数学建模概率论.pptx

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1、一般常用 表示参数，参数 所有可能取值组成的集合称为参数空间，常用表示。参数估计问题就是根据样本对上述各种未知参数作出估计。参数估计的形式有两种：点估计与区间估计。第1页/共46页设 x1,x2,xn 是来自总体 X 的一个样本，我们用一个统计量 的取值作为 的估计值，称为 的点估计（量），简称估计。在这里如何构造统计量 并没有明确的规定，只要它满足一定的合理性即可。这就涉及到两个问题：其一 是如何给出估计，即估计的方法问题；其二 是如何对不同的估计进行评价，即估 计的好坏判断标准。第2页/共46页6.1 点估计的几种方法点估计的几种方法 替换原理和矩法估计 一、矩法估计 替换原理是指用样本矩

2、及其函数去替换相应的总体矩及其函数，譬如：用样本均值估计总体均值E(X)，即 ；用样本方差估计总体方差Var(X)，即用样本的 p 分位数估计总体的 p 分位数，用样本中位数估计总体中位数。第3页/共46页例 对某型号的20辆汽车记录其每加仑汽油的行驶里程(km)，观测数据如下：29.8 27.6 28.3 27.9 30.1 28.7 29.9 28.0 27.9 28.7 28.4 27.2 29.5 28.5 28.0 30.0 29.1 29.8 29.6 26.9 经计算有 由此给出总体均值、方差和中位数的估计分别为:28.695,0.9185 和 28.6。矩法估计的实质是用经验分

3、布函数去替换总体分布，其理论基础是格里纹科定理。第4页/共46页二、概率函数二、概率函数P(x,)已知时未知参数的矩法估已知时未知参数的矩法估计计 设总体具有已知的概率函数 P(x,1,k)，x1,x2,xn 是样本，假定总体的k阶原点矩k存在，若 1,k 能够表示成 1,k 的函数 j=j(1,k)，则可给出诸 j 的矩法估计为 其中第5页/共46页例 设总体服从指数分布，由于EX=1/，即=1/EX，故 的矩法估计为 另外，由于Var(X)=1/2，其反函数为 因此，从替换原理来看，的矩法估计也可取为 s 为样本标准差。这说明矩估计可能是不唯一的，这是矩法估计的一个缺点，此时通常应该尽量采

4、用低阶矩给出未知参数的估计。第6页/共46页例 x1,x2,xn是来自(a,b)上的均匀分布U(a,b)的样本，a与b均是未知参数，这里k=2，由于 不难推出 由此即可得到a,b的矩估计：第7页/共46页 极极(最最)大似然估计大似然估计 定义 设总体的概率函数为P(x;)，是参数 可能取值的参数空间，x1,x2,xn 是样本，将样本的联合概率函数看成 的函数，用L(;x1,x2,xn)表示，简记为L()，称为样本的似然函数。第8页/共46页 如果某统计量 满足 则称 是 的极(最)大似然估计，简记为MLE（Maximum Likelihood Estimate）。人们通常更习惯于由对数似然函

5、数lnL()出发寻找 的极大似然估计。当L()是可微函数时，求导是求极大似然估计最常用的方法，对lnL()求导更加简单些。第9页/共46页例 设一个试验有三种可能结果，其发生概率分别为 现做了n次试验，观测到三种结果发生的次数分别为 n1,n2 ,n3(n1+n2+n3=n)，则似然函数为 其对数似然函数为第10页/共46页将之关于 求导，并令其为0得到似然方程解之，得由于所以 是极大值点。第11页/共46页 极大似然估计有一个简单而有用的性质：如果 是 的极大似然估计，则对任一函数 g()，其极大似然估计为 。该性质称为极大似然估计的不变性，从而使一些复杂结构的参数的极大似然估计的获得变得容

6、易了。第12页/共46页 则称随机区间 为 的置信水平为1-的置信区间，或简称 是 的1-置信区间.和 分别称为 的（双侧）置信下限和置信上限.这里置信水平1-的含义是指在大量使用该置信区间时，至少有100(1-)%的区间含有。第14页/共46页例 设x1,x2,x10是来自N(,2)的样本，则 的置信水平为1-的置信区间为 其中，,s 分别为样本均值和样本标准差。这个置信区间的由来将在节中说明，这里用它来说明置信区间的含义。若取=0.10，则t0.95(9)=1.8331，上式化为第15页/共46页 现假定=15,2=4，则我们可以用随机模拟方法由N(15,4)产生一个容量为10的样本，如下

