电导率分别为率分别为s s1 1、s s2 2，厚度分别为，厚度分别为d1、d2的均匀电介质的均匀电介质，导体的截，导体的截面积为面积为S，通过导体的稳恒电流强度为，通过导体的稳恒电流强度为I，求：求：(1)两层电介质中的场强，两层电介质中的场强，(2)电势差电势差UAB和和UBC，(3)A、B、C三个界面
20、上的三个界面上的面电荷密度面电荷密度？解：解：(1)j=s sE，j=I/S,IIA BCs s2 2d2d1s s1 1向右向右39本讲稿第三十九页，共四十三页(2)可见以上为匀强电场可见以上为匀强电场(3)如图作柱形高斯面如图作柱形高斯面40本讲稿第四十页，共四十三页IIA BCs s2 2d2d1s s1 1设设柱端面面积为柱端面面积为S电场水平向右电场水平向右高斯定理高斯定理s sA为界面为界面A上的上的面电荷密度面电荷密度41本讲稿第四十一页，共四十三页同理同理42本讲稿第四十二页，共四十三页相关习题相关习题l电容电容胡盘新胡盘新第第10-34,10-3638,10-42,10-43,10-46,10-47题题吴百诗吴百诗第第8.12,8.1517,8.21题题建材建材P70第第3.2.15,3.3.9题题l电场能量电场能量胡盘新胡盘新第第10-41,10-5256题题吴百诗吴百诗第第8.1(1),8.2531题题建材建材P69第第3.2.14,3.3.11,3.3.13题题北邮北邮P60第第2,5,6题题张三慧教材电磁学第张三慧教材电磁学第5.2426题题l电流电流胡盘新胡盘新第第11-1821题题建材建材P76第第3.3.5,3.3.6,3.3.10题题43本讲稿第四十三页，共四十三页