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1、概率论与数理统计经典课件-概率论目录contents概率论的基本概念条件概率与独立性随机变量及其分布随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理数理统计基础01概率论的基本概念概率是衡量随机事件发生可能性的数学量，通常表示为P。概率具有一些基本性质，包括非负性（P(A)0）、规范性（P(必然事件)=1）和可加性（对立事件的概率和为1）。概率的定义与性质概率的性质概率的定义随机试验是在一定条件下进行的试验，其结果具有不确定性。随机试验样本空间是随机试验所有可能结果的集合，通常表示为。样本空间随机试验与样本空间事件的概率是衡量该事件发生可能性的数学量，通常表示为P(A)。事件的概率如果两个事件之间没有
2、相互影响，则称它们为独立的。独立事件的概率满足乘法公式。事件的独立性事件的概率02条件概率与独立性123条件概率是指在某个已知事件B发生的情况下，另一个事件A发生的概率，记作P(A|B)。定义P(A|B)=P(AB)/P(B)。计算公式在决策理论、统计学、信息理论等领域都有广泛的应用。应用场景条件概率 事件的独立性定义如果两个事件A和B同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积，即P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A和B是独立的。性质独立的事件互不影响，即一个事件的发生不会影响到另一个事件发生的概率。应用场景在概率论、统计学、组合数学等领域都有广泛的应用。全概率公式如果一个复杂事件A可以分
3、解为n个互斥的子事件A1,A2,.,An，且每个子事件都与另一个事件B独立，那么事件B在事件A发生的条件下发生的概率为P(B|A)=P(B|Ai)P(Ai)/P(A)。贝叶斯公式在全概率公式的基础上，如果已知事件A发生的概率为P(A)，则事件B在事件A发生的条件下发生的概率为P(B|A)=P(B)/P(A)。全概率公式与贝叶斯公式03随机变量及其分布在概率论中，随机变量是一个定义在样本空间上的函数，其取值随试验结果的变化而变化。随机变量离散型随机变量连续型随机变量离散型随机变量是在一定范围内可以一一列举出来的，例如投掷一枚骰子出现的点数。连续型随机变量是在一个区间内取值，其取值无法一一列举出来
4、，例如人的身高。030201随机变量的定义离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布是指随机变量取每个可能值的概率。常见的离散型随机变量分布二项分布、泊松分布、超几何分布等。离散型随机变量及其分布连续型随机变量的概率密度函数描述了随机变量在某个区间的概率分布情况。连续型随机变量的概率密度函数正态分布、指数分布、均匀分布等。常见的连续型随机变量分布连续型随机变量及其分布04随机变量的数字特征表示随机变量取值的平均水平，计算公式为E(X)=(x*p(x)，其中x为随机变量的取值，p(x)为相应的概率。期望值期望具有线性性质，即E(aX+b)=a*E(X)+b，其中a和b为常数。期望的性质期望
5、可以看作是概率加权和的数学期望值，反映了随机变量取值的平均水平。期望与概率的关系期望方差是随机变量取值与期望的离散程度的度量，计算 公 式 为 D(X)=(x-E(X)2*p(x)。方差定义方差具有非负性，即D(X)0；方差具有线性性质，即D(aX+b)=a2*D(X)。方差性质方差的平方根称为标准差，标准差是衡量数据分散程度的重要指标。方差与标准差方差协方差性质协方差具有非负性，即Cov(X,Y)0；协方差具有线性性质，即Cov(aX+b,cY+d)=ac*Cov(X,Y)。协方差定义协方差是衡量两个随机变量同时偏离各自期望的程度，计算公式为Cov(X,Y)=(x-E(X)*(y-E(Y)*
6、p(x,y)。相关系数协方差与各自标准差的乘积之比称为相关系数，用于衡量两个随机变量的线性相关程度。协方差与相关系数05大数定律与中心极限定理切比雪夫大数定律当n趋于无穷时，对于任意的0，有limP(|Xn/n-1|)=1，其中Xn是n个独立同分布随机变量的样本均值，n是它们的期望。辛钦大数定律当n趋于无穷时，独立同分布随机变量的算术平均值依概率收敛于期望值。贝努利大数定律对于任意小的正数，当n趋于无穷时，有limP(|Xn/n-p|)=1，其中Xn是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率。大数定律棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理当n充分大时，一组独立同分布随机变量的标准化变量的
7、分布近似于标准正态分布。林德贝格-勒维中心极限定理对于任意实数ab，当n充分大时，有P(aXnb)(b-n)-(a-n)，其中Xn是n个独立同分布随机变量的样本均值，n是它们的期望，是标准正态分布的累积分布函数。中心极限定理06数理统计基础研究对象的全体集合。总体从总体中随机抽取的一部分对象。样本总体参数是对总体特征的描述，样本统计量是对样本特征的描述。总体参数与样本统计量随机抽样、分层抽样、系统抽样等。抽样方法总体与样本参数估计用单个数值对未知参数进行估计。用置信区间对未知参数进行估计。估计量平均值等于真实值。估计量方差达到最小。点估计区间估计无偏估计有效估计根据样本信息对未知参数进行推断。假设检验的基本思想提出假设、构造检验统计量、确定临界值、做出推断结论。假设检验的步骤通过显著性水平判断假设是否成立。显著性检验根据检验统计量和临界值确定的区域。接受域与拒绝域假设检验THANKS感谢观看