7、即是这样一个样本：14.85 13.01 13.50 14.93 16.97 13.80 17.9533 13.37 16.29 12.38 由该样本可以算得 从而得到 的一个区间估计为 该区间包含 的真值-15。现重复这样的方法 100次，可以得到100个样本，也就得到100个区 间，我们将这100个区间画在图上。第16页/共46页 由图可以看出，这100个区间中有91个包含参数真值15，另外9个不包含参数真值。图 的置信水平为0.90的置信区间 第17页/共46页 取=0.50，我们也可以给出100个这样的区间，见图。可以看出，这100个区间中有50个包含参数真值15，另外50个不包含参数

8、真值。图 的置信水平为0.50的置信区间 第18页/共46页定义 沿用定义的记号，如对给定的(0 1)，对任意的，有 （）称 为 的1-同等置信区间。同等置信区间是把给定的置信水平1-用足了。常在总体为连续分布场合下可以实现。第19页/共46页定义 若对给定的(0 1)和任意的，有 ，则称 为 的置信水平为1-的（单侧）置信下限。假如等号对一切成立，则称 为 的1-同等置信下限。若对给定的(0 1)和任意的，有 ,则称 为 的置信水平为1-的（单侧）置信上限。若等号对一切成立，则称 为1-同等置信上限。单侧置信限是置信区间的特殊情形。因此，寻求置信区间的方法可以用来寻找单侧置信限。第20页/共

9、46页单个正态总体参数的置信区间单个正态总体参数的置信区间 一、一、已知时已知时 的置信区间的置信区间由此给出了的同等置信区间为 ，。（）这是一个以 为中心，半径为 的对称 区间，常将之表示为 。第21页/共46页例 用天平秤某物体的重量9次，得平均值为 （克），已知天平秤量结果为正态分布，其标准差为0.1克。试求该物体重量的0.95置信区间。解：此处1-=0.95，=0.05，查表知u0.975=1.96，于是该物体重量 的0.95置信区间为 ，从而该物体重量的0.95置信区间为 15.3347，15.4653。第22页/共46页例 设总体为正态分布N(,1)，为得到 的置信水平为0.95的

10、置信区间长度不超过1.2，样本容量应为多大？解：由题设条件知 的0.95置信区间为 其区间长度为 ，它仅依赖于样本容量n而与样本具体取值无关。现要求 ，立即有n(2/1.2)2u21-/2.现1-=0.95，故u1-/2=1.96，从而n(5/3)2 1.962=10.6711。即样本容量至少为11时才能使得 的置信水平为0.95的置信区间长度不超过1.2。第23页/共46页二、2未知时 的置信区间 的1-置信区间为 此处 是 2的无偏估计。第24页/共46页例 假设轮胎的寿命服从正态分布。为估计某种轮胎的平均寿命，现随机地抽12只轮胎试用，测得它们的寿命（单位：万公里）如下：4.68 4.8

11、5 4.32 4.85 4.61 5.025.20 4.60 4.58 4.72 4.38 4.70 此处正态总体标准差未知，可使用t分布求均值的置信区间。经计算有 =4.7092，s2=0.0615。取=0.05，查表知t0.975(11)=2.2010，于是平均寿命的0.95置信区间为（单位：万公里）第25页/共46页 在实际问题中，由于轮胎的寿命越长越好，因此可以只求平均寿命的置信下限，也即构造单边的置信下限。由于 由不等式变形可知 的1-置信下限为 将t0.95(11)=1.7959代入计算可得平均寿命 的0.95置信下限为4.5806（万公里）。第26页/共46页三、三、2的置信区间

12、的置信区间 2的1-置信区间为 第27页/共46页例某厂生产的零件重量服从正态分布N(,2)，现从该厂生产的零件中抽取9个，测得其重量为（单位：克）45.3 45.4 45.1 45.3 45.5 45.7 45.4 45.3 45.6 试求总体标准差 的0.95置信区间。解：由数据可算得 s2=0.0325，(n-1)s2=80325=0.26.查表知 2 0.025(8)=2.1797，20.975(8)=17.5345，代入可得 2的0.95置信区间为 从而 的0.95置信区间为:0.1218，0.3454。第28页/共46页 在样本容量充分大时，可以用渐近分布来构造近似的置信区间。一个

13、典型的例子是关于比例p 的置信区间。大样本置信区间大样本置信区间 第29页/共46页设x1,xn是来自b(1,p)的样本,得到p的置信区间为 其中记=u21-/2，实用中通常略去/n项，于是可将置信区间近似为第30页/共46页例 对某事件A作120次观察，A发生36次。试给出事件A发生概率p 的0.95置信区间。解：此处n=120，=36/120=0.3 而u0.975=1.96，于是p的0.95（双侧）置信下限和上限分别为 故所求的置信区间为 0.218，0.382第31页/共46页例 某传媒公司欲调查电视台某综艺节目收视率p，为使得 p 的1-置信区间长度不超过d0，问应调查多少用户？解：

14、这是关于二点分布比例p的置信区间问题，由（）知，1-的置信区间长度为 这是一个随机变量，但由于 ，所以对任意的观测值有 。这也就是说p的1-的置信区间长度不会超过 。现要求p的的置信区间长度不超过d0，只需要 即可，从而 （）第32页/共46页 这是一类常见的寻求样本量的问题。比如，若取d0=0.04，=0.05，则 。这表明，要使综艺节目收视率p的0.95置信区间的长度不超过0.04，则需要对2401个用户作调查。第33页/共46页 两个正态总体下的置信区间两个正态总体下的置信区间 设x1,xm是来自N(1,12)的样本，y1,yn是来自N(2,22)的样本，且两个样本相互独立。与 分别是它

15、们的样本均值，和 分别是它们的样本方差。下面讨论两个均值差和两个方差比的置信区间。第34页/共46页一、1-2的置信区间1、12和 22已知时的两样本u区间 2、12=22=2未知时的两样本t区间 第35页/共46页3、22/12=已知时的两样本t区间 第36页/共46页4、当m和n都很大时的近似置信区间 5、一般情况下的近似置信区间 其中 第37页/共46页例 为比较两个小麦品种的产量，选择18块条件相似的试验田，采用相同的耕作方法作试验，结果播种甲品种的8块试验田的亩产量和播种乙品种的10块试验田的亩产量（单位：千克/亩）分别为：甲品种 628 583 510 554 612 523 53

16、0 615 乙品种 535 433 398 470 567 480 498 560 503 426 假定亩产量均服从正态分布，试求这两个品种平均亩产量差的置信区间.(=0.05）。第38页/共46页解：以x1,x8记甲品种的亩产量，y1,y10记乙品种的亩产量，由样本数据可计算得到 =569.3750，sx2=2140.5536，m=8 =487.0000，sy2=3256.2222，n=10 下面分两种情况讨论。第39页/共46页(1)若已知两个品种亩产量的标准差相同，则可采用两样本t区间。此处 故1-2的0.95置信区间为第40页/共46页(2)若两个品种亩产量的方差不等，则可采用近 似

17、t 区间。此处 s02=2110.5536/8+3256.2222/10=589.4414，s0=24.2784 于是1-2的0.95近似置信区间为 31.3685，133.3815第41页/共46页二、12/22的置信区间 由于(m-1)sx2/12 2(m-1),(n-1)sy2/22 2(n-1)，且sx2与sy2相互独立，故可仿照F变量构造如下枢 轴量 ,对给定的1-，由 经不等式变形即给出 12/22的如下的置信区间第42页/共46页例 某车间有两台自动机床加工一类套筒，假设套筒直径服从正态分布。现在从两个班次的产品中分别检查了5个和6个套筒，得其直径数据如下（单位：厘米）：甲班：5

18、.06 5.08 5.03 5.00 5.07 乙班：4.98 5.03 4.97 4.99 5.02 4.95 试求两班加工套筒直径的方差比 甲2/乙2的0.95置信区间。解：由数据算得sx2=0.00037,sx2=0.00092，故置信区间0.0544，3.7657 第43页/共46页习题1、在一批货物中随机抽取80件，发现有11件不合格品，试求这批货物的不合格品率的0.90置信区间.习题2、某商店某种商品的月销售量服从泊松分布，为合理进货，必须了解销售情况。现记录了该商店过去的一些销售量：月销售量 9 10 11 12 13 14 15 16月份数 1 6 13 12 9 4 2 1试求平均月销售量的0.95置信区间第44页/共46页习题3、假设人体身高服从正态分布，今抽测甲、乙两地区18岁25岁女青年身高得数据如下：甲地区抽取10名，样本均值1.64m，样本标准差为0.2m；乙地区抽取10名，样本均值1.62m，样本标准差0.4m，求（1）两正态总体方差比的95%置信区间（2）两正态总体均值差的95%置信区间第45页/共46页感谢您的观看！第46页/共46页